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古典概型



教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

古典概型学案
编制单位 编制人 审核人 编号

学习目标
1. 知识与技能目标: 理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发 生的概率. 2. 过程与方法目标: 古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:试验结果的

有限性和每一个试验结 果出现的等可能性,让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型. 3. 情感、态度与价值观目标: 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义,加强与实际生活的联系,以科学 的态度评价身边的一些随机现象。适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己 举出生活和学习中与古典概型有关的实例。使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合 作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神.

学习重点
掌握古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.

学习难点
如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个 数和试验中基本事件的总数.

知识链接
问题 1:从字母 a, b, c, d 中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?

问题 2:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数, (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)每个基本事件之间有什么样的关系; (3)求掷得偶数点的概率.

学习过程

1

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

一、课内探究
问题 1:下列试验是古典概型的是( ) A.在适宜的条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽 B.口袋里有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的 D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为,命中 10 环,命中 9 环,?,命中 0 环 问题 2:古典概型的两个特征是什么?

问题 3:在使用古典概型的概率公式时,应该注意什么问题?

二、典例剖析
例 1: 从含有两件正品 a1 , a2 和一件次品 b1 的三件产品中, 每次任取一件, 每次取出后不放回, 连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

跟踪训练:在一次口试中,要从 5 道题中随机抽出 3 道进行回答,答对其中的 2 道题就获得 优秀,答对其中的 1 道题就获得及格,某考生会回答 5 道题中的 2 道题,试求: (1)他获得优秀的概率是多少? (2)他获得及格与及格以上的概率是多大?

例 2:同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少?

2

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

跟踪训练 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标,求点 P 落在圆

x 2 ? y 2 ? 16 内的概率.

例 3:某班数学兴趣小组有男生 3 名,分别记为 a1,a2,a3 ,女生 2 名,分别记为 b1,b2 , 现从中任选 2 名学生去参加数学竞赛. (1)求参赛学生中恰有一名男生的概率; (2)求参赛学生中至少有一名男生的概率.

跟踪训练 一只口袋有形状大小相同的 6 只小球, 其中有 2 只白球, 2 只红球和 2 只黄球, 从中随机摸出 2 只小球.试求: (1)2 只球都是黄球的概率; (2)2 只球颜色不同的概率.

三、小结反思

四、当堂检测
1.某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次而接通电话的概率 为( ) A 9/10 B 3/10 C 1/8 D 1/10 2.从甲,乙,丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率( ) A 1/2 B 1/3 C 2/3 D 1 3. 若书架上放有中文书五本, 英文书三本, 日文书两本, 则抽出一本为外文书的概率为 ( ) A.1/5 B.3/10 C.2/5 D.1/2 4.掷一个骰子,出现“点数是质数”的概率是( )
3

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

五、课后巩固
1. 先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是 12, 11,10 的概率依次是 P1,P2, P3 , 则 ( A.P1=P2<P3 B.P1<P2<P3 C P1<P2=P3 D P3=P2<P1 2. 掷一枚质地均匀的硬币, 如果连续抛掷 1000 次, 那么第 999 次出现正面朝上的概率是 ( ) )

1 A. 999

1 B. 1000

999 C. 1000

1 D. 2

3.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次 品的概率是( ) A. 1 B. C. D. 4.有语、数、外、理、化五本教材,从中任取一本,取到的是理科教材的概率是_______. 5.从含有 4 个次品的 10000 个螺钉中任取 1 个,它是次品的概率为_________. 6.1 个口袋中有带有标号的 2 个白球、3 个黑球,则事件 A“从袋中摸出 1 个是黑球,放回 后再摸一个是白球”的概率是_______. 7.从标有 1、2、3、4、5、6 的 6 张卡片中任取 3 张,积是偶数的概率为_______. 8.做 A、B、C 三件事的费用各不相同.在一次游戏中,要求参加者写出做这三件事所需费 用的顺序(由多到少排列) ,如果某个参加者随意写出答案,他正好答对的概率是多少?

1 2

1 3

2 3

9.一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球,从中任意取出一个球. (1) “取出的球是红球”是什么事件,它的概率是多少? (2) “取出的球是黑球”是什么事件,它的概率是多少? (3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件,它的概率是多少?

六、学习后记

4

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

参考答案 知识链接 问题 1 分析: 为了解基本事件, 我们可以按照字典排序的顺序, 把所有可能的结果都列出来。
利用树状图可以将它们之间的关系列出来。 我们一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法,一般分布 完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举。

(树状图) 解:所求的基本事件共有 6 个: , 问题 2: , , , ,

,6} 解(1)基本事件空间为 ? ? {1,2,3,4,5
(2)事件的个数有限,每个基本事件发生的可能性相同 (3)设事件 A=“掷得偶数点” ,由于基本事件总数为 6,事件 A 包含 3 个基本事件,则

P ( A) ?

1 . 2

课内探究 问题 1.B 问题 2: (1).试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2).各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同. 注:在“等可能性”概念的基础上,很多实际问题符合或近似符合都这两个条件, 即, 都可以作为古典概型来看待。 问题 3 解: (1)要判断该概率模型是不是古典概型; (2)要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的

典例分析
例 1、解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即 , , , , , 。其中小括号内左边 (a1 , a2) (a1 , b1 ) (a2 , a1 ) (a2 , b1 ) (b1 , a1 ) (b1 , a2) 的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中, 恰好有一件次品”这一事件,则 A ={ , , , } 事件 A 由 4 (a1 , b1 ) (a2 , b1 ) (b1 , a1 ) (b1 , a2)

5

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

个基本事件组成,因而, P ( A) ? 跟踪训练 解:从 5 题中任取 3 道回答, 共有

4 2 ? 6 3

(1, 2,,, 3) (1 2,,, 4) (1 2,,, 5) (1 3,,, 4) (1 3,,, 5) (1 4,,, 5) (2 3,,, 4) (2 3,,, 5) (2 4,,, 5) (3 4, 5) 10 个基本事件.

(1)设 A ? “获得优秀” ,则随机事件 A 所包含的基本事件个数 m ? 3 ;故事件 A 的概率为

P( A) ?

m 3 ? n 10 ;

(2) B ? “获得及格与及格以上” ,由事件 B 所包含的基本事件个数 m ? 9 .故事件 B 的概



P( B) ?

m 9 ? n 10 .

3 9 所以这个考生获得优秀的概率为 10 ,获得及格与及格以上的概率为 10 .
例 2 解: (1)掷一个骰子的结果有 6 种,我们把两个骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的结果都可以与 2 号骰子的任意一个结果配对,我们用一个“有序实数对”来表示组 成同时掷两个骰子的一个结果(如表) ,其中第一个数表示 1 号骰子的结果,第二个数表示 2 号骰子的结果。 (可由列表法得到) 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有 36 种。

(2)在上面的结果中,向上的点数之和为 5 的结果有 4 种,分别为: (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) (3)由于所有 36 种结果是等可能的,其中向上点数之和为 5 的结果(记为事件 A)有 4 种, 因此,由古典概型的概率计算公式可得

跟踪训练

6

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

解:基本事件总数是 36,落在圆 x 2 ? y 2 ? 16 内的事件(设为事件 A)有 8 种,由古典概 型的概率计算公式可得 P(A)=

1 4

例 3、解:从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去参加数学竞赛,其一切可能的结果组成 的基本事件空间为 ? ? {(a1 , a2 ),(a1, a3 ),(a2 , a3 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , b1),( a2 , b2 ),( a3, b1),

(a3 , b2 ),(b1 , b2 )} . ? 由 10 个基本事件组成.
(1)用 A 表示“恰有一名参赛学生是男生”这一事件,则 A ? {(a1 , b1 ),(a1 , b2 ),(a2 , b1 ),

(a2 , b2 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 )} .
事件 A 由 6 个基本事件组成,故 P ( A) ?

6 ? 0.6 . 10

(2)用 B 表示“至少有一名参赛学生是男生”这一事件,则

B ? {(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a2 , a3 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 )} ,
事件 B 由 9 个基本事件构成,故 P ( B ) ? 跟踪训练 解:白球编号为 a1 , a2 ,红球编号为 b1 , b2 ,黄球编号为 c1 , c2 ,从 6 只小球中随机摸出 2 只小 球,其一切可能的结果组成的基本事件空间为 ? ? {a1a2 , a1b1 , a1b2 , a1c1 , a1c2 , a2b1, a2b2 , a2c1,

9 ? 0.9 . 10

a2c2 , b1b2 , b1c1 , b1c2 , b2c1 , b2c2 , c1c2 } . ? 由 15 个基本事件组成.
(1)用 A 表示“2 只球都是黄球”这一事件,则 A ? {c1c2 } . 事件 A 由 1 个基本事件组成,故 P ( A) ?

1 . 15

(2)用 B 表示“2 只球颜色不同”这一事件,则

B ? {a1b1 , a1b2 , a1c1 , a1c2 , a2b1 , a2b2 , a2c1 , a2c2 , b1c1 , b1c2 , b2c1 , b2c2 } ,
事件 B 由 12 个基本事件构成,故 P ( B ) ?

12 ? 0.8 . 15

7

教师寄语: “认真”能陪伴着你, “成功”也就能陪伴着你。

当堂检测
1.B 2.C 3.D 4.C

课后巩固
1.B ,2.D 3.C 4.

3 5

5.

1 2500

6.

6 25

7.

19 20

8. 解:A、B、C 三件事排序共有 6 种排法,即基本事件总数 n ? 6 . 记“参加者正好答对”为事件 D ,则 D 含有一个基本事件,即 m ? 1 .

由古典型的概率公式,得 9. 解: (1)由于袋内只装有黑、白两种颜色的球,故“取出的球是红球”不可能发生,因 此,它是不可能事件,其概率为 0. (2)由已知,从口袋内取出一个球,可能是白球也可能是黑球,故“取出的球是黑球”是 3 随机事件,它的概率为 8 . (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取出一个球不是黑球就是白球,因此, “取 出的球是白球或黑球”是必然事件,它的概率是 1.

P ( D) ?

m 1 ? n 6.

8



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