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【选修2-3课件】1[1].1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)



2010年夏季在南非举行的第十

九届世界杯足球赛共有32支队伍参 决出16强,这16强按确定的程序进
行淘汰赛后,最后决出冠亚军,此外 还决出了三、四名。 问:一共安排了多少场比赛?

加。他们先分成八个小组进行循环赛,

第一章 计数原理
1.1.1分类加法计数原理与
分步乘法计数原理



思考?
1、用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教 室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号 码? 分析: 给教室里的座位编号共有2类方案,
第一类方案, 第二类方案, 所以 用大写英文字母,有26种方法; 用阿拉伯数字,有10种方法;

总共能够编出26+10=36种不同的号码。

2、 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,
一天中,火车有4 班, 汽车有2班,那么一天中乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走 法? 探究: 你能说说上述两个问题的共同特征吗?

一、分类加法计数原理 (加法原理)
完成一件事,有两类不同的方案, 在第一类方案中有m1种不同的方法; 在第二类方案中有m2种不同的方法. 那么完成这件事共有

N= m1+m2

种不同的方法.

推广: 完成一件事,有n类不同的方案, 在第一类方案中有m1种不同的方法; 在第二类方案中有m2种不同的方法.

……

在第n类方案中有mn种不同的方法.

那么完成这件事共有

N= m1+m2+…+mn
种不同的方法.

例1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下: A大学 生物学 化学 医学 物理学 B大学 数学 会计学 信息技术学 法学

工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
解:这名同学在A大学中有5种专业选择,在B大学中有4种专业选择。
根据分类计数原理:这名同学可能的专业选择共有5+4=9种。

思考?
1、 从甲地到丙地,需要先乘火车到达乙地,然后
再乘汽车到达丙地,一天中,火车有4 班, 汽车有3 班,那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到丙地 共有多少种不同的走法?

2、用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字, 以A1,A2,· · · ,B1,B2,· · · 的方式给教室里的座位 编号,总共能编出多少个不同的号码?

字母

数字
1 2

得到的号码
A1
A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9

3
4

A

5
6 7 树形图 8 9

思考:你能说说这两个问题的共同特征吗?

二、分步乘法计数原理 (乘法原理)
完成一件事,需要两个步骤, 做第一步有m1种不同的方法; 做第二步有m2种不同的方法. 那么完成这件事共有

N= m1×m2 种不同的方法.

推广: 完成一件事,需要n个步骤, 做第一步有m1种不同的方法; 做第二步有m2种不同的方法.

……

做第n步有mn种不同的方法.

那么完成这件事共有

N= m1×m2×…×mn
种不同的方法.

例2、设某班有男生30名,女生24名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不 同的选法? 例3、某地的部分电话号码是05776577××××,后面 每个数字来自0~9这10个数,问可以产生多少个不同的 电话号码? 分析:

05776577 分析:

10×10× 10× 10=104 10× 9 × 8 × 7=5040

变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同 的电话号码?

分类计数与分步计数原理的区别和联系: 加法原理 乘法原理
分类计数原理和分步计数原理,回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 方案,关键词是“分类” 步骤,关键词是“分步”

联系
区别一

区别二

每一步得到的只是中间结果, 任何一步都不能能独立完成 每类方案都能独立完成 这件事情,缺少任何一步也 这件事情。 不能完成这件事情,只有每 个步骤完成了,才能完成这 件事情。

区别三

各类方案是互斥的、 并列的、独立的

各步之间是相关联的

例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? N=4+3+2=9 (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法? N=4 ×3×2=24

例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左右两边墙上的指定位置,问共有多 少种不同的挂法?

课堂练习
1、在所有的两位数中,个位数字比十位数 字大的两位数有多少个?
2、8本不同的书,任选3本分给3个同学, 每人1本,有多少种不同的分法?

1.1.2两个计数原理的应用

题型一:两个原理应用于“几何”问题 例1:

(1)若x, y是 满 足 1 ? x ? 4,2 ? y ? 7的 整 数 , 则 以( x, y )( x ? y )为 坐标 的点 有 多少 个?

(2)已 知 a ? ?3,4,6?, b ? ?1,2,7,8?, r ? ?8,9?,

则 方 程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 可 表 示 不 同
2 2 2

的圆有多少个?

题型二:两个原理应用于“分配” 问题
例2: (1)有3名学生分配到某工厂的5个

车间去参加社会实践,则有多少不同 的分配方案?

(2)把5本书全部借给3名学生,有 多少种不同的借法?

题型三:两个原理应用于“组数”问题
例3:

(1)由1,2,3,4可以组成多少个

自然数?(数字可重复且最多只能是 四位数)

(2)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无

重复数字的比2000大的四位奇数?

题型四:“多面手”问题 例4: (1)某外语组有9人,每人至少会英语和日语 中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中 选出会英语和日语的各一人去参加培训,有多 少种不同的选法?

(2)某文艺小组有20人,每人至少会唱歌或 跳舞中的一种,其中14人会唱歌,10人会跳舞, 从中选出会唱歌与会跳舞的各1人,有多少种不 同的选法?

题型五:“约数个数”问题 例4: 1260共有多少个不同的正约数?

练习:8250共有多少个不同的正约数?

题型六:两个原理在各学科中的应用 例5:

给程序模块命名,需要用3个字符, 其中首字符要求用字母A~G或U~Z, 后两个要求用数字1~9,最多可以给 多少个程序命名?

例6:核糖核酸(RNA)分子是在生物细 胞中发现的化学成分。一个RNA分子是 一个有着数百个甚至数千个位置的长链, 长链中的每一个位置上都由一种称为碱 基的化学成分所占据。总共有4种不同 的碱基,分别用A,C,G,U表示。在一个 RNA分子中,各种碱基能够以任意次序 出现,所以在任意一个位置上的碱基与 其他位置上的碱基无关。假设一类RNA 分子由100个碱基组成,那么能有多少 种不同的RNA分子?

计算机编程人员在编写好程序以 后需要对程序进行测试.程序员需要 知道到底有多少条执行路径(即程序 从开始到结束的路线),以便知道需 要提供多少个测试数据.一般地,一 个程序模块由许多子模块组成.如图 ,它是一个具有许多执行路径的程序 模块.问:这个程序模块有多少条执 行路径?
例7

开始

子模块1 18条执行路径

子模块2 45条执行路径

子模块3 28条执行路径

子模块4 38条执行路径

A

子模块5 43条执行路径

结束

例8 随着人们生活水平的提高,某城 市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台 了一种汽车牌照组成办法,每一个汽 车牌照都必须有3个不重复的英文 字母和3个不重复的阿拉伯数字,并 且3个字母必须合成一组出现,3个 数字也必须合成一组出现.那么这种 办法共能给多少辆汽车上牌照?

思考1:你能归纳一下用分类加法计数原理、 分步乘法计数原理解决计数问题的方法吗? 用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是 在开始计算之前要进行仔细分析----------需要分类还是分步。 分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一 类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得 到总数

分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰 好完成任务,当然步与步之间要相互独立。分步 后再计算每一步的方法数,最后很据分步乘法计 数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数。



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