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2017届高考数学大一轮总复习 19 同角三角函数的基本关系与诱导公式 理



计时双基练十九

同角三角函数的基本关系与诱导公式
A 组 基础必做

3 ? π 3π ? 1 . (2015·成 都外 国语学 校 月考 ) 已 知 tan(α - π ) = , 且 α ∈ ? , ? , 则 2 ? 4 ?2 π? ? sin?α + ?=( 2? ? A. C. 4 5 3 5 ) 4 B.- 5 3

D.- 5

3 3 ? π 3π ? 解析 由 tan(α -π )= 得 tan α = 。又因为 α ∈? , ?,所以 α 为第三象限 2 ? 4 4 ?2 π? 4 ? 的角,所以 sin?α + ?=cos α =- 。 2? 5 ? 答案 B 2 2.若 α 为三角形的一个内角,且 sin α +cos α = ,则这个三角形是( 3 A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 )

4 2 解析 ∵(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 9 5 ∴sin α cos α =- <0,∴α 为钝角。故选 D。 18 答案 D 2sin α +1 3.(2015·福建泉州期末)若 tan α =2,则 的值为( sin 2α A. C. 5 3 13 5 13 B.- 4 D. 13 4
2

)

1 解析 解法一(切化弦的思想):因为 tan α =2,所以 sin α =2cos α ,cos α = sin 2 4 2sin α +1 2sin α +1 α 。又因为 sin α +cos α =1,所以解得 sin α = 。所以 = = 5 sin 2α 2sin α cos α
2 2 2 2 2

4 2× +1 5 2sin α +1 13 = = 。故选 D。 2 sin α 4 4 5
2

1

解法二(弦化切的思想):因为 13 。故选 D。 4 答案 D

2sin α +1 3sin α +cos α 3tan α +1 3×2 +1 = = = = sin 2α 2sin α cos α 2tan α 2×2

2

2

2

2

2

4. 1-2sin?π +2?cos?π +2?=( A.sin 2-cos 2 C.±(sin 2-cos 2) 解析 1-2sin?π +2?cos?π +2?
2

) B.cos 2-sin 2 D.sin 2+cos 2

= 1-2sin 2·cos 2= sin 2-2sin 2·cos 2+cos 2 =|sin 2-cos 2|。 π 又∵ <2<π ,∴sin 2>0,cos 2<0。 2 ∴|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2。 答案 A 5. 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x。 当 0≤x<π 时, f(x)=0, 则 f? =( A. ) 1 2 B. 3 2

2

?23π ? ? ? 6 ?

C.0 解析 由题意得 f? =f?

1 D.- 2

?23π ?=f?17π ?+sin 17π ? ? ? 6 ? 6 ? ? 6 ?

?11π ?+sin 11π +sin 17π =f?5π ?+sin 5π +sin 11π +sin 17π =0+1-1 ? ? 6 ? 6 6 6 6 6 2 2 ? 6 ? ? ?

1 1 + = 。 2 2 答案 A π? 1 ? ?π ? 6.已知 sin?α - ?= ,则 cos? +α ?=( 4? 3 ? ?4 ? A. C. 2 2 3 1 3 ) 2 2 B.- 3 1 D.- 3

?π ?π ?? ?π ? 解析 ∵cos? +α ?=sin? -? +α ?? ?? ?4 ? ?2 ?4
2

π? 1 ?π ? ? =sin? -α ?=-sin?α - ?=- 。 4? 3 ?4 ? ? 答案 D 1 ? 3π ? 7.如果 sin α = ,且 α 为第二象限角,则 sin? +α ?=________。 5 ? 2 ? 1 解析 ∵sin α = ,且 α 为第二象限角, 5 ∴cos α =- 1-sin α =- ∴sin? 答案
2

1 2 6 1- =- , 25 5

?3π +α ?=-cos α =2 6。 ? 5 ? 2 ?
2 6 5

?π ? 8.已知 tan x=-2,x∈? ,π ?,则 cos x=________。 ?2 ?
sin x sin x 1-cos x 解析 ∵tan x= =-2,∴ 2 =4,∴ =4, 2 cos x cos x cos x 1 5 ?π ? 2 ∴cos x= 。∵x∈? ,π ?。∴cos x<0,∴cos x=- 。 5 5 ?2 ? 答案 - 5 5 7 ,θ ∈(0,π ),则 tan θ =________。 13
2 2

9.已知 sin θ +cos θ =

7 解析 解法一:因为 sin θ +cos θ = ,θ ∈(0,π ), 13 49 2 所以(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ = , 169 60 所以 sin θ cos θ =- 。 169 7 60 2 由根与系数的关系,知 sin θ ,cos θ 是方程 x - x- =0 的两根, 13 169 12 5 所以 x1= ,x2=- 。 13 13 因为 θ ∈(0,π ),所以 sin θ >0,cos θ <0。 12 5 所以 sin θ = ,cos θ =- 。 13 13 sin θ 12 所以 tan θ = =- 。 cos θ 5

3

60 解法二:同解法一,得 sin θ cos θ =- , 169 sin θ cos θ 60 所以 2 =- 。 2 sin θ +cos θ 169 tan θ 60 弦化切,得 2 =- , tan θ +1 169 即 60tan θ +169tan θ +60=0, 12 5 解得 tan θ =- 或 tan θ =- 。 5 12 7 60 又 θ ∈(0,π ),sin θ +cos θ = >0,sin θ cos θ =- <0。 13 169 12 ?π 3π ? 所以 θ ∈? , ?,所以 tan θ =- 。 4 ? 5 ?2 7 ? ?sin θ +cos θ = , 13 解法三:解方程组? ? ?sin2θ +cos2θ =1, ∵θ ∈(0,π ),∴sinθ >0,得, 12 ? ?sin θ =13 ? 5 cos θ =- ? ? 13 12 答案 - 5 10.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α 。 解 由已知得 sin α =2cos α 。
2 2

5 ? ?sin θ =-13 或? 12 cos θ = ? ? 13

12 (舍)。故 tan θ =- 。 5

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- 。 5×2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α sin α +sin α 8 (2)原式= = = 。 2 2 sin α +cos α 1 2 5 2 sin α + sin α 4 11.已知 A、B、C 是三角形的内角, (1)求角 A; 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B。 2 2 cos B-sin B
4
2 2 2

3sin A,-cos A 是方程 x -x+2a=0 的两根。

2



(1)由已知可得, 3sin A-cos A=1。 ①
2 2 2 2

又 sin A+cos A=1,∴sin A+( 3sin A-1) =1, 即 4sin A-2 3sin A=0, 得 sin A=0(舍去)或 sin A= 3 , 2
2

π 2π ∵A∈(0,π ),∴A= 或 , 3 3 π 2π 2 π 将 A= 或 代入①知 A= π 时不成立,∴A= 。 3 3 3 3 1+2sin Bcos B (2)由 =-3, 2 2 cos B-sin B 得 sin B-sin Bcos B-2cos B=0, ∵cos B≠0,∴tan B-tan B-2=0, ∴tan B=2 或 tan B=-1。 ∵tan B=-1 使 cos B-sin B=0,舍去, 故 tan B=2。 B 组 培优演练 1 1.(2015·湖南怀化一模)已知 tan α = ,则 log5(sin α +2cos α )-log5(3sin α 2 -cos α )=________。 1 +2 2 1 sin α +2cos α tan α +2 解析 由于 tan α = ,则 = = =5,log5(sin α 2 3sin α -cos α 3tan α -1 1 3× -1 2 sin α +2cos α +2cos α )-log5(3sin α -cos α )=log5 =log55=1。 3sin α -cos α 答案 1
2 2 2 2 2

? π? 1 ? 5π ? 2?11π -x? 2.已知 sin?x+ ?= ,则 sin? -x?+sin ? ?的值为________。 6 6 6 4 ? ? ? ? ? ?
解析 sin?

?5π -x?+sin2?11π -x? ? ? 6 ? ? 6 ? ? ?

? ?π ?? ? π ?? 2? =sin?π -? +x??+sin ?2π -?x+ ?? 6 ?? ? ?6 ?? ? ?
π? 5 ? π? 2? =sin?x+ ?+sin ?x+ ?= 。 6? 6 ? 16 ? ? 答案 5 16

5

1 cos 2α ? π? 3.已知 sin α = +cos α ,且 α ∈?0, ?,则 的值为________。 2? 2 π? ? ? sin?α - ? 4? ? 1 2 解析 解法一:由题意得 sin α -cos α = ,因为(sin α +cos α ) +(sin α -cos 2 7 ?1?2 ? π? 2 2 2 α ) =2,即(sin α +cos α ) +? ? =2,所以(sin α +cos α ) = 。又 α ∈?0, ?,所 2? 4 ?2? ? 7 cos 2α cos α -sin α 以 sin α +cos α = , 所以 = =- 2(sin α +cos α ) 2 π 2 ? ? sin?α - ? 4 ? 2 ?sin α -cos α ? ? =- 14 。 2
2 2

π? 1 π? 1 2 ? ? 解法二:由题意得 sin α -cos α = ,所以 2sin?α - ?= 。sin?α - ?= 。 4? 2 4? 4 2 ? ? π? π ? π? 14 ? π? ? ?π ? 又 α ∈?0, ?,所以 α - ∈?0, ?,所以 cos?α - ?= ,cos 2α =sin? -2α ? 2? 4? 4? 4 ? 4 ? ? ?2 ? π? π? π? 2 14 7 ? ? ? = - sin ?2α - ? = - 2sin ?α - ? cos ?α - ? = - 2× × =- ,所以 2? 4? 4? 4 4 4 ? ? ? cos sin?α 7 4 2α 14 = =- 。 π? 2 2 - ? 4? 4 - 14 2
2 2

? ?

答案 -

cos ?nπ +x?·sin ?nπ -x? 4.已知 f(x)= (n∈Z)。 2 cos [?2n+1?π -x] (1)化简 f(x)的表达式;

? π ?+f?503π ?的值。 (2)求 f? ? ? ? ?2 014? ?1 007?
解 (1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,
2 2

cos ?2kπ +x?·sin ?2kπ -x? f(x)= 2 cos [?2×2k+1?π -x] = cos x·sin ?-x? cos x·?-sin x? = 2 2 cos ?π -x? ?-cos x?
2 2 2 2 2

=sin x; 当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,

f(x)=

cos [?2k+1?π +x]·sin [?2k+1?π -x] 2 cos {[2×?2k+1?+1]π -x}

2

2

6

= =

cos [2kπ +?π +x?]·sin [2kπ +?π -x?] 2 cos [2×?2k+1?π +?π -x?] cos ?π +x?·sin ?π -x? ?-cos x? sin x 2 = =sin x, 2 2 cos ?π -x? ?-cos x?
2 2 2 2 2

2

2

综上得 f(x)=sin x。

? π ?+f?503π ? (2)由(1)得 f? ? ? ? ?2 014? ?1 007?
=sin =sin =sin
2

π 21 006π +sin 2 014 2 014 π ? π 2?π +sin ? - ? 2 014 ? 2 2 014? π 2 π +cos =1。 2 014 2 014

2

2

7



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