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高中数学奥赛系列辅导资料:三垂线法作二面角的平面角的技巧



三垂线法作二面角的平面角的技巧
求二面角的大小是考试中经常出现的问题, 而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角 大小的一个重要方法,许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作 出二面角的平面角,使得解题受阻. 我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法,其作图模型 为: 如图 1,在二面角 ? —l 一 ? 中,过平面 ? 内一

点 A 作 AO⊥平面 ? ,垂足为 O,过点 O 作 OB⊥l 于 B(过 A 点作 AB⊥于 B), 连结 AB(或 OB), 由三垂线定理(或逆定理)知 AB⊥l(或 OB⊥l),则∠ABO 为二面角。 ? —l— ? 的平面角. 作图过程中,作出了两条垂线 AO 与 OB(或 AB),后连结 AB 两点(或 OB 两点),这一过 程可简记为“两垂一连”,其中 AO 为“第一垂线”.“第一垂线”能否顺利找到或恰当作 出是用三垂线法作二面角的平面角的关键,在具体解题过程中要注意以下几点:

1.善于利用图中已有的“第一垂线” 例 1 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BCA=90°,AC=BC,A1 在底面 ABC 的射影恰 为 AC 的中点 M,又知 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°. (1)求证:BC⊥平面 AA1CC1; (2)求二面角 B 一 AA1—C 的大小. 剖析: 注意该题的第(1)问, 事实上本题已经暗示了 BC 就是我们要寻求的 “第一垂线” . 略解 2 A1A 与底面 AB 成的角为 60°,所以∠A1AC=60°,又 M 是 AC 中点,所以△ AA1C 是正三角形,作 CN⊥AA1 于 N,点 N 为 A1A 的中点,连结 BN,由 BC⊥平面 AA1CC1, BN⊥AA1,则∠BNC 为二面角 B 一 AA1 一 C 的平面角.设 AC=BC=a,正△AA1C 的边长 为 a , 所 以 CN ?

3 BC a 2 3 a , 在 Rt △ BNC 中 , tan ∠ BNC= ,即∠ ? ? 2 NC a 3 3 2

BNC ? arctan 例2

2 3 . 3
1 2

如图 3, 在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中, ∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD,

SA=AB=BC=1,AD=

(1)求四棱锥 S—ABCD 的体积; (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值.

剖析:由 SA⊥面 ABCD 及∠ABC=90°,不难发现,BC 即为“第一垂线”,但是,本 题要作二面角的平面角,还需首先作出二面角的棱. 略解 2 延长 BA、CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱,因为 AD∥BC, BC=2AD,所以 EA=AB=SA,所以 SE⊥SB,因为 SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是 交线,又 BC⊥EB,所以 BC⊥面 SEB,故 SB 是 CS 在面 SEB 上的射影,所以 CS⊥SE,所 以∠BSC 是所求二面角的平面角,因为 SB ? SA ? AB ?
2 2

2 ,BC=1,BC⊥SB,因为 tan

∠BSC= ?

BC 2 2 ,即所求二面角的正切值为 . ? SB 2 2

2.借助第三个平面,作“第一垂线” 例3 如图 4,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底边长为 a,侧棱长为

2 a ,若经过对角线 2

AB1 且与对角线 BC1 平行的平面交上底面一边 A1C1 于点 D. (1)确定点 D 的位置,并证明你的结论; (2)求二面角 A1—AB1—D 的大小. 剖析:由线面平行的性质定理及三角形中位线性质,易知 D 是 A1C1 中点.二面角 A1 —AB1 一 D 的放置属于非常规位置的图形,但是,容易发现,平面 A1B1C1 过点 D 且与平面 A1AB1 垂直,这样的平面相对于二面角的两个平面而言,我们称为第三个平面.过 D 作 DF ⊥A1B1,由面面垂直的性质知,DF⊥面 A1AB1,即 DF 为我们要作的“第一垂线”. 略解 2 在平面 A1B1C1 内,作 CF⊥A1B1 于 F,连 DC,由三垂线定理可证 AB1⊥DG, ∠DGF 就是二面角 A1—AB1 一 D 的平面角,在正△A1B1C1 中,因为 D 是 A1C1 中点,A1B1 =a,所以 B1 F ?

3 3 a , DF ? a ,在 Rt△DFG,可求得∠DCF=45°. 4 4

3.利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线” 例 4 已知: Rt△ABC 的斜边 BC 在平面 ? 内, AB、 分别与平面。 30°和 45°角, AC 成 求平面 ? 与△ABC 所在平面所成二面角的大小. 剖析:本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助,但是,我们注意到

AB、AC 与平面 ? 所成的角均已给出,只要过 A 作 AO⊥ ? 于 O,就可以同时找到 AB、AC 在平面 ? 内的射影,无疑这样得到的“第一垂线"AO 有着非常特殊的位置,有利于二面角 大小的计算. 解:作 AO⊥ ? 于 O,OD⊥BC 于 D,连 OB,AD,OC,由三垂线定理得:AD⊥BC, 所以∠ADO 是二面角 A—BC—O 的平面角,令 AO=x,在 Rt△AOB 中,∠ABO=30°,所 以 AB=2x,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45°,所以 AC ?

2 x ,因为∠BAC=90°,所以

BC ? 6 x ,所以 AD ?

2x ? 2x 6x

?

2 3 x。 3

在 Rt△AOD 中, sin∠ADO ? 成 60°或 120°的二面角.

AO 3 , 所以∠ADO=60°, 所以三角形 ABC 与面 ? ? AD 2

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