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2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元综合测试 新人教A版必修4



【红对勾】 2015-2016 学年高中数学 第三章 三角恒等变换单元综合 测试 新人教 A 版必修 4
时间:120 分钟 分值:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.对任意的锐角 α ,β ,下列不等关系中正确的是( A.sin(α +β )>sinα +sinβ C.cos(α +β )<sinα +sinβ )

B.sin(α +β )>cosα +cosβ D.cos(α +β )<cosα +cosβ

解 析 : 当 α = β = 30° 时 可 排 除 A , B ; 当 α = β = 15° 时 , 代 入 C 得 3 1-cos30° 2 0<cos30°<2sin15°,平方得 <4sin 15°=4? =2- 3 ≈0.268,矛盾.故选 4 2 D. 答案:D
2 π 2 π 2.化简 cos ( -α )-sin ( -α )得到( 4 4

) B.-sin2α D.-cos2α

A.sin2α C.cos2α

π π 解析:原式=cos2( -α )=cos( -2α )=sin2α . 4 2 答案:A 3. A. 3-sin70° =( 2 2-cos 10° 1 2 ) B. D. 2 2 3 2

C.2

3-sin70° 2?3-sin70°? 解析:原式= = =2. 1+cos20° 3-cos20° 2- 2 答案:C 1 2 4.已知 tanα = ,tan(α -β )=- ,那么 tan(β -2α )的值为( 2 5 )

1

3 A.- 4 9 C.- 8

1 B.- 12 D. 9 8

1 解析:tan(β -2α )=tan[(β -α )-α ]=- . 12 答案:B 5. 已知函数 f(x)= 3sinω x+cosω x(ω >0), y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻 交点的距离等于 π ,则 f(x)的单调递增区间是( π 5π ? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 12 12 ? ? 5π 11π ? ? B.?kπ + ,kπ + ,k∈Z 12 12 ? ? ? π π? ? C.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 6? ? π 2π ? ? D.?kπ + ,kπ + ?,k∈Z 6 3 ? ? π 解析:f(x)= 3sinω x+cosω x=2sin(ω x+ ),由已知得周期 T=π . 6 π ∴ω =2,即 f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z)得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 2 6 2 3 6 答案:C 6.在△ABC 中,sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 为( A.直角三角形 C.锐角三角形 ) )

B.钝角三角形 D.等腰三角形

解析:sinAsinB<cosAcosB,即 sinAsinB-cosAcosB<0, -cos(A+B)<0,所以 cosC<0,从而角 C 为钝角,△ABC 为钝角三角形. 答案:B 7. 2sin2α cos α ? 等于( 1+cos2α cos2α
2

) B.tan2α D.
2

A.tanα C.1 2sin2α cos α 解析:原式= ? 2 1+2cos α -1 cos2α

1 2

2



2sinα ?cosα 2tanα = 2 2 2 cos α -sin α 1-tan α

=tan2α . 答案:B 8.若 cos2θ +cosθ =0,则 sin2θ +sinθ =( A.0 C.0 或 3
2

)

B.± 3 D.0 或± 3

解析:由 cos2θ +cosθ =0 得 2cos θ -1+cosθ =0, 1 所以 cosθ =-1 或 . 2 当 cosθ =-1 时,有 sinθ =0; 1 3 当 cosθ = 时,有 sinθ =± . 2 2 于是 sin2θ +sinθ =sinθ (2cosθ +1)=0 或 3或- 3. 答案:D 4 9.已知等腰三角形顶角的余弦值等于 ,则这个三角形底角的正弦值为( 5 A. 10 10 3 10 10 B.- 10 10 )

C.

3 10 D.- 10

π 解析: 设等腰三角形的底角为 α (0<α < ), 则其顶角为 π -2α .由已知 cos(π -2α ) 2 4 = , 5 4 ∴cos2α =- . 5 4 9 2 2 故 1-2sin α =- ,sin α = . 5 10 π 3 10 又 0<α < ,∴sinα = . 2 10 答案:C 3 π 1 10.已知 sin2α = ( <2α <π ),tan(α -β )= ,则 tan(α +β )=( 5 2 2 A.-2 2 C.- 11 B.-1 D. 2 11
3

)

3 π 解析:由 sin2α = ,且 <2α <π , 5 2 4 3 可得 cos2α =- ,∴tan2α =- , 5 4 ∴tan(α +β )=tan[2α -(α -β )] = tan2α -tan?α -β ? =-2. 1+tan2α tan?α -β ?

答案:A π 2 11.已知向量 a=(cos2α ,sinα ),b=(1,2sinα -1),α ∈( ,π ),若 a?b= , 2 5 π 则 tan(α + )=( 4 A. C. 1 3 1 7 ) B. D. 2 7 2 3

2 解析:由题意,得 cos2α +sinα (2sinα -1)= , 5 3 π 解得 sinα = .又 α ∈( ,π ), 5 2 4 3 所以 cosα =- ,tanα =- , 5 4 π tanα +tan 4 1 π 则 tan(α + )= = . 4 π 7 1-tanα tan 4 答案:C 1 π π 1 π π 2 12.将函数 f(x)= sin2xsin +cos xcos - sin( + )的图象上各点的横坐标缩 2 3 3 2 2 3 1 π 短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 g(x)在[0, ]上的最大值和 2 4 最小值分别为( 1 1 A. ,- 2 2 1 1 C. ,- 2 4 1 3 1 2 1 5π 解析:f(x)= ? sin2x+ cos x- sin 2 2 2 2 6 ) 1 1 B. ,- 4 4 1 1 D. ,- 4 2

4



3 1 1 2 sin2x+ cos x- 4 2 4 3 1 1+cos2x 1 1 π sin2x+ ? - = sin(2x+ ), 4 2 2 4 2 6



1 π 所以 g(x)= sin(4x+ ). 2 6 π π π 7π π π 1 因为 x∈[0, ],所以 4x+ ∈[ , ],所以当 4x+ = 时,g(x)取得最大值 ; 4 6 6 6 6 2 2 π 7π 1 当 4x+ = 时,g(x)取得最小值- . 6 6 4 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知 α ,β 为锐角,且 cos(α +β )=sin(α -β ),则 tanα =________. 解析:∵cos(α +β )=sin(α -β ), ∴cosα cosβ -sinα sinβ =sinα cosβ -cosα sinβ . ∴cosα (sinβ +cosβ )=sinα (sinβ +cosβ ). ∵β 为锐角,∴sinβ +cosβ ≠0,∴cosα =sinα , ∴tanα =1. 答案:1 π 4 7π 14.已知 cos(α - )+sinα = 3,则 sin(α + )的值为________. 6 5 6 解析:由已知得 3 3 4 cosα + sinα = 3, 2 2 5

1 3 4 所以 cosα + sinα = , 2 2 5 π 4 即 sin(α + )= , 6 5 7π π 4 因此,sin(α + )=-sin(α + )=- . 6 6 5 4 答案:- 5 π 15.已知 0<x< ,化简: 2 π 2x lg(cosx?tanx+1-2sin )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+sin2x)=________. 2 4 解析:原式=lg(sinx+cosx)+lg(sinx+cosx)-lg(sinx+cosx) =0.
2

5

答案:0 π 2 16.设函数 f(x)=2cos x+ 3sin2x+a,已知当 x∈[0, ]时,f(x)的最小值为-2, 2 则 a=________. 解析:f(x)=1+cos2x+ 3sin2x+a π =2sin(2x+ )+a+1. 6 π π π 7π ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ]. 2 6 6 6 π 1 ∴sin(2x+ )∈[- ,1], 6 2 1 ∴f(x)min=2?(- )+a+1=a.∴a=-2. 2 答案:-2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) π 2 π 3π 17.(10 分)已知 cos(x- )= ,x∈( , ). 4 10 2 4 (1)求 sinx 的值; π (2)求 sin(2x+ )的值. 3 π 3π π π π 解:(1)∵x∈( , ),∴x- ∈( , ), 2 4 4 4 2 π 2 π 7 2 ∵cos(x- )= ,∴sin(x- )= . 4 10 4 10 π π ∴sinx=sin[(x- )+ ] 4 4 π π π π =sin(x- )cos +cos(x- )sin 4 4 4 4 = 7 2 2 2 4 2? + ? = . 10 2 10 2 5

3 (2)由(1)可得 cosx=- , 5 24 7 ∴sin2x=- ,cos2x=- , 25 25 π π π ∴sin(2x+ )=sin2xcos +cos2xsin 3 3 3 24+7 3 =- . 50
6

1 13 π 18.(12 分)已知 cosα = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < . 7 14 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β 的值. π 1 解:(1)∵0<α < 且 cosα = , 2 7 4 3 2 ∴sinα = 1-cos α = , 7 sinα ∴tanα = =4 3. cosα 2tanα 2?4 3 8 3 tan2α = = =- . 2 2 1-tan α 1-?4 3? 47 π π (2)∵0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 13 由 cos(α -β )= . 14 得 sin(α -β )= 1-cos ?α -β ?= ∴sinβ =sin[α -(α -β )] =sinα cos(α -β )-cosα sin(α -β ) = 4 3 13 1 3 3 3 ? - ? = , 7 14 7 14 2 π ∴β = . 3
2

3 3 , 14

π ∵0<β < 2

π 19.(12 分)已知函数 f(x)= 2cos(x- ),x∈R. 12 π (1)求 f(- )的值; 6 3 3π π (2)若 cosθ = ,θ ∈( ,2π ),求 f(2θ + ). 5 2 3 π π π 解:(1)f(- )= 2cos(- - ) 6 6 12 π π = 2cos(- )= 2cos =1. 4 4 π π π (2)f(2θ + )= 2cos(2θ + - ) 3 3 12 π = 2cos(2θ + ) 4

7

=cos2θ -sin2θ . 3 3π 4 因为 cosθ = ,θ ∈( ,2π ),所以 sinθ =- . 5 2 5 24 7 2 2 所以 sin2θ =2sinθ cosθ =- ,cos2θ =cos θ -sin θ =- . 25 25 π 7 24 17 所以 f(2θ + )=cos2θ -sin2θ =- -(- )= . 3 25 25 25 π π 2x 20.(12 分)已知函数 f(x)=sin(x- )+cos(x- ),g(x)=2sin . 6 3 2 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= ,求 g(α )的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. π π 解:f(x)=sin(x- )+cos(x- ) 6 3 = 3 1 1 3 sinx- cosx+ cosx+ sinx 2 2 2 2

= 3sinx,

x g(x)=2sin2 =1-cosx,
2 3 3 3 (1)由 f(α )= ,得 sinα = ,又 α 是第一象限角,所以 cosα >0.从而 g(α )=1 5 5 4 1 2 -cosα =1- 1-sin α =1- = . 5 5 (2)f(x)≥g(x)等价于 3sinx≥1-cosx,即 3sinx+cosx≥1. π 1 于是 sin(x+ )≥ . 6 2 π π 5π 从而 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 2π 即 2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 3 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为 2π {x|2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z}. 3 21.(12 分)点 P 在直径为 AB=1 的半圆上移动,过点 P 作圆的切线 PT,且 PT=1,∠

PAB=α ,问 α 为何值时,四边形 ABTP 的面积最大?
解:

8

如图,因为 AB 为直径,PT 切圆于 P 点,所以∠APB=90°,PA=cosα ,PB=sinα ,

S 四边形 ABTP=S△PAB+S△TPB
1 1 = PA?PB+ PT?PBsinα 2 2 1 1 2 1 1-cos2α = sinα cosα + sin α = sin2α + 2 2 4 4 1 1 = (sin2α -cos2α )+ 4 4 = 2 π 1 sin(2α - )+ . 4 4 4

π π π 3π 因为 0<α < ,因为- <2α - < , 2 4 4 4 π π 3π 所以当 2α - = ,即 α = 时,四边形 ABTP 的面积最大. 4 2 8 22.(12 分)已知向量 a=( 3sin2x,cos2x),b=(cos2x,-cos2x). 7π 5π 1 3 (1)若 x∈( , )时,a?b+ =- ,求 cos4x 的值; 24 12 2 5 1 1 (2)cosx≥ ,x∈(0,π ),若方程 a?b+ =m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2 2 解:(1)∵a?b= 3sin2xcos2x-cos 2x 1 1 2 ∴a?b+ = 3sin2xcos2x-cos 2x+ 2 2 = = 3 1+cos4x 1 sin4x- + 2 2 2 3 1 sin4x- cos4x 2 2
2

π 3 =sin(4x- )=- , 6 5 7 5 7 5 ∵x∈( π , π ),∴4x∈( π , π ), 24 12 6 3

9

π 3 π 4 4x- ∈(π , π ),∴cos(4x- )=- , 6 2 6 5 π π ∴cos4x=cos[(4x- )+ ] 6 6 π π π π =cos(4x- )cos -sin(4x- )sin 6 6 6 6 4 3 3 1 3-4 3 =(- )? -(- )? = . 5 2 5 2 10 1 (2)因为 cosx≥ ,又余弦函数在(0,π )上是减函数, 2 π 所以 0<x≤ , 3 1 π 令 f(x)=a?b+ =sin(4x- ),g(x)=m, 2 6 在同一坐标系中作出两个函数的图象, 1 由图可知 m=1 或 m=- . 2

10



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