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广东省佛山市2015~2016学年第一学期普通高中高一教学质量检测数学试题


2015~2016 学年佛山市普通高中高一数 学 2016 年 1 月 教学质量检测 本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内; 如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 A ? x x ? Z , B ? x 0 ? x ? 3 ,则 A ? B ? ( A.

?

?

?

?

) D.

? x 0 ? x ? 3?
1 x

B. ?1, 2? )
x

C.

? x 1 ? x ? 2?

?x x ? Z ?

2. 下列函数中,在其定义域内是偶函数为( A. f ? x ? ? B. f ? x ? ? 2 )

C. f ? x ? ? lg x

D. f ? x ? ? cos x

3. 下列大小关系正确的是( A. 3 ? 4
1 3 1 3

B. 0.30.4 ? 0.30.3 )

C. log7 6 ? log 6 7

D. sin 3 ? sin 2

4. 下列计算正确的是( A.

? m ? n?
10 9

2

? m?n
9

B. log 2 3 ? log 2 5 ? log 215

C. 2 ? 2 ? 2

25 ? 125 ? 3 D. ? ? ? ?? 9 ? 27 ?
) D. B. ?1, 2 ?

2

5. 已知函数 y ? f ? x ? 的图像经过点 P ?1, ?2? ,则函数 y ? ? f ? ? x ? 的图像必过点( A.

? ?1, 2?
? ?

C. )

? ?1, ?2?

? ?2,1?

6. 已知函数 f ? x ? ? tan ? 2 x ? A.

??

? 25? ? ? ,则 f ? ? ?( 3? ? 6 ?

3
2

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3
)

7. 已知函数 y ? x ? 2ax ? 1 ( a ? R )的图像如图 1 所示,则下列函数与它的图像对应正确的是(

y y=ax

y y=logax

a y= x
O

y

y

y=kx+a
(k?R)

y

O

1

x

x

O

O

1

x
C. D.

x
O 1

x

A.

B.

图1

8. 某同学在求函数 y ? lg x 和 y ?

1 的图像的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标在 x
页 共 8 页 1

高一教学质量检测数学试题 第

下列哪个区间内(

) 2.125 0.327 0.471 B. 2.25 0.352 0.444 2.375 0.376 0.421 2.5 0.398 0.400 C. 2.625 0.419 0.381 2.75 0.439 0.364 2.875 0.459 0.348 D. 3 0.477 0.333

x
lg x

2 0.301 0.5

1 x
A.

? 2.125,2,25?

? 2.75,2.875?

? 2.625,2.75?
)
2

? 2.5, 2.625?

9. 某地区今年 1 月, 2 月, 3 月, 4 月, 5 月患某种传染病的人数分别是 52 , 61 , 68 , 74 , 78 .若用下列四个 函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理?( A. f ? x ? ? kx ? h C. f ? x ? ? pq ? r
x

B. f ? x ? ? ax ? bx ? c D. f ? x ? ? m ln x ? n

10.为得到函数 y ? cos ? 2 x ? A. 向左平移

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B. 向右平移

)

5π 个长度单位 12 5π C. 向左平移 个长度单位 6

5π 个长度单位 12 5π D. 向右平移 个长度单位 6

11.已知集合 A, B ,定义 A ? B ? x x ? A 且 x ? B? , A ? B ? x x ? A 或 x ? B? ,则对于集合 M , N 下列 结论一定正确的是( A. M ? ? M ? N ? ? N C. ) B.

?

?

D. ?M ? N ? ? M ? N 12.已知函数 f ? x ? ? x ln ? x ?1? ? a ,下列说法正确的是( ) A. 当 a ? 0 时, f ? x ? 有零点 x0 ,且 x0 ? ?1,2? B. 当 a ? 0 时, f ? x ? 有零点 x0 ,且 x0 ? ? 2, ??? C. 当 a ? 0 时, f ? x ? 没有零点 D. 当 a ? 0 时, f ? x ? 有零点 x0 ,且 x0 ? ? 2, ??? 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.函数 y ? f ? x ? 与函数 g ? x ? ? a 互为反函数,且 y ? f ? x ? 图像经过点 ?10,1? ,则 f ?100? ? _____.
x

?M ? N ? ? ? N ? M ? ? ? ?M ? N ? ?? N ? M ? ? ?

14.如图 2 是幂函数 y ? x?i ( ?i ? 0, i ? 1, 2,3, 4,5 )在第一象限内的图像, 其中 ?1 ? 3 , ? 2 ? 2 , ?3 ? 1 , ? 4 ? ① 都经过点 ? 0, 0 ? 和 ?1,1? ;

y

1 1 , ? 5 ? ,已知它们具有性质: 3 2
. .

α1 α 2

α3 α4 α5

1

② 在第一象限都是增函数.
O 1

请你根据图像写出它们在 ?1, ?? ? 上的另外一个共同性质: 15.设 f ? x ? ? ax ? 2x ? 2a 在 ? ?1, 2? 上是增函数,则 a 的取值范围是
2

x

图2

16. 已知偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? f ? x? , 当 x ? [0,1] 时, f ? x ? ? x , 则当 x ?? k , k ? 1? ? k ? Z ? 时 , 函 数 f ? x ? 的解析式是_________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)
高一教学质量检测数学试题 第 页 共 8 页 2

证明:函数 f ? x ? ?

1 在区间 ? 0, ?? ? 上是减函数. x

18.(本小题满分 12 分) 已知角 ? 的终边落在第二象限 ,且与单位圆交点的纵坐标为

? 2 5 ,将角 ? 的终边逆时针旋转 与角 2 5

? 的终边重合. (Ⅰ) 求 cos ? ; sin ? ? cos ?? ? ? ? (Ⅱ) 求 的值. ?? ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? ?2 ?

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? (Ⅰ) 求函数的解析式;

? ?

?

? ? ? ? 0 ? 的图像如图 3 所示. 2 ? y

(Ⅱ) 当 x ???5, ?2? 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值.

O

1 2

5

x

2
图3

20.(本小题满分 12 分)
高一教学质量检测数学试题 第 页 共 8 页 3

已知 f ( x) ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? . (Ⅰ) 指出函数 f ? x ? 的定义域并求 f ? ? ? , f ? ? ? , f ? ? , f ? ? 的值; (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数 f ? x ? 的一个性质,并证明你的猜想; (Ⅲ) 解不等式: f ?1 ? x ? ? ln3 ? 0 .

? 1? ? 3?

? 1? ? 2?

? 1? ?2?

? 1? ?3?

21.(本小题满分 12 分)

? 1 ?? 2 x ? 2 , x ? 1 ? x ?? 1 ? 已知 f ? x ? ? ?? ? ? 1, 0 ? x ? 1 . ?? 2 ? ? 1 ? 1, x ? 0 ? ?x?m
(Ⅰ) 若 m ? 1 ,画出函数的简图,并指出函数的单调区间. (Ⅱ) 若函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? m ? 1 ( m ? 0 )有两个不同的交点,求 m 的取值范围

22.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ? x ? 有两个零点 ?3 和 1 ,且有最小值 ?4 . (Ⅰ) 求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ) 令 g ? x ? ? mf ? x ? ? 1( m ? 0 ). ② 若 m ? 0 ,证明: g ? x ? 在 ? ?3, ?? ? 上有唯一零点;

② 若 m ? 0 ,求 y ? g ? x ? 在 ? ?3, ? 上的最大值. 2

? ?

3? ?

高一教学质量检测数学试题 第

页 共 8 页

4

2015~2016 学年佛山市普通高中高一教学质量检测 数 学参考答案与评分标准 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 C 5 A 6 B 7 B 8 D 9 A 10 A 11 D 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 2 14.

? 越大函数增长越快

15. ? ? ,1? ? 2 ?

? 1 ?

16. f ? x ? ? ?

k为偶数 ? ?x ? k, ? ? x ? ? k ? 1? , k为奇数

[说明]第 14 题的参考答案有:① ? 越大函数增长越快; ②图像从下往上 ? 越来越大; ③函数值都大于1 ; ④ ? 越大越远离 x 轴;⑤ ? ? 1 ,图像下凸;⑥图像无上界;⑦当指数互为倒数时,图像关于直线 y ? x 对称;⑧当 ? ? 1 时,图像在直线 y ? x 的上方;当 0 ? ? ? 1 时,图像在直线 y ? x 的下方;(说明:答案 不唯一,其他正确答案照样给 5 分) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

1 在区间 ? 0, ?? ? 上是减函数. x 1 1 【解析】任取 x1, x2 ? ? 0, ??? ,且 x1 ? x2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? …………………3 分 ? x1 x2
17.(本小题满分 10 分)证明:函数 f ? x ? ?

?

x2 ? x1 x1 ? x2

?

?

x2 ? x1 x1 ? x2

?? x ? x ? ? ? x ? x?
2 1 2 1

x2 ? x1 x1 ? x2

?

x1 ? x2

因为 x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,所以 x1 ? 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即函数 f ? x ? ?

x2 ? 0 , x1 ?

? x ?
2

…………………………6 分

x1 ? x2 ? 0 ,……8 分

?

1 在区间 ? 0, ?? ? 上是减函数.……………10 分 x
2 5 ,将角 ? 的终边逆 5

18.(本小题满分 12 分)已知角 ? 的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为 时针旋转

? 与角 ? 的终边重合. 2
(Ⅱ) 求

(Ⅰ) 求 cos ? ;

sin ? ? cos ?? ? ? ?

?? ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? ?2 ?
2 5 ,…2 分 5

的值.

【解析】(Ⅰ)解法一:由题意得 sin ? ? 所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1 , ? 是第二象限角…3 分

5 …………5 分 5

解法二:因为角 ? 的终边与单位圆交点 P 的纵坐标为 yP ?
2 xP ? ? 1 ? yP ??

2 5 2 2 ,又 x ? y ? 1, ? 是第二象限角,所以 5

5 5 ,…………3 分 所以 cos ? ? xP ? ? …………5 分 5 5 ? ? ? ? (Ⅱ)依题意 ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,……6 分 所以 sin ? ? sin ? ? ? ? 2k? ? ? cos ? …7 分 2 2 ? ?
高一教学质量检测数学试题 第 页 共 8 页 5

sin ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? cos ? ?? ? …9 分 ? sin ? ? ? ? ? sin ? ?? ? 2k? ? ? ? sin ? …8 分 所以 ?? ? cos ? ? 2sin ? ?2 ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? ?2 ? tan ? ? 1 ?2 ? 1 1 ? ? ? ? …………12 分 1 ? 2 tan ? 1 ? 4 5 ? ? ? 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0 ? 的图像如图 3 所示. 2 ? ?
(Ⅰ) 求函数的解析式; (Ⅱ) 当 x ???5, ?2? 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值. 【解析】(Ⅰ)由图像可知,函数的周期为 T ? 6 ,
y

2? ? 5 O 1 ? .…………………………………………2 分 6 3 2 ?1 ? ?? 1 ? 又 f ? x ? 的图像过点 ? , 0 ? ,所以 2sin ? ? ? ? ? ? 0 2 ?2 ? ?3 2 ? 图3 ? 1 ? ? ? 所以 ? ? ? ? 2k? ,即 ? ? 2k? ? , k ? Z ,又因为 ? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ,………4 分 3 2 6 2 6 ?? ?? 故所求函数的解析式是 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? .…………………………………………5 分 6? ?3

??

x

(Ⅱ) 因为函数 f ? x ? ? 2sin ?

最小值就是转化为求函数在区间 ?1, 4? 上的最大值和最小值.……………………………8 分 由图像可知,当 x ? 2 时,函数的最大值是 f ? 2 ? ? 2sin ? 当 x ? 4 时,函数的最小值是 f ? 4 ? ? 2sin ?

?? ?? x ? ? 的周期是 T ? 6 ,所以求 x ?? ?5, ?2? 时函数 f ? x ? 的最大值和 6? ?3

?? ?? ? 2 ? ? ? 2 ;………………10 分 6? ?3

?? ?? ? 4 ? ? ? ?1 .……………………………… 12 分 6? ?3 ?? ?? 说明:本题也可以直接求函数 f ? x ? ? 2sin ? x ? ? 在区间 ? ?5, ?2? 上的最大值和最小值. 6? ?3 20.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? .
(Ⅰ) 指出函数 f ? x ? 的定义域并求 f ? ? ? , f ? ? ? , f ? ? , f ? ? 的值; (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,你猜想函数 f ? x ? 的一个什么性质,并证明你的猜想; (Ⅲ) 解不等式: f ?1 ? x ? ? ln3 ? 0 . 【解析】(Ⅰ)函数的定义域为 ? ?1,1? ,…………………………… 1 分

? 1? ? 3?

? 1? ? 2?

?1? ?2?

?1? ?3?

? 1? ? 1? ?1? ?1? f ? ? ? ? ln 2 , f ? ? ? ? ln 3 , f ? ? ? ? ln 3 , f ? ? ? ? ln 2 .…………… 3 分 ? 3? ? 2? ?2? ?3?
(Ⅱ) 以下两个性质之一均可得到满分

? 1? ?1? ? 2? ?2? 证明:设任意 x ? ? ?1,1? , f ? ?x ? ? ln ?1? x ? ? ln ?1? x ? ? ? f ? x ? ,所以函数 f ( x ) 为奇函数.……7 分
方向一:由于 f ? ? ? ? ? f ? ? , f ? ? ? ? ? f ? ? ,猜想函数 f ? x ? 为奇函数,……5 分

? 1? ? 3?

?1? ? 3?

高一教学质量检测数学试题 第

页 共 8 页

6

方向二:由于 f ? ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? f ? ? ,函数 f ( x ) 在定义域上单调递减,……5 分 证明:设任意 x1, x2 ? ? ?1,1? , 且x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln ?1 ? x1 ? ? ln ?1 ? x1 ? ? ln ?1 ? x2 ? ? ln ?1 ? x2 ? ? ln ? 因为 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 , 1 ? x2 ? 1 ? x1 , 则

? 1? ? 3?

? 1? ? 2?

? 1? ? 2?

? 1? ? 3?

? 1 ? x1 1 ? x2 ? ? ?, 1 ? x 1 ? x ? 2 1 ?

函数 f ? x ? 在定义域上单调递减.……………………7 分 (Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)可知, f ? ?

? 1 ? x1 1 ? x2 ? 1 ? x1 1 ? x2 ? ? 1 , ln ? ? ? ? 0 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 1 ? x2 1 ? x1 ? 1 ? x2 1 ? x1 ?

? 1? ? 1? ? ? ln 3 ,则 f ?1 ? x ? ? ? f ? ? ? ,…………8 分 ? 2? ? 2? ?1? 又 f ? x ? 为奇函数,则 f ?1 ? x ? ? f ? ? ,又函数 f ? x ? 在定义域上单调递减,………………9 分 ?2? ? ?1 ? 1 ? x ? 1 ? 故原不等式可化为: ? ,………………10 分 1 1 ? x ? ? ? 2 1 1? ? 解得 ?2 ? x ? ? ,即原不等式的解集为 ? ?2, ? ? .………………12 分 2 2? ? 解法二:因为 ?1 ? x ? 1 ? 1 ,所以 ?2 ? x ? 0 ,………………8 分 所以 f ?1 ? x ? ? ln ? ? x ? ? ln ? x ? 2? ,…………9 分
原不等式可化为: ln ? ?x ? ? ln ? x ? 2? ? ln3 ? 0 ………………10 分

1 ,…………………………11 分 2 1 1? ? 又 ?2 ? x ? 0 ,所以 ?2 ? x ? ? ,即原不等式的解集为 ? ?2, ? ? .………………12 分 2 2? ? ? 1 ?? 2 x ? 2 , x ? 1 ? x ?? 1 ? 21.(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ?? ? ? 1, 0 ? x ? 1 . ?? 2 ? ? 1 ? 1, x ? 0 ? ?x?m
即 ln ? ?3x ? ? ln ? x ? 2? ,所以 ?3x ? x ? 2 ,解得 x ? ? (Ⅰ) 若 m ? 1 ,画出函数的简图,并指出函数的单调区间. (Ⅱ) 若函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? m ? 1 ( m ? 0 )有两个不同的交点,求 m 的取值范围 【解析】(Ⅰ)作图如图所示:…………4 分 其中 f ? 0? ? 0 , f ?1? ? ?
y

函数的单调递减区间为 ? ??,1? 和 ? 2, ?? ? , 单调递增区间为 ?1, 2 ? .…………6 分 (Ⅱ) 由于 f ? 0 ? ? 1 ?

1 , f ? 2? ? 0 2

1 O 1 2

1

2 x

1 ,…………………………………………………7 分 m
高一教学质量检测数学试题 第 页 共 8 页 7

2 ? 1 ? m ? 2m ? 1 ? m ? 1? ? ? 0 …………………………………8 分 ? m ? 1? ? ?1 ? ? ? m m ? m? 1 当且仅当 m ? 1 时, m ? 1 ? 1 ? ,此时,函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? m ? 1 有两个交点.……9 分 m 当 m ? 1 时,函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? m ? 1 没有交点…………10 分 2

1 ,直线 y ? m ? 1 与函数 y ? f ? x?? x ? 0? 的图像有且只有一个交点,要保 m 1 1 证函数 y ? f ? x ? 的图像与直线 y ? m ? 1 (m ? 0) 有两个交点,则 m ? 1 ? ? ,即 m ? . 2 2 1 所以 m 的取值范围为 0 ? m ? 或 m ? 1 .…………12 分 2 22.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f ? x ? 有两个零点 ?3 和 1 ,且有最小值 ?4 .
当 0 ? m ? 1 时, m ? 1 ? 1 ? (Ⅰ) 求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ) 令 g ? x ? ? mf ? x ? ? 1( m ? 0 ). ① 若 m ? 0 ,证明: g ? x ? 在 ? ?3, ?? ? 上有唯一零点; ② 若 m ? 0 ,求 y ? g ? x ? 在 ? ?3, ? 上的最大值. 2

? ?

3? ?

【解析】(Ⅰ)由题意可得 f ? ?3? ? 0 , f ?1? ? 0 ,所以 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ?1 对称
2 设 f ? x ? ? a ? x ? 1? ? 4 ,令 x ? 1 ,则 f ?1? ? 4a ? 4 ? 0 , a ? 1 ,所以 f ? x ? ? x ? 2x ? 3 .……2 分
2

(Ⅱ)①由题意得 g ? x ? ? m ? x ? 1? ? 4m ? 1 , m ? 0
2

对称轴为 x ? ?1 ? ?3 ,所以 g ? x ? 在 ??3, ?1? 上单调递增, ? ?1, ?? ? 上单调递减.……3 分 又 g ? ?3? ? 1 ? 0 , g ? ?1? ? 1 ? 4m ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在 ??3, ?1? 没有零点,在 ? ?1, ?? ? 上有且只有一个零点,…………6 分 所以 f ? x ? 在 ? ?3, ?? ? 上有唯一零点.………………7 分 ② g ? ?1? ? 1 ? 4m , g ? ?3? ? 1 , g ?

1 时, ymax 4 1 当 1 ? 4m ? 0 ,即 m ? 时, 4
当 1 ? 4m ? 0 ,即 m ? 若 4m ? 1 ?

?3? 9 ?3? ? ? m ? 1 ,因为 m ? 0 ,所以 g ? ? ? g ? ?3? ,…………8 分 ?2? 4 ?2? ?3? 9 ? g ? x ? max ? g ? ? ? m ? 1 ,…………9 分 ?2? 4

9 1 8 ?3? 9 m ? 1 ,即 ? m ? , ymax ? g ? x ? ? g ? ? ? m ? 1 .……………10 分 max 4 4 7 ?2? 4 9 8 若 4m ? 1 ? m ? 1 ,即 m ? , ymax ? g ? x ? max ? g ? ?1? ? 4m ? 1 ,………11 分 4 7 8 9 8 综上所述,当 0 ? m ? 时, ymax ? m ? 1 ;当 m ? 时, ymax ? 4m ?1 .……12 分 7 4 7

高一教学质量检测数学试题 第

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