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文科数学高三总复习椭圆


高三总复习第五十一讲椭圆
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椭圆 定义 标准方程 几何性质 第二定义 圆 锥 曲 线 双曲线 定义 作图

姓名

.

标准方程

几何性质 第二定义

作图 统 一 定 义 作图

抛物线 定义

标准方程

几何性质

直线与圆锥曲线的位置关系

●考点目标定位 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形,了解它们在 实际问题中的初步应用. 5.结合所学内容,进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识. ●复习方略指南 本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程,简单几何性质.它们作为研 究曲线和方程的典型问题,成了解析几何的主要内容,在日常生活、生产实践和科学技术上 有着广泛的应用.因此在高考中,圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题,有下 面几个显著特点:1.注重双基 保持稳定 圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特,每年的试卷中客观题 2 至 3 道,主观题 1 道,分值占全卷的 15%左右, “难、中、易”层次分明,既有基础题,又有能力题. 2.全面考查 重点突出 试题中, 圆锥曲线的内容几乎全部涉及, 考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之 三,通过知识的重新组合,考查学生系统掌握课程知识的内在联系,重点仍在直线与圆锥曲 线的位置关系上. 3.考查能力 探究创新 试题具有一定的综合性,重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推 理、合理运算以及综合运用知识的能力. 在今后的高考中,圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥 曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的 热点,解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探 索性问题”将会出现在今后的高考中. 学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问 题.为此建议在学习中做到: 1.搞清概念(对概念定义应“咬文嚼字” ) ; 2.熟悉曲线(会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线) ; 3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识; 4.处理问题时要在“大处着眼” (即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思 想) “小处着手” (即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法).
1

椭圆
1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点 的轨迹
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x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2 x2 y2 3.椭圆的性质:由椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) a b (1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性:图象关于 y 轴对称. 图象关于 x 轴对称. 图象关于原点对称 原点叫椭圆的对 y 称中心,简称中心. x 轴、 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范
2.标准方程:
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围,对称的截距 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 加两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点.
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A1 A2 叫椭圆的长轴, B1 B2 叫椭圆的短轴.长分别为 2a,2b
长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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a , b 分别为椭圆的长半轴
0 ? e ?1

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椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆 为椭圆在 e ? 0 时的特例 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限位置线段 F1 F2 ,此时也
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c b ? e ? 1 ? ( )2 a a

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可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例 4 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常 数 e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心 y y 率 N
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N1 K1

P

B2
O F2

K2

2

N2

A2
F2

P

A1

F1

A2
2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1
( x ? c) ? y + ( x ? c) ? y = 2a
2 2 2

A1
K1

F1

⑴ (2)

( x ? c) 2 ? y 2 a x ? (? ) c
2

?

c a

5.椭圆的准线方程

x2 y2 a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,相对于左焦点 F1 (?c,0) 对应着左准线 l1 : x ? ? ; c a b a2 相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? c 2 2 y x a2 对于 2 ? 2 ? 1 ,相对于下焦点 F1 (0,?c) 对应着下准线 l1 : y ? ? ;相对于上焦点 c a b a2 a2 准线的位置关系: x ? a ? F2 (0, c) 对应着上准线 l 2 : y ? c c
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2

焦点到准线的距离 p ?

a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? (焦参数) c c c
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其上任意点 P( x, y) 到准线的距离: (分情况讨论) 6 椭圆的参数方程 问题:如图,以原点 O 为圆心,分别以 a , b ( a ? b ? 0 )为半径作两个图,点 B 是 大圆半径 OA 与小圆的交点, 过点 A 作 NA⊥OX 垂足为 N, 过点 B 作 BM⊥AN, 垂足为 M. 求 y 当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程 解答:设 A 的坐标为 ( x, y), ?NOA ? ? ,取 ? 为参数,那么 A
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? x ? ON ?| OA | cos? ? ? y ? NM ?| OB | sin ?

也就是
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? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? b sin ?

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B ?
O

M N x

这就是所求点 A 的轨迹的参数方程

?x ? ? cos? ? x ? a cos? x2 y2 将? 变形为 ? a 可化为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,说明 A 的轨迹是椭圆 y a b ? y ? b sin ? ? ? sin ? ?b ? x ? a cos? 2.椭圆的参数方程 ? (?为参数) 注意: ? 角不是角 ?NOM ? y ? b sin ?
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x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一点, r1 和 r2 分别是 a2 b2 点 M 与 点 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 的 距 离 . 那 么 ( 左 焦 半 径 ) r1 ? a ? ex0 , ( 右 焦 半 径 )
7 椭圆的焦半径公式:设 M ( x0 , y0 ) 是椭圆

r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离心率
推导方法一: MF1
2

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2

? ( x0 ? c) 2 ? y 0 ,MF 2
2

2

2

? ( x0 ? c) 2 ? y 0

2

y
N1 K1 M

B2
O F2

? MF1 ? MF 2

? 4cx 0 , 又? MF1 ? MF2 ? 2a

N2

2c ? x0 ? MF1 ? MF2 ? ?? a ? ? MF1 ? MF2 ? 2a

c ? ? MF1 ? a ? a x0 ? a ? ex0 ?? c ? MF2 ? a ? x0 ? a ? ex0 a ? 即(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0
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A1

F1

A2

K2

x

B1

推导方法二:

r1 r2 a2 ? e, ? e ? r1 ? e | MF1 |? e( ? x0 ) ? a ? ex0 , c | MF1 | | MF2 |
a2 ? x0 ) ? a ? ex0 c
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r2 ? e | MF2 |? e(

同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ?

? MF1 ? a ? ey0 ? MF2 ? a ? ey0
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( 其中 F1 F2 分别是椭圆的下上焦点) 注意:焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 记为:左加右减,上减下加
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可以

8. ?PF 、三角形面积公式 1 F2 中经常利用余弦定理 .... .......S ?PF1F2 ? b tan
2

?F1 PF2 将有关线段 2

PF1 、 PF2 、 2c,有关角 ?F1 PF2 ( ?F1PF2 ? ?F1BF2 )结合起来,建立 PF1 + PF2 、 PF1 ? PF2 等关系.
3

二、基础演练 1. 椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的长轴位于 4 3

轴,长轴长等于

;短轴位于

轴,短轴长等

于 ;焦点在 轴上,焦点坐标分别是 和 ;离心率 e ? ; 准线方程是 ;焦点到相应准线的距离(焦准距)等于 ;左顶点坐标是 下顶点坐标是 ;椭圆上的点 P ( x0 , y0 ) 的横坐标的范围是 x0 ? 纵坐标的范围是 y0 ? , x0 ? y0 的取值范围是 x0 ? y0 ? 。 2.已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 。⑴若点 M 的坐标是 ( 4, 2.4) ,则点 M 与椭圆两个焦点的距 25 16 、 ;⑵若点 M 到一个焦点的距离是 3,则它到相应准线的距离等

离分别是 于 ,到另一个焦点的距离等于 3.椭圆

。 , 离心率是________,准线方程是_________.

x y ? ? 1 的焦点坐标是 25 169

2

2

4.已知 F1、F2 是椭圆 的周长为(
2 2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则△MNF2 16 9

)A.8

B.16

C.25

D.32 )

5.椭圆 A.5

x y ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B.6
2 2

C.4

D.10

x y ? ? 1 ,那么它的焦距是 ( ) 20 11 A.6 B.3 C.3 31 D. 31 2 2 7.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
6.已知椭圆方程为 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 8. 设 F1 , F2 为定点, | F1 F2 |=6, 动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 , 则动点 M 的轨迹是 ( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
9.已知方程
x2 y2 + =1,表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围为 m ?1 2 ? m



.

10.已知椭圆的两个焦点坐标是 F1(-2,0) ,F2(2,0) ,并且经过点 P( 标准方程是__ ___
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5 3 ,? ) ,则椭圆 2 2
__
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x2 y2 ? ? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ 6 9 12.过点 P( 3 ,-2) ,Q(-2 3 ,1)两点的椭圆标准方程是_ __ ___
11.过点 A (-1, -2) 且与椭圆 13.若椭圆
1 y x ? ? 1 的离心率是 ,则 k 的值等于 2 k ?8 9
2 2

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.

x2 2 14.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 . 15.F1、F2 分别为椭圆 角形,则 b 的值是 16.设 M 是椭圆
? x2 y2 ? ? 1 上一点,F1、F2 为焦点, ?F1 MF2 ? ,则 S ?MF1F2 ? 6 25 16
2

x2 y2 + =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 的正三 a2 b2

4

在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆 的离心率为

(A) 2

2 (B) 2

(C)

1 2

2 (D) 4

x2 y 2 9 A( x1 , y1 ), B (4, ), C ( x2 , y2 ) ? ?1 5 25 9 F 设 是右焦点为 的椭圆 上三个不同的点,则


AF , BF , CF

成等差数列”是“

x1 ? x2 ? 8 ”的
(B)必要不充分条件 (D)既非充分也非必要

(A)充要条件 (C)充分不必要条件

x2 y 2 ? ?1 如图,把椭圆 25 16 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作

x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7
七 个 点 ,
2

F


3










5









P 1

F ?
;

P ?F

? P

F4

?P

F ?

P 6

F ?

7

P ?F

P

F

5



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