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自用 空间几何体的表面积和体积ppt



1.3

简单几何体的表面积和体积
长丰一中:朱磊

1、表面积:几何体表面的面积 2、体积:几何体所占空间的大小。

回忆复习有关概念 1、直棱柱: 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱

2、正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心 3、

正棱锥: 的棱锥

被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部 4、正棱台: 正棱锥 分叫正棱台

斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个,找出 斜高
A1 C1 B1
P

A1 A

C1 B1 D1 C O B D

C A

C

B O A D

B

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体, 它们的侧面展开图还是平面图形,

计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积 之和

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

S表面积 ? S侧 ? 2S底

正棱柱的侧面展开图

把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h

c
a

b

h

h
b

a

c

S直棱柱侧=(a ? b ? c) ? h ? ch

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

正三棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h'
h'

1 S正 棱 锥 侧 = ch' 2

侧面展开

h'

h'
正五棱锥的侧面展开图

S表面积 ? S侧 ? S底

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. 解:先求 ?ABC的面积,过点作 SD ? BC , S 交BC于点D.
A B D C

3 a 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? 2 1 1 3 3 2 S ? BC ? SD ? a ? a ? a 所以: ?ABC 2 2 2 4
?

因此,四面体S-ABC 的表面积
3 2 S ? 4? a ? 4
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3a 2 .

把正三棱台侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?(类比梯形的面积)

h'

h'

1 S正 棱 台 侧 = (c ? c' )h' 2

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

S表面积 ? S侧 ? S上底 ? S下底

正四棱台的侧面展开图

h'

例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5 的正三角形,侧棱长为4,则其侧面积 为 ______;
答:60 (2)正四棱锥底面边长为6 ,高是4,中截面 把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台,求棱 台的侧面积.
答: 9 7

例3:一个正三棱台的上、下底面边长 分别是3cm和6cm,高是3/2cm,求三棱 台的侧面积. A1 O1 C1 D1 B1 分析:关键是 C 求出斜高,注 A 意图中的直角 O E D 梯形 B

思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?

r

l

长方形
长= 2?r

宽= l

S圆柱侧 ? S长方形 =2?rl

r O?
l
O
2? r

S表面积 ? S侧 ? 2S底
S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

圆柱的侧面展开图是矩形

思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?

扇形

n ?l l扇= 180
2

R扇=l

l

r

n?l 1 S圆 锥 侧 =S扇= ? l扇l ? ?rl 360 2

2? r

l

r O

圆锥的侧面展开图是扇形

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?

扇环

r1

r2

l

S圆台侧 =S扇环=?(r1 ? r2 )l

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

'2

r' x ? r x?l

r 'O’
l

x

2?r '

2? r

rx ? r ' x ? r ' l

r

O

S侧 ? ? r(l ? x) ? ? r ' x ? ? (rl ? rx ? r ' x)
? ? (r ' l ? rl )

参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的 侧面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2? r

r

O

圆台的侧面展开图是扇环

S ? ? ( r ? r ? r l ? rl )
2 '

'2

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r
'2

O

O

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

典型例题
例4 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 999(cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是999 .

5/18/2015 12:06:44 AM

云在漫步

例5 圆台的上、下底面半径分别为2和 4,高为 2 3 ,求其侧面展开图扇环所 对的圆心角 答:1800

例6:圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800,那么圆台的侧面积是多少?(结果 中保留π)

小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键; 2、对应的面积公式
1 S 正三棱锥侧= ch ' 2
C’=0

S圆锥侧= πrl r1=0

1 S正棱台侧= (c+c' ) h' 2
C’=C

S圆台侧=π(r1+r2)l r1=r2
S圆柱侧= 2πrl

S直棱柱侧=ch' ? ch

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积

公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。

V长方体= abc

推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 。

V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。

V正方体= a3

二:柱体的体积

定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。

V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= ? r2h

三:锥体体积
例2 如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h. : 问:(1)从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥?
D1
A C1 D1 D1 A A C1

A D B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.

C

D

C

C

D B

C

问题:锥体(棱锥、圆锥)的体积
3.1.锥体(棱锥、圆锥)的体积

(底面积S,高h)
V三棱锥 1 ? sh 3

注意:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四 面体的每一个面都可以作为底面,可以用来求点到 面的距离

定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面 积是S,高是h,那么它的体积是:

V锥体=

推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h, 那么它的体积是: 1 V圆锥= 3 πr2h
h h

1 Sh 3

S

S

S

四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/

s/ s

h
s

推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是 h,那么它的体积是:
1 V圆台= 3 πh

(r ? r 1r 2 ?r 2 )

2 1

2

五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3
S为底面面积, h为柱体高

S为底面面积, S分别为上、下底面 面积,h 为台体高 h为锥体高

典型例题
例7 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm3 )六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 形,边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个( ? 取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2956 (mm3 )
? 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252 (个)
答:这堆螺帽大约有252个.

例8 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后, 得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积 的几分之几?

1 球的 3 4 5 6 7 2球的 球的 例题 课堂 概念和 表面积 体积 讲解 练习 小结 作业 性质



球的概 念和性 质



球的概念

如图所示,半圆以它的直 径为旋转轴,旋转所成的曲面 叫做球面. 球面所围成的几何 体叫做球体,简称球. 半圆的 圆心叫球心,图中点O. 连结球 心和球面上任意一点的线段叫 做球的半径,(图中线段R). 连 结球面上两点并且经过球心的 线段叫做球的直径,(图中线段 AB).

A

C RO

B

球的概 念和性 质



球的概念

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆(如 图中红色部分),被不经过球心的截面截得的圆叫 做小圆(如图中绿色部分). Q 球面上两点之间最短连线 的长度,就是经过这两点的 大圆在这两点间的一段劣弧 O 的长度,这个弧长叫做两点 P 的球面距离(如图中 PQ的长 度就是P、Q两点之间的球面 距离 ).

球的概 念和性 质



球的性质

用一个平面(如图中平面 )去截一个球, 截面是圆面,球的截面有下面的性质: ⑴、球心和截面圆心的连线 垂直于截面(如图直线o1o2 垂直于平面 ); o ⑵、球心到截面的距离d R d 与球的半径R及截面的半 r o 径r有下面的关系:
1 2

r ? R ?d
2

2

球的表面积和体积
:


球的表面积

S ? 4πR
4 3 V ? ?R 3

2

球的体积:

例题 讲解 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的 例9、

直径.求证: (1) 球的表面积等于 圆柱的侧面积; (2) 球的表面积等于 圆柱全面积的2/3. 证明:(1)设球的半径为 R,则圆柱的底面半径 为R,高为2R,得

R O

例题 讲解

S球 ? 4? R , 2 S圆柱面 ? 2? R 2R=4? R .
2

?S球 ? S圆柱面 .
(2)

S圆柱全 ? 4? R ? 2? R ? 6? R ,
2 2 2

R O

S球 ? 4? R . 2 ? S 球 ? S圆柱全 .
2

3

例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得:R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

? a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=—— 2 2 ? a。

关键: 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系

例10已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的 体积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

R ? O ?O ? , ?ABC是 正 三 角 形 , 2

C

O?A ?

B

2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

例11、有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

习题课

柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 圆柱 S侧= 体积 V= = Sh

2πrl π rl

π r2 h

圆锥

S侧=

V=

1 = Sh 3

1= 2 πr h 3

1 2 2 2 3πr l -r
)S h= S下 上·

圆台

S侧=

π ( r1 + r2 ) l

V=

1 (S上+S下+ 3 1 2 2 π(r +r +r r )h 3 1 2 12

面积
直棱柱 S侧=

体积
V=

Ch
1 Ch′ 2 1 (C+C′)h′ 2
4 π R2

Sh

正棱锥

S侧=

V=

1 Sh 3

正棱台

S侧=

V=

1 S下)h 3(S上+S下+ S上·
4 3 πR 3



S球面=

V=

1.(教材习题改编)一个正方体的体积是8,则这个正方
体的内切球的表面积是 A.8π C.4π B.6π D.π ( )

解析:设正方体的棱长为a,则a3=8,∴a=2.而此
正方体的内切球直径为2,∴S表=4πr2=4π.

答案: C

2.(教材习题改编)正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的全面积为 ( A.48(3+ 3) C.24( 6+ 2) B.48(3+2 3) D.144 )

3 解析:其侧面面积为6×6×4=144,底面积为2× 4 ×42×6=48 ∴S全=48(3+ 3).

3,

答案: A

3.已知某几何体的三视图如下,则该几何体的体积为

(

)

A. 1 1 C.3

1 B.2 1 D.6

1 1 解析:由题意可知,该几何体的体积为V=3· S正方形· 1=3.

答案: C

4.(教材习题改编)在△ABC中,AB=2,BC=3, ∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周所形 成的几何体的体积为________.
解析:形成的几何体为圆锥中挖去一小圆锥后剩余部分,作AD⊥BC, 1 1 2 ∴AD= 3.∴V= πAD ×(BC+BD)- πAD2×BD=3π. 3 3

答案: 3π

5.如图所示,某几何体的正视图、侧视图均为等腰三 角形,俯视图是正方形,则该几何体的外接球的体 积是________.

解析:依题意得知,该几何体是一个正四棱锥,其中底 面是边长为2的正方形、高是 2 ,因此底面的中心到各 顶点的距离都等于 2 ,即该几何体的外接球球心为底面 正方形的中心,外接球半径为 2 ,故该几何体的外接球 4 8 2 3 的体积等于 π×( 2) = π. 3 3
8 2 答案: 3 π

1.求体积时应注意的几点 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决.

(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及
数据的准确性. 2.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.

题型分类 深度剖析
题型一 几何体的展开与折叠
【例1】 有一根长为3π cm,底面半径为1 cm的 圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并

使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,

则铁丝的最短长度为多少?
思维启迪

把圆柱沿这条母线展开,将问题转

化为平面上两点间的最短距离.



把圆柱侧面及缠绕其上

的铁丝展开,在平面上得到 矩形ABCD(如图所示), 由题意知BC=3π cm,

AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位
置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 5 π cm, 故铁丝的最短长度为5π cm.

题型二

旋转体的表面积及其体积

【例2】 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋
转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪 先分析阴影部分旋转后形成几何体的

形状,再求表面积.



如图所示,

过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R, ∴AC= 3R ,BC=R, CO ? 3 R, 1 2 2 ∴S球=4π R ,

3 3 S圆锥AO1侧 ? π? R ? 3R ? π R 2 , 2 2 3 3 S圆锥BO1侧 ? π? R? R ? π R2 , 2 2 ? S几何体表 ? S球 ? S圆锥AO1侧 ? S圆锥BO1侧 3 3 11 ? 3 2 2 ? 4π R ? π R ? πR ? π R2 , 2 2 2
2

11 ? 3 ? 旋转所得到的几何体的 表面积为 π R2. 2

4 1 1 又V球 ? π R 3 ,V圆锥AO1 ? ? AO1 ? π CO 2 ? π R 2 ? AO1 1 3 3 4 1 1 2 V圆锥BO1 ? BO1 ? π CO 1 ? π R 2 ? BO1 3 4 ?V几何体 ? V球 ? (V圆锥AO1 ? V圆锥BO1 ) 4 3 1 3 5 3 ? πR ? πR ? πR . 3 2 6

探究提高 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所

形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割,

然后利用有关公式进行计算.

知能迁移2

已知球的半径为R,在球内作一个内

接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它
的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h,底面半径为r, h 侧面积为S,则 ( ) 2 ? r 2 ? R 2 , 2
即h ? 2 R 2 ? r 2 . ? S ? 2 π rh ? 4 π r R 2 ? r 2 1 2 2 1 4 ? 4 π r ( R ? r ) ? 4 π ? (r ? R ) ? R . 2 4 1 2 2 2 ?当且仅当 r ? R ,即r ? R, h ? 2R时,圆柱侧面积 2 2 1 4 最大, 最大值是 4 π R ? 2 π R2. 4
2 2 2 2

题型三

多面体的表面积及其体积

【例3】 一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长 为 15,求这个三棱锥的体积.
思维启迪

本题为求棱锥的体积问题.已知底面

边长和侧棱长,可先求出三棱锥的底面面积
和高,再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示, 正三棱锥S—ABC. 设H为正△ABC的中心,

连接SH,
则SH的长即为该正三棱锥的高.

连接AH并延长交BC于E, 则E为BC的中点,且AH⊥BC. ∵△ABC是边长为6的正三角形,? AE ?
? AH ?

3 ? 6 ? 3 3, 2

2 AE ? 2 3. 3 1 1 在?ABC 中, S ?ABC ? BC ? AE ? ? 6 ? 3 3 ? 9 3. 2 2 在 Rt ?SHA中, SA ? 15,AH ? 2 3,

? SH ? SA2 ? AH 2 ? 15 ? 12 ? 3, 1 1 ?V正三棱锥 ? S ?ABC ? SH ? ? 9 3 ? 3 ? 9. 3 3

[精析考题] [例1] (2011· 安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何 体的表面积为 ( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

[自主解答]

由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底

面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽为2的矩形;两个梯形侧面 垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽 1 为4,长为 42+12 = 17.所以S表=42+2×4+ 2 ×(2+4)×4×2+4× 17 ×2=48+8 17.

[答案] C

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 西安模拟)一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积 (单位:cm2)为 ( )

A.48+12 2 C.36+12 2

B.48+24 2 D.36+24 2

解析:依题意知,该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC, 其中PD⊥平面ABC,底面三角形ABC是一个等腰直角三角 形,BC=CA=6,AC⊥BC,AB= AC2+BC2=6 2, PD=4,点D到边BC的距离为DE=3,连接PE,则有PE 1 ⊥BC,PE= DE2+PD2=5,因此,该几何体的表面积等于2×62+2× 1 1 (2×6×5)+2×6 2×4=48+12 2.

答案: A

2.(2012· 烟台模拟)如图所示是一个几何体的三视图,根 据图中数据,可得该几何体的表面积是________.

解析:此几何体的上部为球,球的直径为2,下部为一
圆柱,圆柱的高为3,底面圆的直径为2,所以S表=4π+

π+π+2π×3=12π. 答案: 12π

[冲关锦囊] 1.在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后再 相加,对于组合体的表面积应注意重合部分的处理. 2.以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对

给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何
体中各元素间的位置关系及数量关系. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要 将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和.

[精析考题] [例2] (2011· 湖南高考)如图所示是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 9 A.2π+12 C.9π+42 9 B.2π+18 D.36π+18 ( )

[自主解答]

由三视图可得几何体为长方体与球的组合体,
2

4 33 9 故体积为V=3 ×2+3π(2) =18+2π.

[答案] B

若本例的三视图变为如图所示,求该几何体的体积.

解:该几何体下部是一个正方体,棱长为4,上部为 圆柱,底面半径为1,高为4,则 V=4×4×4+π·12×4=64+4π.

[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012· 长安模拟)一个空间几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体 积为 6 A.5π cm3 B.3π cm3 2 C.3π cm3 7 D.3π cm3 ( )

解析:由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm、高为3 cm的圆 2 柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,所以其体积为V=πr2h- 3 πr3 2 7 =3π-3π=3π cm3.

答案: D

4.(2012· 潍坊模拟)如图所示,已知球O的面上有四点A、B、C、 D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球O 的体积等于________.

解析:如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体, 设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体 对角线长即为球O的直径,所以|CD|= 6 ? 2? +? 2? +? 2? =2R,所以R= 2 .
2 2 2

4πR3 故球O的体积V= 3 = 6π.
答案: 6π

[冲关锦囊]

1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应
的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化 法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的

方法,应熟练掌握.

3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥

的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式来计
算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.

[精析考题] [例3] (2011· 陕西高考)如图,在△ABC中,∠ABC=

45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD 折起,使∠BDC=90°.

(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.

[自主解答]

(1)∵折起前AD是BC边上的高,

∴当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. 又DB∩DC=D,

∴AD⊥平面BDC.
又AD?平面ABD, ∴平面ABD⊥平面BDC.

(2)由(1)知,DA⊥DB,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1,DB⊥DC, ∴AB=BC=CA= 2. 1 1 从而S△DAB=S△DBC=S△DCA=2×1×1=2, 1 3 S△ABC=2× 2× 2×sin60° =2, 1 3 3+ 3 ∴三棱锥的表面积S=2×3+ 2 = 2 .

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
5.(2012· 衢州模拟)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折起,使面 BAC⊥面 DAC,则四面体 A-BCD 的外接球 的体积为 125 A. 12 π 125 C. 6 π 125 B. 9 π 125 D. 3 π ( )

5 4 5 125 解析:外接球直径为BD,∴半径为2.∴V=3π(2)3= 6 π.

答案:C

6.(2012· 湖州模拟)如图所示,已知一个 多面体的平面展开图由一个边长为1 的正方形和4个边长为1的正三角形 组成,则该多面体的体积是________.

解析:折起后为正四棱锥,如图 S底=1,

PO=

1 2 1-2= 2

1 2 2 ∴V=3×1× 2 = 6 .
2 答案: 6

[冲关锦囊] 解决折叠问题时要注意 1.对于翻折前后,线线、线面的位置关系,所成角及距离 加以比较,观察并判断变化情况. 2.一般地,分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系

和数量关系发生变化,位于同一个半平面的元素,其相
对位置和数量关系不变. 3.对于某些翻折不易看清的元素,可结合原图形去分析、 计算,即将空间问题转化为平面问题.

数学思想

函数与方程思想在空间几

何体中的应用

[考题范例]
(2011· 四川高考)如图,半径为R的球O中有一内接圆 柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的 侧面积之差是__________.

[巧妙运用] 法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为α,则圆柱高为 2Rcos α,圆柱底面半径为Rsin α,∴S圆柱侧=2π·Rsin

α· 2Rcos α=2πR2sin 2α.当sin 2α=1时,S圆柱侧最大为
2πR2,此时,S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.

法二:设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R2-r2. 4πr2 ∴S 圆柱侧=2πr· 2 R -r ,S′圆柱侧=4π R -r - 2 2. R -r
2 2 2 2

2 令 S′圆柱侧=0,得 r= 2 R. 2 2 当 0<r< 2 R 时,S′>0;当 2 R<r<R 时,S′<0. 2 ∴当 r= 2 R 时,S 圆柱侧取得最大值 2πR2. 此时 S 球表-S 圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.

法三:设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 R2-r2, r2+?R2-r2? 2 ∴S 圆柱侧=2πr· 2 R -r =4π r ?R -r ?≤4π = 2π R 2
2 2 2 2 2

2 (当且仅当 r2=R2-r2,即 r= 2 R 时取“=”). 2 ∴当 r= 2 R 时,S 圆柱侧最大为 2πR2. 此时 S 球表-S 圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.

答案:2πR2

知识小结
柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S'? 0

1 锥体V ? Sh 3

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

规律方法总结
1.直棱柱的侧面展开图是一些矩形,正棱 锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,正 棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形. 2.斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于 侧棱并与每条侧棱都相交的截面 的周长与侧棱 3.如果直棱柱的底面周长是c,高是h) ,那么它的侧面 长的乘积. 积是S直棱柱侧=ch.
4.应注意各个公式的推导过程,不要死记硬背公式本 身,要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的 直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.

规律方法总结
5.如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台,在 求其侧面积或全面积时,应对每一个侧面的面 积分别求解后再相加. 6.求球的体积和表面积的关键是求出球的 半径.反之,若已知球的表面积或体积,那么 就可以得出其半径的大小. 8.计算圆柱、圆锥、圆台的体积时,关键是根据条件找 出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋 7.计算组合体的体积时,首先要弄清楚它 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 是由哪些基本几何体构成,然后再通过轴截面 分析和解决问题.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题,要结合它们的

结构特点与平面几何知识来解决.
2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无 法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条件中 的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、 “补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体 (柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供 便利.

(1)几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形”

与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补
成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法, 由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体 补成锥体研究体积. (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算, 应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素.

失误与防范
1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开,多面体要选择一条棱剪开,旋转体要沿一

条母线剪开. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是 外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点 的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出 合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面 上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和 球心,或“切点”、“接点”作出截面图.



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