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2016-2017学年江苏省盐城市阜宁中学高三(上)第一次月考数学试卷(文科)



2016-2017 学年江苏省盐城市阜宁中学高三(上)第一次月考数 学试卷(文科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B=
2

. . .

2. (5 分)命题“? x>0,x +x﹣2>0”的否定是 . 3. (

5 分)函数 f(x)=cos(3x+φ) (0≤φ≤π)是奇函数,则 φ 的值为

4. (5 分) 已知向量 = (2, x) ,= (1, 3) , 与 的夹角为锐角, 则实数 x 的取值范围为 5. (5 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,sinA= ,则 = . 6. (5 分)已知函数 f(x)=2sin(?x+φ)对任意 x 都有 f( +x)=f( ﹣x) ,则|f(



|= . 7. (5 分)若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x﹣y 的最大值是



8. (5 分)已知等差数列{an}共有 20 项,所有奇数项和为 132,所有偶数项和为 112,则等 差数列的公差 d= . 9. (5 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则三棱锥 A 3 ﹣B1D1D 的体积为 cm .

10. (5 分)已知曲线 f(x)=xsinx+1 在点( 垂直,则实数 a= .
2 2



+1)处的切线与直线 ax﹣y+1=0 互相

11. (5 分)设数列 1,1+2,1+2+2 ,…1+2+2 +2 ,…的前 n 项和为 Sn,则 S10= . 3 2 2 12. (5 分)已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 时有极值 0,则 a﹣b 的值为 . 2 13. (5 分)如图,已知二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为实数,a≠0)的图象过点 C(t,2) , 且与 x 轴交于 A,B 两点,若 AC⊥BC,则 a 的值为 .

n ﹣1

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14. (5 分)已知函数 f(x)=

.若存在 x1,x2,当 1≤x1<x2<3

时,f(x1)=f(x2) ,则

的取值范围是



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ; (1)若 ? =﹣1,求 sin(α+ ﹣ )的值; |= ,且 α∈(0,π) ,求 与 的夹角.

(2)O 为坐标原点,若|

16. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

17. (14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,



(1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积. 18. (16 分)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60° (如 图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 平方米,且高 度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米) ,外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长 的和)为 y(米) . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

第 2 页(共 43 页)

19. (16 分)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (Ⅰ)若 a=﹣2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值. 20. (16 分){an}前 n 项和为 Sn,2Sn=an+1﹣2 (1)求 a1 的值; (2)求{an}通项公式; (3)证明 + +…+ < .
n+1

2

+1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列

*

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2016-2017 学年江苏省盐城市阜宁中学高三(上)第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分) (2012?江苏) 已知集合 A={1, 2, 4}, B={2, 4, 6}, 则 A∪B= {1, 2, 4, 6} . 【考点】并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由题意,A,B 两个集合的元素已经给出,故由并集的运算规则直接得到两个集合 的并集即可 【解答】解:∵A={1,2,4},B={2,4,6}, ∴A∪B={1,2,4,6} 故答案为{1,2,4,6} 【点评】本题考查并集运算,属于集合中的简单计算题,解题的关键是理解并的运算定义
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2. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)命题“? x>0,x +x﹣2>0”的否定是 ? x>0,x +x﹣ 2≤0 . 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;转化思想;简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
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2

2

【解答】 解: 因为特称命题的否定是全称命题, 所以, 命题“? x>0, x +x﹣2>0”的否定是: 2 ? x>0,x +x﹣2≤0. 2 故答案为:? x>0,x +x﹣2≤0. 【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系,是基础题. 3. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)函数 f(x)=cos(3x+φ) (0≤φ≤π)是奇函数,则 φ 的值为 .
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2

【考点】余弦函数的奇偶性. 【专题】计算题;转化思想;三角函数的图像与性质. 【分析】利用函数是奇函数,推出方程求解即可. 【解答】解:函数 f(x)=cos(3x+φ) (0≤φ≤π)是奇函数, 可得 φ=kπ+ ,k∈Z.

k=0 满足题意. 所以 φ 的值为: 故答案为: . .

【点评】本题考查三角函数的奇偶性的应用,考查计算能力.

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4. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)已知向量 =(2,x) , =(1,3) , 与 的夹角为锐角, 则实数 x 的取值范围为 (﹣ ,6)∪(6,+∞) . 【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量的物理背景与概念. 【专题】计算题;转化思想;平面向量及应用. 【分析】由题意可得数量积大于 0,且 x×1﹣2×3≠0,解不等式求得 x 的取值范围.
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【解答】解:由题意可得

=2+3x>0,且 x×1﹣2×3≠0,∴x>﹣ ,且 x≠6,

故实数 x 的取值范围为 (﹣ ,6)∪(6,+∞) , 故答案为: (﹣ ,6)∪(6,+∞) . 【点评】本题考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式的应用,属于基础题. 5. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a=1,sinA= ,则 =

3 . 【考点】正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;解三角形. 【分析】利用正弦定理、比例的性质即可得出.
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【解答】解:∵a=1,sinA= ,∴ 则 = =3.

=3.

故答案为:3. 【点评】本题考查了正弦定理、比例的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

6. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)已知函数 f(x)=2sin(?x+φ)对任意 x 都有 f( =f( ﹣x) ,则|f( )|= 2 .
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+x)

【考点】正弦函数的对称性. 【专题】综合题;转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】 由条件可得, 函数 f (x) 的图象关于直线 x= 从而得出结论. 【解答】解:由题意可得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,故|f( )|=2, 对称, 故f ( ) 等于函数的最值,

故答案为:2 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题. 7. (5 分) (2010?南京二模)若 x≥0,y≥0,且 x+y≤1,则 z=x﹣y 的最大值是
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1 .

【考点】简单线性规划. 【专题】常规题型. 【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z=x﹣y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出 直线 z=x﹣y 过可行域内的点 A 时,从而得到 z 最大值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=x﹣y, 将最大值转化为 y 轴上的截距的最小值, 当直线 zz=x﹣y 经过区域内的点 A(1,0)时,z 最大, 最大值为:1 故答案为:1.
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【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画 出可行域、求出关键点、定出最优解. 8. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)已知等差数列{an}共有 20 项,所有奇数项和为 132, 所有偶数项和为 112,则等差数列的公差 d= ﹣2 . 【考点】等差数列的通项公式;数列的函数特性. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
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【分析】直接由公式

结合已知得答案.

【解答】解:由 S 奇=132,S 偶=112,得: ,解得 d=﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题. 9. (5 分) (2012 秋?苏州期末) 如图, 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB=AD=3cm, AA1=2cm, 3 则三棱锥 A﹣B1D1D 的体积为 3 cm .

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【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题. 【分析】连接 AC 交 BD 于 O,根据此长方体的结构特征,得出 AO 为 A 到面 B1D1D 的垂 线段.△B1D1D 为直角三角形,面积易求.所以利用体积公式计算即可. 【解答】解:长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中的底面 ABCD 是正方形. 连接 AC 交 BD 于 O,
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则 AC⊥BD,又 D1D⊥BD, 所以 AC⊥面 B1D1D,

AO 为 A 到面 B1D1D 的垂线段, 且 AO= 又 S△B1D1D= 所以所求的体积 V= cm .
3



故答案为:3 【点评】本题考查锥体体积计算,对于三棱锥体积计算,要选择好底面,便于求解.

10. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)已知曲线 f(x)=xsinx+1 在点(



+1)处的切

线与直线 ax﹣y+1=0 互相垂直,则实数 a= ﹣1 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;导数的综合应用. 【分析】欲求出实数 a,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在切点处的导函数值,再 结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【解答】解:f′(x)=sinx+xcosx,
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∵曲线在点(



+1)处的切线与直线 ax﹣y+1=0 互相垂直, )=﹣ ,即:1=﹣ ,

∴根据导数几何意义得:f′( 解得:a=﹣1. 故答案为:﹣1.

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【点评】本小题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点 切线方程等基础知识.属于基础题. 11. (5 分) (2016 秋?盐城校级月考)设数列 1,1+2,1+2+2 ,…1+2+2 +2 和为 Sn,则 S10= 2036 . 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列.
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2

2

n﹣1

,…的前 n 项

【分析】由 1+2+2 +2

2

n﹣1

=2 ﹣1,得 Sn=(2+2 +2 +…+2 )﹣n,由此能求出 S10.
n﹣1

n

2

3

n

【解答】解:∵1+2+2 +2
2 3 n

2

=

=2 ﹣1,

n

∴Sn=(2+2 +2 +…+2 )﹣n =
n+1

﹣n

=2 ﹣2﹣n, 11 ∴S10=2 ﹣2﹣10=2036. 故答案为:2036. 【点评】 本题考查数列的前 n 项和的求法, 是中档题, 解题时要注意分组求和法的合理运用. 12. (5 分) (2015 春?灵宝市期末)已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 时有极值 0,则 a ﹣b 的值为 ﹣7 . 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【专题】计算题;导数的概念及应用.
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3

2

2

【分析】求导函数,利用函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=﹣1 处有极值 0,建立方程组,求 得 a,b 的值,再验证,即可得到结论. 3 2 2 【解答】解:∵函数 f(x)=x +3ax +bx+a 2 ∴f'(x)=3x +6ax+b, 3 2 2 又∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=﹣1 处有极值 0, ∴ ,∴
2

3

2

2


2

当 当

时,f'(x)=3x +6ax+b=3(x+1) =0,方程有两个相等的实数根,不满足题意; 时,f'(x)=3x +6ax+b=3(x+1) (x+3)=0,方程有两个不等的实数根,满足题意;
2

∴a﹣b=﹣7 故答案为:﹣7. 【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于基础题. 13. (5 分) (2012?慈溪市模拟)如图,已知二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为实数,a≠0) 的图象过点 C(t,2) ,且与 x 轴交于 A,B 两点,若 AC⊥BC,则 a 的值为 ﹣ .
2

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【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题.

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【分析】设 A(x1,0) ,B(x2,0) ,由题意可得 t +bt+c=2,由 AC⊥BC,可得 ﹣t,﹣2)?(x2﹣t,﹣2)=0,代入根据方程的根与系数关系可求 a 【解答】解:设 A(x1,0) ,B(x2,0) 2 ∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象过点 C(t,2) , 2 ∴at +bt+c=2 ∵AC⊥BC, ∴ ∴ ∴ 即 at +bt+c+4a=0 ∴4a+2=0 ∴ 故答案为:﹣
2

2

=(x1

=(x1﹣t,﹣2)?(x2﹣t,﹣2)=0

【点评】 本题主要考查了利用二次函数的性质求解函数中的参数, 解题中注意整体思想的应 用.

14. (5 分) (2015 春?洪泽县期末) 已知函数 f (x) =

. 若存在 x1,

x2,当 1≤x1<x2<3 时,f(x1)=f(x2) ,则 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.
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的取值范围是 ( ,

]



【分析】 作函数 f (x) 的图象, 结合图象可得 =1+ ;从而求取值范围.

+ ≤x1< ; 化简

=

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【解答】解:作函数 f(x)=

的图象如下,

f( )= 故令 x+ =1+ 故

+1=1+ 得,x=

; + ;

+ ≤x1< ;

又∵ < ≤

= =

=1+ ﹣1;



<1+



; ].

故答案为: ( ,

【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用,属于中档题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分) (2013?宣武区校级模拟)已知 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ; (1)若 ? =﹣1,求 sin(α+ ﹣ )的值; |= ,且 α∈(0,π) ,求 与 的夹角.
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(2)O 为坐标原点,若|

【考点】平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角;运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题.

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【分析】 (1) 根据已知中 A, B, C 三点的坐标, 我们易求出向量 =﹣1,我们易得到一个三角方程,解方程即可得到 sin( (2) 根据向量减法的三角形法则, 我们易将 =



的坐标, 根据

)的值. 转化为| |= , 结合 (1)

中结论,易构造出关于 α 的三角方程,解方程即可求解. 【解答】解: (1)∵A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα,sinα) ; ∴ =(cosα﹣3,sinα) ; =(cosα,sinα﹣3) ; ∴ =cos α+sin α﹣3(sinα+cosα) sin( )=﹣1
2 2

=1﹣3(sinα+cosα)=1﹣3 ∴sin( (2)∵ = = ∴cosα=﹣ 又∵α∈(0,π) ∴α= 则 与 , 的夹角为 ﹣ = )= =|

|=|

|

=



【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算,同角三角函数关系,辅助角公式,三 角函数给值求角, 其中根据平面向量数量积运算公式, 将问题转化为三角函数问题是解答问 题的关键. 16. (14 分) (2012?江苏)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是 棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

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【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离;立体几何.

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【分析】 (1) 根据三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 得到 CC1⊥平面 ABC, 从而 AD⊥CC1, 结合已知条件 AD⊥DE, DE、 CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线, 得到 AD⊥平面 BCC1B1, 从而平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)先证出等腰三角形△A1B1C1 中,A1F⊥B1C1,再用类似(1)的方法,证出 A1F⊥平 面 BCC1B1,结合 AD⊥平面 BCC1B1,得到 A1F∥AD,最后根据线面平行的判定定理,得 到直线 A1F∥平面 ADE. 【解答】解: (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD? 平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD? 平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F? 平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD? 平面 ADE, ∴直线 A1F∥平面 ADE. 【点评】 本题以一个特殊的直三棱柱为载体, 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂 直的判定等知识点,属于中档题. 17. (14 分) (2015?广州校级二模)在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, c,已知 c=2, .

(1)若△ABC 的面积等于 ,求 a,b; (2)若 sinB=2sinA,求△ABC 的面积. 【考点】解三角形;三角形中的几何计算.

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【专题】计算题. 【分析】 (1)由 c 及 cosC 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 b 的关系式 a +b ﹣ab=4,再由 2 2 已知三角形的面积及 sinC 的值,利用三角形的面积公式得出 ab 的值,与 a +b ﹣ab=4 联立 组成方程组,求出方程组的解即可求出 a 与 b 的值; 2 2 (2)利用正弦定理化简 sinB=2sinA,得到 b=2a,与(1)得出的 a +b ﹣ab=4 联立组成方程 组,求出方程组的解得到 a 与 b 的值,再由 sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三 角形 ABC 的面积. 【解答】解: (1)∵c=2,cosC= , ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得:a +b ﹣ab=4, 又△ABC 的面积等于 ∴ , ,sinC= ,
2 2 2 2 2 2 2

整理得:ab=4, (4 分) 联立方程组 ,

解得 a=2,b=2; (6 分) (2)由正弦定理,把 sinB=2sinA 化为 b=2a, (8 分) 联立方程组 ,

解得: 又 sinC= ,





则△ABC 的面积

. (10 分)

【点评】此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦、余弦定理,三角形的面积公式, 以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (16 分) (2014?南京模拟)扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与 底边成角为 60°(如图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积 为 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x(米) ,外周长(梯形的上 底线段 BC 与两腰长的和)为 y(米) . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; (2)要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? (3)当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长 最小)?求此时外周长的值.

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【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】应用题;压轴题. 【分析】 (1)先由横断面积用 x 表示 BC,从建立 y 关于 x 的函数关系式,定义域由线段必 须大于零和高度不低于 米求解; (2)解 y≤10.5 分式不等式; (3)求函数 y 的最小值,根据函数特点及条件可选用不等式解决.
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【解答】解: (1) ∴ ,得

,其中 ,







,得 2≤x<6

∴ (2)

; (6 分) 得 3≤x≤4∵[3,4]? [2,6)

∴腰长 x 的范围是[3,4](10 分) (3) 当并且仅当 ,即 , 时等号成立.

∴外周长的最小值为 米,此时腰长为 米. (15 分) 【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力,属于中档题. 19. (16 分) (2016?包头一模)已知函数 f(x)=alnx+x (a 为实常数) . (Ⅰ)若 a=﹣2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (Ⅱ)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (Ⅰ)将 a=﹣2 代入,然后求出导函数 f'(x) ,欲证函数 f(x)在(1,+∞)上是 增函数只需证导函数在(1,+∞)上恒大于零即可; (Ⅱ)先求出导函数 f'(x) ,然后讨论 a 研究函数在[1,e]上的单调性,将 f(x)的各极值 与其端点的函数值比较,其中最小的一个就是最小值.
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2

【解答】 解: (Ⅰ) 当 a=﹣2 时, ( f x) =x ﹣2lnx, 当 x∈ (1, +∞) , 故函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数.
第 14 页(共 43 页)

2



(Ⅱ)

,当 x∈[1,e],2x +a∈[a+2,a+2e ].

2

2

若 a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当 a=﹣2,x=1 时,f'(x)=0) , 故函数 f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. 若﹣2e <a<﹣2,当 此时 f(x)是减函数;当 故[f(x)]min=
2 2

时,f'(x)=0;当

时,f'(x)<0,

时,f'(x)>0,此时 f(x)是增函数. =
2

若 a≤﹣2e ,f'(x)在[1,e]上非正(仅当 a=﹣2e ,x=e 时,f'(x)=0) , 2 故函数 f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e . 综上可知,当 a≥﹣2 时,f(x)的最小值为 1,相应的 x 值为 1; 当﹣2e <a<﹣2 时,f(x)的最小值为
2 2 2

,相应的 x 值为



当 a≤﹣2e 时,f(x)的最小值为 a+e ,相应的 x 值为 e 【点评】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 以及利用导数求闭区间上函数的最值, 属于中档题. 20. (16 分) (2016?东阳市模拟) {an}前 n 项和为 Sn, 2Sn=an+1﹣2 a3 成等差数列 (1)求 a1 的值; (2)求{an}通项公式; (3)证明 + +…+ < .
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n+1

+1, n∈N , 且 a1, a2+5,

*

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列.
n+1

【分析】 (1)由 2Sn=an+1﹣2 +1,n∈N ,分别取 n=1,2 时,可得 a2=2a1+3,a3=6a1+13.利 用 a1,a2+5,a3 成等差数列,即可得出; (2)当 n≥2 时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1,化为 利用等比数列的通项公式即可得出; (3) 由 ≥3
n﹣1

*

,变形



. 可得
n+1 *

, 再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出.

【解答】 (1)解:∵2Sn=an+1﹣2 +1,n∈N , ∴n=1,2 时,2a1=a2﹣3,2a1+2a2=a3﹣7, ∴a2=2a1+3,a3=6a1+13. ∵a1,a2+5,a3 成等差数列, ∴2(a2+5)=a1+a3, ∴2(2a1+8)=a1+6a1+13, 解得 a1=1. (2)解:当 n≥2 时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1= ,
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,化为

∴ ∴数列 ∴ ∴ (3)证明:∵ ∴ , , .

,a1+2=3. 是等比数列,

≥3

n﹣1





+

+…+

+…+

=

=



【点评】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 递推式的应用、 “放 缩法”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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参与本试卷答题和审题的老师有: xintrl; qiss; 沂蒙松; lcb001; yhx01248; sxs123; zwx097; zlzhan;刘长柏;吕静;炫晨;豫汝王世崇;ywg2058;sllwyn;wodeqing;minqi5(排名不 分先后) 菁优网 2016 年 11 月 9 日

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考点卡片
1.并集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素的组成的集合叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪B. 符号语言:A∪B={x|x∈A 或 x∈B}.

图形语言:



A∪B 实际理解为: ①x 仅是 A 中元素; ②x 仅是 B 中的元素; ③x 是 A 且是 B 中的元素. 运算形状: ①A∪B=B∪A.②A∪?=A.③A∪A=A.④A∪B? A,A∪B? B.⑤A∪B=B?A? B. ⑥A∪B=?, 两个集合都是空集. ⑦A∪ (CUA) =U. ⑧CU (A∪B) = (CUA) ∩ (CUB) . 【解题方法点拨】 解答并集问题, 需要注意并集中: “或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且” 混用;注意并集中元素的互异性.不能重复. 【命题方向】掌握并集的表示法,会求两个集合的并集,命题通常以选择题、填空题为主, 也可以与函数的定义域,值域联合命题. 2.命题的否定 【知识点的认识】 命题的否定就是对这个命题的结论进行否认. (命题的否定与原命题真假性相反)命题的否 命题就是对这个命题的条件和结论进行否认. (否命题与原命题的真假性没有必然联系) . ?P 不是命题 P 的否命题, 而是命题 P 的否定形式. 对命题“若 P 则 Q“来说, ?P 是“若 P 则非 Q”; P 的否命题是“若非 P 则非 Q” 注意两个否定:“不一定是”的否定是“一定是”; “一定不是”的否定是“一定是”. 【解题方法点拨】若 p 则 q,那么它的否命题是:若?p 则?q,命题的否定是:若 p 则?q.注 意两者的区别. 全(特)称命题的否定命题的格式和方法;要注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只 对结论进行否定.将量词“? ”与“? ”互换,同时结论否定. 【命题方向】命题存在中学数学的任意位置,因此命题的范围比较广,涉及知识点多,多以 小题形式出现,是课改地区常考题型. 3.二次函数的性质 【知识点的认识】
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其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中 学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移. 【解题方法点拨】 2 以 y=ax +bx+c 为例: ①开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数,当 a>0(<0)时,图象开口向上(向下) ;对 称轴 x=﹣ ;最值为:f(﹣ ) ;判别式△=b ﹣4ac,当△=0 时,函数与 x 轴只有一个
2

交点;△>0 时,与 x 轴有两个交点;当△<0 时无交点. ②根与系数的关系. 若△≥0, 且 x1、 x2 为方程 y=ax +bx+c 的两根, 则有 x1+x2=﹣ , x1?x2= ; ③二次函数其实也就是抛物线, 所以 x =2py 的焦点为 (0, ) , 准线方程为 y=﹣ , 含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离. 2 2 ④平移:当 y=a(x+b) +c 向右平移一个单位时,函数变成 y=a(x﹣1+b) +c; 2 例题:y=2x +x﹣3 那么由 2>0,可知抛物线开口向上,对称轴为 x=﹣ ,最小值为 f(﹣ )=﹣ △=1+24=25>0,故方程 2x +x﹣3=0 有两个根,其满足 x1+x2=﹣ ;x1?x2=﹣ ; 另外,方程可以写成(y+
2 2 2 2

, ;

)=2(x+ ) ,当沿 x 轴向右 ,在向下平移

2

时,就变

成 y=2x ; 【命题方向】 重点关注高中所学的抛物线的焦点、 准线和曲线的平移. 另外在解析几何当做要灵活运 用韦达定理. 4.分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样, 有些甚至不 是连续的. 这个在现实当中是很常见的, 比如说水的阶梯价, 购物的时候买的商品的量不同, 商品的单价也不同等等,这里面都涉及到分段函数. 【具体应用】 正如前面多言, 分段函数与我们的实际联系比较紧密, 那么在高考题中也时常会以应用 题的形式出现.下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法. 例:市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年 A 型产品出厂价 为每件 60 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为 p%(0< p<100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件 元,

预计年销售量将减少 p 万件. (Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定 义域; (Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则税率 p%的范围是多少?
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(Ⅲ)在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应 为多少? 解: (Ⅰ)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8﹣p)万件, 年销售收入为 (11.8﹣p)万元, (11.8﹣p)p%(万元)

政府对该商品征收的税收 y= 故所求函数为 y=

(11.8﹣p)p

由 11.8﹣p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<11.8…(4 分) (II)由 y≥16 得
2

(11.8﹣p)p≥16

化简得 p ﹣12p+20≤0,即(p﹣2) (p﹣10)≤0,解得 2≤p≤10. 故当税率在[0.02,0.1]内时,税收不少于 16 万元. …(9 分) (III)第二年,当税收不少于 16 万元时, 厂家的销售收入为 g(p)= ∵ (11.8﹣p) (2≤p≤10) 在[2,10]是减函数

∴g(p)max=g(2)=800(万元) 故当税率为 2%时,厂家销售金额最大. 这个典型的例题当中,我们发现分段函数首先还是要有函数的功底,要有一定的建模能 力,这个与分不分段其实无关.我们重点看看分段函数要注意的地方.第一,要明确函数的 定义域和其相对的函数表达式; 第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数 某段内部的值;第三,注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论. 【考查预测】 修炼自己的内功, 其实分不分段影响不大, 审清题就可以了, 另外, 最好画个图来解答. 5.函数模型的选择与应用 【知识点的知识】 1.实际问题的函数刻画 在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点 看实际问题,是学习函数的重要内容. 2.用函数模型解决实际问题 (1)数据拟合: 通过一些数据寻求事物规律, 往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点, 观察这些点的 整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个 函数的一般表达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定 这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合. (2)常用到的五种函数模型: ①直线模型:一次函数模型 y=kx+b(k≠0) ,图象增长特点是直线式上升(x 的系数 k>0) , 通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型 y=kx(k>0) . ②反比例函数模型:y= (k>0)型,增长特点是 y 随 x 的增大而减小.
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③指数函数模型:y=a?b +c(b>0,且 b≠1,a≠0) ,其增长特点是随着自变量的增大,函 数值增大的速度越来越快(底数 b>1,a>0) ,常形象地称为指数爆炸. ④对数函数模型,即 y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大越来越慢(底数 a>1,m>0) . n 2 ⑤幂函数模型,即 y=a?x +b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:y=ax +bx+c(a≠ 0) ,其特点是随着自变量的增大,函数值先减小后增大(a>0) . 在以上几种函数模型的选择与建立时,要注意函数图象的直观运用,分析图象特点,分析变 量 x 的范围,同时还要与实际问题结合,如取整等. 3.函数建模 (1)定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程,叫作数学建模. (2)过程:如下图所示.

x

【典型例题分析】 典例 1:某公司为了实现 1000 万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位:万元)随销售利润 x (单位: 万元) 的增加而增加, 但奖金数额不超过 5 万元, 同时奖金数额不超过利润的 25%, 600 其中模型能符合公司的要求的是 (参考数据: 1.003 ≈6, 1n7≈1.945, 1n102≈2.302) ( ) A.y=0.025x B.y=1.003 C.y=l+log7x
x

D.y=

x

2

分析:由题意,符合公司要求的模型只需满足:当 x∈[10,1000]时,①函数为增函数; ②函数的最大值不超过 5;③y≤x?25%,然后一一验证即可. 解答:解:由题意,符合公司要求的模型只需满足: 当 x∈[10,1000]时, ①函数为增函数;②函数的最大值不超过 5;③y≤x?25%= x, A 中,函数 y=0.025x,易知满足①,但当 x>200 时,y>5 不满足公司要求; x B 中,函数 y=1.003 ,易知满足①,但当 x>600 时,y>5 不满足公司要求; C 中,函数 y=l+log7x,易知满足①,当 x=1000 时,y 取最大值 l+log71000=4﹣lg7<5,且 l+log7x≤ x 恒成立,故满足公司要求; D 中,函数 y= 故选 C x ,易知满足①,当 x=400 时,y>5 不满足公司要求;
2

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点评:本题以实际问题为载体,考查函数模型的构建,考查方案的优化设计,解题的关键是 一一验证. 典例 2:某服装生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2015 年度进行一系列促销活动, 经过市场调查和测算,服装的年销量 x 万件与年促销 t 万元之间满足关系式 3﹣x= (k

为常数) ,如果不搞促销活动,服装的年销量只能是 1 万件.已知 2015 年生产服装的设备折 旧,维修等固定费用需要 3 万元,每生产 1 万件服装需再投入 32 万元的生产费用,若将每 件服装的售价定为:“每件生产成本的 150%”与“平均每件促销费的一半”之和,试求: (1)2015 年的利润 y(万元)关于促销费 t (万元)的函数; (2)该企业 2015 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费,生产成本=固定费用+生产费用) 分析: (1)通过 x 表示出年利润 y,并化简整理,代入整理即可求出 y 万元表示为促销费 t 万元的函数. (2)根据已知代入(2)的函数,分别进行化简即可用基本不等式求出最值,即促销费投入 多少万元时,企业的年利润最大. 解答:解: (1)由题意:3﹣x= 且当 t=0 时,x=1. 所以 k=2,所以 3﹣x= ,…(1 分) ,…(2 分) …(3 分) = , (t≥50) ;…(2 分) 当且仅当 ,即 t=7 时取等号,…(4 分) ,

生产成本为 32x+3,每件售价 所以,y= =16x﹣ (2)因为

所以 y≤50﹣8=42,…(1 分) 答:促销费投入 7 万元时,企业的年利润最大.…(1 分) 点评:本小题主要考查函数模型的选择与应用,看出基本不等式在求最值中的应用,考查学 生分析问题和解决问题的能力,强调对知识的理解和熟练运用,考查转化思想的应用. 【解题方法点拨】 用函数模型解决实际问题的常见类型及解法: (1)解函数关系已知的应用题 ①确定函数关系式 y=f(x)中的参数,求出具体的函数解析式 y=f(x) ;②讨论 x 与 y 的对 应关系,针对具体的函数去讨论与题目有关的问题;③给出实际问题的解,即根据在函数 关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案. (2)解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意 看一看可以用什么样的函数模型,初步拟定函数类型; ②抽象函数模型
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在理解问题的基础上,把实际问题抽象为函数模型; ③研究函数模型的性质 根据函数模型,结合题目的要求,讨论函数模型的有关性质,获得函数模型的解; ④得出问题的结论 根据函数模型的解,结合实际问题的实际意义和题目的要求,给出实际问题的解. 6.利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0 的 解集与定义域的交集的对应区间为增区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0 的 解集与定义域的交集的对应区间为减区间. 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤: (1)确定 f(x)的定义域; (2)计算导数 f′(x) ; (3)求出 f′(x)=0 的根; (4)用 f′(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f′(x) 的符号,进而确定 f(x)的单调区间:f′(x)>0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应 区间为增区间;f′(x)<0,则 f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间. 【典型例题分析】 题型一:导数和函数单调性的关系 典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1)B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)D. (﹣∞,+∞) 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 题型二:导数很函数单调性的综合应用 典例 2:已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

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(Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈ [1,2],函数 范围; (Ⅲ)求证: 解: (Ⅰ) (2 分) . 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) ∴
2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增 函数(减函数的情形完全类似) .即在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充 分条件,而不是必要条件. 7.函数在某点取得极值的条件 【知识点的知识】 极值的判断首先要求:1、该处函数值有意义, 2、该处函数连续.求极值的时候 F' (X) =0 是首先考虑的,但是对于 F'(X)无意义的点也要讨论,只要该点有函数值且函数连续、
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两边导函数值异号,就可以确定该点是极值点.具备了这些条件,我们进一步判定极大值和 极小值:当这个点左边的导函数大于 0 时,即左边单调递增,右边的导函数小于 0 时,即右 边单调递减,此时这个点就是极大值,你可以把他理解成波峰的那个点;那么波谷的那个点 就是极小值,情况相反. 【典型例题分析】 5 3 例 1:求函数 f(x)=3x ﹣5x ﹣9 的极值点的个数. 5 3 解:∵函数 f(x)=3x ﹣5x ﹣9 4 2 ∴f'(x)=15x ﹣15x 令 f'(x)=0 则 x=﹣1,x=0 或 x=1 又∵当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0; 当 x∈(﹣1,0)时,f'(x)<0; 当 x∈(0,1)时,f'(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0 5 3 故函数 f(x)=3x ﹣5x ﹣9 的极值点的个数有 2 个. 这个例题中首先判断的是其是否连续, 然后在求导函数为 0 的点有几个, 即它的极值点 有几个. 例 2:已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x﹣x 的极大值点的坐标为(b,c) , 则 ad 等于 . 解:已知实数 a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc, ∵y′=3﹣3x =0,则 x=±1, 经检验,x=1 是极大值点.极大值为 2. ∴b=1,c=2 由等比数列的性质可得:ad=bc=2. 这个有两个极值点,但要求的是极大值,这个时候我们可以联想到波峰,即在这个点的 左边必须要大于 0,要是单调递增的,右边必须小于 0,既是单调递减的,这样这个点才处 于波峰的位置,这个时候就是极大值,这里的验证其实就是做这个工作. 【考点动向】 这也是导数里面很重要的一个点,可以单独出题,也可以作为大题的一个小问,还可 以隐含在条件中作为隐含信息,大家务必理解,并灵活运用. 8.利用导数求闭区间上函数的最值 【知识点的知识】 一、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地, 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f ( x) <f (x0) , 就说 f(x0)是函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0) ,是极大值点. 2、极小值 一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0) , 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0) ,是极小值点. 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以 下几点:
2 3

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(ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止 一个. (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,如下 图所示,x1 是极大值点,x4 是极小值点,而 f(x4)>f(x1) .

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最 大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 4、判别 f(x0)式极大值、极小值的方法: 若 x0 满足 f′(x0)=0,且在 x0 的两侧 f(x)的导数异号,则 x0 是 f(x)的极值点,f(x0) 是极值,并且如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0) 是极大值;如果 f′(x)在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0)是 极小值. 5、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) ; (2)求方程 f′(x)=0 的根; (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检 查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在 这个根处无极值. 二、利用导数求函数的最大值与最小值 1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f(x)的图象.图中 f(x1)与 f(x3)是极小值, f(x2)是极大值.函数 f(x)在[a,b]上的最大值是 f(b) ,最小值是 f(x1) . 一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 说明: (1)在开区间(a,b)内连续的函数 f(x)不一定有最大值与最小值.如函数 f(x) = 在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值; (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数 值得出的.
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(3)函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,是 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的 充分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值 进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小 值的步骤如下: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将 f(x)的各极值与 f(a) 、f(b)比较得出函数 f(x)在[a,b]上的最值. 【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点: (1)按定义,极值点 x0 是区间[a,b]内部的点,不会是端点 a,b(因为在端点不可导) . (2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的 连续点取得. 一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值, 在某一点的极小值也可能 大于另一个点的极大值, 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系, 即极大值不一定比 极小值大,极小值不一定比极大值小. (3)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间 上单调的函数没有极值. (4)若函数 f(x)在[a,b]上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个 极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地, 当函数 f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数 f(x)在[a,b]内的极大值点、 极小值点是交替出现的, (5)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值点,不可导的 点也可能是极值点,也可能不是极值点. 9.利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点,它既可以考查学生求导能 力,也考察了学生对导数意义的理解,还考察直线方程的求法,因为包含了几个比较重要的 基本点,所以在高考出题时备受青睐.我们在解答这类题的时候关键找好两点,第一找到切 线的斜率; 第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点, 在知道斜率的情况下可以用点斜式 把直线方程求出来. 【实例解析】 例:已知函数 y=xlnx,求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程. 解:k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时,y=0,所以切点为(1,0) ∴切线方程为 y﹣0=1×(x﹣1) , 即 y=x﹣1. 我们通过这个例题发现,第一步确定切点;第二步求斜率,即求曲线上该点的导数;第三 步利用点斜式求出直线方程.这种题的原则基本上就这样,希望大家灵活应用,认真总结.

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10.简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一 种重要的数学模型. 简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划, 其最优解可 以用数形结合方法求出. 我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域, 然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 .

(1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解: (1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC, 其中 B(4,3) ,A(2,3) ,C(4,2) , 则可行域的面积 S= = .

(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3) , (2,3) 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型, 解这种题一律先画图, 把每条直线在同一 个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找 到它的最值. 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热 点.大家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线. 11.基本不等式在最值问题中的应用 【知识点的知识】 一、基本不等式

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注: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可 以求它们的积的最大值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面 有广泛的应用. 二、基本不等式的应用. 1、求最值 例 1:求下列函数的值域.

2、利用基本不等式证明不等式

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3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用

【解题方法点拨】 技巧一:凑项

点评:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值. 技巧二:凑系数
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例 2:当 0<x<4 时,求 y=x(8﹣2x)的最大值. 解析:由 0<x<4 知,8﹣2x>0,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题 为两个式子积的形式,但其和不是定值.注意到 2x+(8﹣2x)=8 为定值,故只需将 y=x(8 ﹣2x)凑上一个系数即可. y=x(8﹣2x)= [2x?(8﹣2x)]≤ ( ) =8
2

当 2x=8﹣2x,即 x=2 时取等号,当 x=2 时,y=x(8﹣x2)的最大值为 8. 评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不 等式求最大值. 技巧三:分离 例 3:求 y= 的值域.

解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离. y= = =(x+1)+ +5, +5=9(当且仅当 x=1 时取“=”号)

当 x>﹣1,即 x+1>0 时,y≥2

技巧四:换元 对于上面例 3,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值. 技巧五:结合函数 f(x)=x+ 的单调性.

技巧六:整体代换

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点评:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错. 技巧七:取平方

点评:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件. 总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变 形技巧,积极创造条件利用基本不等式. 12.数列的函数特性 【知识点的认识】 1、等差数列的通项公式:an=a1+(n﹣1)d;前 n 项和公式 Sn=na1+ n(n﹣1)d 或者 Sn=

2、等比数列的通项公式:an=a1q

n﹣1

;前 n 项和公式 Sn=

=

(q≠1)

3、用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列,

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an=a1+(n﹣1)d=dn+(a1﹣d) ,当 d≠0 时,an 是 n 的一次函数,对应的点(n,an)是位 于直线上的若干个点.当 d>0 时,函数是增函数,对应的数列是递增数列;同理,d=0 时, 函数是常数函数,对应的数列是常数列;d<0 时,函数是减函数,对应的数列是递减函数. 2 若等差数列的前 n 项和为 Sn,则 Sn=pn +qn(p、q∈R) .当 p=0 时,{an}为常数列;当 p≠ 0 时,可用二次函数的方法解决等差数列问题. (2)对于等比数列: an=a1q .可用指数函数的性质来理解. 当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列是递增数列; 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 时,等比数列{an}是递减数列. 当 q=1 时,是一个常数列. 当 q<0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列. 【典型例题分析】 2 典例 1: 数列{an}满足 an=n +kn+2, 若不等式 an≥a4 恒成立, 则实数 k 的取值范围是 ( A.[﹣9,﹣8]B.[﹣9,﹣7]C. (﹣9,﹣8)D. (﹣9,﹣7) 解:an=n +kn+2= ∵不等式 an≥a4 恒成立, ∴ 解得﹣9≤k≤﹣7, 故选:B. 典例 2:设等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N ) ,其前 n 项和为 Sn,若数列{
* 2 n﹣1







}也为

等差数列,则

的最大值是(



A.310 B.212 C.180 D.121 * 解:∵等差数列{an}满足 a1=1,an>0(n∈N ) ,设公差为 d,则 an=1+(n﹣1)d, 其前 n 项和为 Sn= ∴ = =1, ∵数列{ ∴ = = , , = , ,

}也为等差数列, + , ,
2

∴ =1+ 解得 d=2. ∴Sn+10=(n+10) , =(2n﹣1) ,
2

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=

=



由于
2

为单调递减数列,





=11 =121,

故选:D. 13.等差数列的通项公式 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种, 数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,已知等差数列的首项 a1,公差 d,那么第 n 项为 an=a1+(n﹣1)d,或者已知第 m 项为 am,则第 n 项为 an=am+(n﹣m)d. 【例题解析】 eg1:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +1,求数列{an}的通项公式,并判断{an}是不是等差 数列 2 解:当 n=1 时,a1=S1=1 +1=2, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +1﹣(n﹣1) ﹣1=2n﹣1, ∴an= ,
2

把 n=1 代入 2n﹣1 可得 1≠2, ∴{an}不是等差数列 考察了对概念的理解, 除掉第一项这个数列是等差数列, 但如果把首项放进去的话就不 是等差数列,题中 an 的求法是数列当中常用到的方式,大家可以熟记一下. eg2:已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1,2a+1,a+7 则这个数列的通项公式为 解:∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1,2a+1,a+7, ∴2(2a+1)=a﹣1+a+7, 解得 a=2. ∴a1=2﹣1=1,a2=2×2+1=5,a3=2+7=9, ∴数列 an 是以 1 为首项,4 为周期的等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3. 故答案:4n﹣3. 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质, 即等差中项的特点, 通过这个性质 然后解方程一样求出首项和公差即可. 【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型, 这里面往往用的最多的就是等差中项的性 质,这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点. 14.数列的求和 【知识点的知识】

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就是求出这个数列所有项的和,一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比 数列等等,常用的方法包括: (1)公式法: ①等差数列前 n 项和公式:Sn=na1+ n(n﹣1)d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式:

③几个常用数列的求和公式:

(2)错位相减法: 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和,其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法: 适用于求数列{ ( ) . }的前 n 项和,其中{an}为各项不为 0 的等差数列,即 =

(4)倒序相加法: 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个(a1+an) . (5)分组求和法: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【典型例题分析】 典例 1:已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn;
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(Ⅱ)令 bn=

(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

*

分析:形如

的求和,可使用裂项相消法如:

. 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,解得 a1=3,d=2,

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn= =n +2n.
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n+1, ∴bn= = = = ,

∴Tn= 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

=

=



点评:该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法,这也是数列求和当中常用的方法,就像 友情提示那样,两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和. 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点, 大家要学会上面所列的几种最基本的方法, 即便是放缩也要 往这里面考. 15.数列递推式 【知识点的知识】 1、递推公式定义:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an﹣ (或前几项) 间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 1 2、数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式:an= .

在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系,是本讲内容一个重点,要认真掌握. 注意: (1) 用 an=Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n≥2, 当 n=1 时,a1=S1) ;若 a1 适合由 an 的表达式,则 an 不必表达成分段形式,可化统一为一个 式子. (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an=Sn﹣Sn﹣1,先将 已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解.
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3、数列的通项的求法: (1)公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式. (2)已知 Sn(即 a1+a2+…+an=f(n) )求 an,用作差法:an= .一般

地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式, 先将已知条件转化为只含 或 的关系式,然后再求解. (3)已知 a1?a2…an=f(n)求 an,用作商法:an,= .

(4)若 an+1﹣an=f(n)求 an,用累加法:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 (n≥2) . (5)已知 =f(n)求 an,用累乘法:an= (n≥2) .

(6)已知递推关系求 an,有时也可以用构造法(构造等差、等比数列) .特别地有, n ①形如 an=kan﹣1+b、an=kan﹣1+b (k,b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公 比为 k 的等比数列后,再求 an. ②形如 an= 的递推数列都可以用倒数法求通项.

(7)求通项公式,也可以由数列的前几项进行归纳猜想,再利用数学归纳法进行证明. 16.向量的物理背景与概念 【向量概念】 既有大小又有方向的量叫做向量(如物理中的矢量:速度、加速度、力) ,只有大小没 有方向的量叫做数量(物理中的标量:身高、体重、年龄) .在数学中我们把向量的大小叫 做向量的模,这是一个标量. 17.平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①( ± ) = =
2 2 2

±2 ? +

2

.②( ﹣ ) ( + )



2

.③ ?( ? )≠( ? )? ,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有

些是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“ ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( ③“t≠0,mt=nt? m=n”类比得到“ ” )? = ?
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”; ”;

④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“| ⑤“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“( ⑥“ ”类比得到 .

|=| |?| |”; )? = ”;

以上的式子中, 类比得到的结论正确的是 ①② .

解:∵向量的数量积满足交换律, ∴“mn=nm”类比得到“ 即①正确; ∵向量的数量积满足分配律, ∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 即②正确; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴“t≠0,mt=nt? m=n”不能类比得到“ 即③错误; ∵| |≠| |?| |, |=| |?| |”; ? ”, )? = ”, ”,

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| 即④错误; ∵向量的数量积不满足结合律, ∴“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 即⑤错误; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴ ”不能类比得到 ,

)? =

”,

即⑥错误. 故答案为:①②. 向量的数量积满足交换律,由“mn=nm”类比得到“ 配律,故“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 元律,故“t≠0,mt=nt? m=n”不能类比得到“ |,故“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| )? = ”;向量的数量积满足分 ”;向量的数量积不满足消 ? ”;| |≠| |?|

|=| |?| |”;向量的数量积不满足结合律,故

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“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 律,故 ”不能类比得到 .

)? =

”;向量的数量积不满足消元

【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考 点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 18.数量积表示两个向量的夹角 【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的,也知道向量是可以平行的或者共线的,那么,当两条向量 与 不平行时,那么它们就会有一个夹角 θ,并且还有这样的公式:cosθ= 这公式,我们就可以求出两向量之间的夹角了. 【典型例题分析】 例:复数 z= 解: = +i 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60° . = = = =cos60°+isin60°. .通过

∴复数 z= +i 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60°. 故答案为:60°. 点评:这是个向量与复数相结合的题,本题其实可以换成是用向量( ﹣1)的夹角.

,1)与向量(



【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式, 也是一个常考点, 出题方式一般喜欢与其他的考点 结合起来,比方说复数、三角函数等,希望大家认真掌握. 19.运用诱导公式化简求值 【知识点的认识】 利用诱导公式化简求值的思路 1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. 2.“大化小”,利用公式一将大于 360°的角的三角函数化为 0°到 360°的三角函数,利用公式 二将大于 180°的角的三角函数化为 0°到 180°的三角函数. 3.“小化锐”,利用公式六将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数. 4.“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器 求得. 20.正弦函数的对称性 【正弦函数的对称性】

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正弦函数是定义域为 R 的奇函数,既然是奇函数,那么其图象关于原点对称,即有 sin (﹣x)=﹣sinx.另外,正弦函数具有周期性,其对称轴为 x=kπ+ 【例题解析】 例:函数 y=sin2x+2sin x 的对称轴方程为 x= 解:由于函数 y=sin2x+2sin x=sin2x+1﹣cos2x= 而函数 y=sint 的对称轴为 则
2 2 2

,k∈z.

. ,

,解得

(k∈Z)

则函数 y=sin2x+2sin x 的对称轴方程为 故答案为 .

这个题很有代表性,一般三角函数都是先化简,化成一个单独的正弦或者余弦函数,然 后把 2x﹣ 看成一个整体,最后根据公式把单调性求出来即可.

【考点点评】 这个考点非常重要,也很简单,大家熟记这个公式,并能够理解运用就可以了. 21.余弦函数的奇偶性 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 1.判断三角函数的奇偶性和周期性时,一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数, 再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解. 2.求三角函数的周期主要有三种方法: (1)周期定义; (2)利用正(余)弦型函数周期公 式; (3)借助函数的图象. 22.正弦定理 【知识点的知识】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容

余弦定理 =2R a =b +c ﹣2bccos A, 2 2 2 b =a +c ﹣2accos B, 2 2 2 c =a +b ﹣2abcos C cos A= ,
2 2 2

变形 形式

( R 是△ABC 外接圆半径) ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A= ,sin B= ,sin C= ;

③a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A

cos B=



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cos C= 解决 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两 三角 条边; 形的 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边 问题 和其他两角 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边 和其他两角

A 为钝角或直角

关系式

a=bsin A

bsin A<a< b

a≥b

a>b

解的个数 一解 两解 一解 一解 由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝角或直角时,a≤b,无解. 2、三角形常用面积公式 1.S= a?ha(ha 表示边 a 上的高) ; 2.S= absin C= acsin B= bcsin A. 3.S= r(a+b+c) (r 为内切圆半径) .

23.三角形中的几何计算 【知识点的知识】 1、几何中的长度计算: (1)利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解: ①已知两角和任一边,求其他两边和一角. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) . (2)利用余弦定理可以求解: ①解三角形; ②判断三角形的形状; ③实现边角之间的转化.包括:a、已知三边,求三个角;b、已知两边和夹角,求第三边 和其他两角. 2、与面积有关的问题: (1)三角形常用面积公式 ①S= a?ha(ha 表示边 a 上的高) ; ②S= absinC= acsinB= bcsinA.
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③S= r(a+b+c) (r 为内切圆半径) . (2)面积问题的解法: ①公式法:三角形、平行四边形、矩形等特殊图形,可用相应面积公式解决. ②割补法:若是求一般多边形的面积,可采用作辅助线的办法,通过分割或补形把不是三 角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形,再由三角形的面积公式求解. 3、几何计算最值问题: (1)常见的求函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; ②逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域. ⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域. (2)正弦,余弦,正切函数值在三角形内角范围内的变化情况: ①当角度在 0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大而增大,且 0≤sinα≤1; 余弦值随着角度的增大而减小,且 0≤cosα≤1; 正切值随着角度的增大而增大,tanα>0. ②当角度在 90°~180°间变化时, 正弦值随着角度的增大而减小,且 0≤sinα≤1; 余弦值随着角度的增大而减小,且﹣1≤cosα≤0; 正切值随着角度的增大而增大,tanα<0. 24.解三角形 【知识点的知识】 在解三角形时,常用定理及公式如下表: 名称 公式 内角和定 A+B+C=π 理 余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 2 2 2 b =a +c ﹣2accosB 2 2 2 c =a +b ﹣2abcosC
2 2 2

变形 + = ﹣ ,2A+2B=2π ﹣C cosA=

cosB=

cosC= 正弦定理 =2R
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a=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC

R 为△ABC 的外接圆半径

sinA=

,sinB=

,sinC=

射影定理

acosB+bcosA=c acosC+ccosA=b bcosC+ccosB=a ①S△= aha= bhb= chc ②S△= absinC= acsinB= bcsinA ③S△= sinC= ④S△= (a+b+c) ) ; ⑤S△= (a+b+c)r (r 为△ABC 内切圆半径) , (s= sinA= sinB=

面积公式

25.棱柱、棱锥、棱台的体积 【知识点的知识】 柱体、锥体、台体的体积公式: V 柱=sh,V 锥= Sh.

26.直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 用符 号表示为:若 a?α,b? α,a∥b,则 a∥α. 2、直线与平面平行的判定定理的实质是:对于平面外的一条直线,只需在平面内找到一条 直线和这条直线平行,就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行. 27.平面与平面垂直的判定 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定: 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

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