9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

2007年高考数学(理科)试卷及答案(湖南卷)



2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(理工农医类)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

1.复数 ?

? 2i ? ? 等于( ? 1+i ?

2



A. 4i B. ?4i C. 2i D. ?2i 2.不等式

x?2 ≤ 0 的解集是( x ?1



A. (??, 1) ? (?1 2] ? , B. [?1 2] , C. (??, 1) ? [2, ?) ? ? D. (?1 2] , 3.设 M,N 是两个集合,则“ M ? N ? ? ”是“ M ? N ? ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4.设 a,b 是非零向量,若函数 f ( x) ? ( xa ? b)? a ? xb) 的图象是一条直线,则必有 ( A. a ⊥ b B. a ∥ b )

C. | a |?| b | D. | a |?| b | 5.设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0, ,已知 ? (?1.96) ? 0.025 ,则 P(| ? |? 1.96) = 1) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 6.函数 f ( x ) ? ?

? 4 x ? 4,

x ≤ 1,

2 ? x ? 4 x ? 3,x ? 1

的图象和函数 g ( x) ? log 2 x 的图象的交点个数是

A.4 B.3 C.2 D.1 7.下列四个命题中,不正确的是( ... )

A.若函数 f ( x) 在 x ? x0 处连续,则 lim? f ( x ) ? lim? f ( x )
x→ x0 x→ x0

B.函数 f ( x) ?

x?2 的不连续点是 x ? 2 和 x ? ?2 x2 ? 4
x→? x→? x→?

C.若函数 f ( x) , g ( x) 满足 lim[ f ( x ) ? g ( x )] ? 0 ,则 lim f ( x) ? lim g ( x)

D. lim
x→1

x ?1 1 ? x ?1 2

8.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, E,F 分别是棱

AA1 , DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为(
2 2



A.

B. 1

C. 1 ?

2 2

D. 2

9.设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, a 2 b2


使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是(

A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ? ? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

D. ?

? 10.设集合 M ? {1 2,4,6} , S1,S2, ,Sk 都是 M 的含两个元素的子集,且满足:对 ,3,5,
任 意 的 Si ? {ai,bi } , S j ? {a j,b j } ( i ? j , i、j ?{1 2,?,k} ), 都 有 ,3,

? ? ?a b ? ? a j bj ? min ? i ,i ? ? min ? , ? ( min{x,y} 表示两个数 x,y 中的较小者) k 的最大值 ,则 ? bj a j ? ? bi ai ? ? ?
是( )

A.10 B.11 C.12 D.13

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在横线上。 11.圆心为 (11) 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 , 。

12.在 △ABC 中,角 A B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 , c ? 3 , , 则B? 。
3

13.函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 上的最小值是 3]



14.设集合 A ? ?? x, y ? y ?

? ?

? 1 x ? 2 ? , B ? ? x, y ? y ? ? x ? b , A ? B ? ? , 2 ?
; 。

?

?

(1) b 的取值范围是

(2)若 ( x,y) ? A ? B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是

15.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表.从上往下 数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全 行的数都为 1 的是第 行;第 61 行中 1 的个数是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x 。 12 ? 2

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间。

17. (本小题满分 12 分) 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以提高下岗人员的再就业能力, 每名下 岗人员可以选择参加一项培训、 参加两项培训或不参加培训, 已知参加过财会培训的有 60%,

参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择 相互之间没有影响。 (I)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (II)任选 3 名下岗人员,记 ? 为 3 人中参加过培训的人数,求 ? 的分布列和期望。

18. (本小题满分 12 分) 如图 2, E,F 分别是矩形 ABCD 的边 AB CD 的中点, G 是 EF 上的一点,将 ,

△GAB , △GCD 分别沿 AB,CD 翻折成 △G1 AB , △G2CD ,并连结 G1G2 ,使得平面
G1 AB ⊥ 平面 ABCD , G1G2 ∥ AD ,且 G1G2 ? AD 。连结 BG2 ,如图 3。

(I)证明:平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 ; (II)当 AB ? 12 , BC ? 25 , EG ? 8 时,求直线 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角。

19. (本小题满分 12 分) 如图 4, 某地为了开发旅游资源, 欲修建一条连接风景点 P 和居民区 O 的公路, P 所 点

2 ,点 P 到 5 平面 ? 的距离 PH ? 0.4 (km)沿山脚原有一段笔直的公路 AB 可供利用。从点 O 到山脚 a 修路的造价为 a 万元/km,原有公路改建费用为 万元/km.当山坡上公路长度为 l km 2
在的山坡面与山脚所在水平面 ? 所成的二面角为 ? ( 0? ? ? ? 90? ) ,且 sin ? ? ( 1≤ l ≤ 2 )时,其造价为 (l ? 1)a 万元。已知 OA ⊥ AB , PB ⊥ AB , AB ? 1.5(km) ,
2

OA ? 3(km) 。
(I)在 AB 上求一点 D ,使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小; (II) 对于(I)中得到的点 D ,在 DA 上求一点 E ,使沿折线 PDEO 修建公路的总 造价最小;

(III)在 AB 上是否存在两个不同的点 D? , E? ,使沿折线 PD?E?O 修建公路的总造价 小于(II)中得到的最小总造价,证明你的结论。

20. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交
2 2

于 A,B 两点。 (I)若动点 M 满足 F1M ? F1 A ? F1 B ? F1O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方 程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若 不存在,请说明理由。

?????

???? ???? ????

??? ?

??? ?

21. (本小题满分 13 分) 已知 An (an,bn ) ( n?N* )是曲线 y ? e 上的点, a1 ? a , S n 是数列 {an } 的前 n 项
x
2 2 和,且满足 S n ? 3n 2 an ? S n ?1 , an ? 0 , n ? 2,4, 3, ?。

(I)证明:数列 ?

? bn ? 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?

(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ? M 时,弦 An An ?1 ( n?N* )的斜率随 n 单调递增。

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(理工农医类)

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. C 2. D 3. B 4. A 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10. B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在横线上。 11. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

12.

5π 6

13. ?16 14. (1) [1 ? ?) (2) , 15. 2 ? 1 ,32
n

9 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] 2 6 π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ? 即 2 x0 ? kπ ?

π ( k ?Z ) 。 6 1 1 π sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) 2 2 6
1 1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 4 4 ? 6?

所以 g ( x0 ) ? 1 ?

当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ?

当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ?

1 π 1 5 sin ? 1 ? ? 2 6 4 4
1? π ?? 1 ? ?1 ? cos ? 2 x ? 6 ? ? ? 1 ? 2 sin 2 x 2? ? ??

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

?

? 3 1? π? ? 3 1? 3 1 ? ? cos ? 2 x ? 6 ? ? sin 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 sin 2 x ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ?

1 π? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 3? 2 ?
当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ?Z )时, 2 3 2 12 12
1 π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 3? 2 ? ? ? 5π π? ,kπ ? ? ( k ?Z ) 12 12 ?

函数 h( x) ?

故函数 h( x ) 的单调递增区间是 ? kπ ?

17. (本小题满分 12 分) 解:任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A , “该人参加过计算机培 训”为事件 B ,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P( A) ? 0.6 , P( B) ? 0.75 . (I)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是

P ? P( A?B) ? P( A)?P( B) ? 0.4 ? 0.25 ? 0.1 1
所以该人参加过培训的概率是 P2 ? 1 ? P ? 1 ? 0.1 ? 0.9 1 解法二:任选 1 名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率是

P3 ? P( A?B) ? P( A?B) ? 0.6 ? 0.25 ? 0.4 ? 0.75 ? 0.45
该人参加过两项培训的概率是 P ? P( A?B) ? 0.6 ? 0.75 ? 0.45 4 所以该人参加过培训的概率是 P ? P ? P ? 0.45 ? 0.45 ? 0.9 5 3 4

(II)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ? 服从二项分布

, 3 , B(3, , P(? ? k ) ? C3k ? 0.9k ? 0.13?k , k ? 01 2,,即 ? 的分布列是 0.9)

?
P

0 0.001

1 0.027

2 0. 243

3 0.729

? 的期望是 E? ? 1? 0.027 ? 2 ? 0.243 ? 3 ? 0.729 ? 2.7
(或 ? 的期望是 E? ? 3 ? 0.9 ? 2.7 )

18. (本小题满分 12 分)

解:解法一: (I)因为平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD ,平面 G1 AB ? 平面 ABCD ? AB ,

AD ⊥ AB , AD ? 平面 ABCD ,所以 AD⊥平面 G1 AB ,又 AD ? 平面 G1 ADG2 ,
所以平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 (II)过点 B 作 BH ⊥ AG1 于点 H ,连结 G2 H 由(I)的结论可知, BH ⊥平面 G1 ADG2 , 所以 ?BG2 H 是 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角 因为平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD ,平面 G1 AB ? 平面 ABCD ? AB , G1 E ⊥ AB ,

G1E ? 平面 G1 AB ,所以 G1E ⊥ 平面 ABCD ,故 G1 E ⊥ EF
因为 G1G2 ? AD , AD ? EF ,所以可在 EF 上取一点 O ,使 EO ? G1G2 ,又因为

G1G2 ∥ AD ∥ EO ,所以四边形 G1 EOG2 是矩形
由题设 AB ? 12 , BC ? 25 , EG ? 8 ,则 GF ? 17 所以 G2O ? G1E ? 8 ,G2 F ? 17 ,

OF ? 17 2 ? 82 ? 15 , G1G2 ? EO ? 10
因为 AD⊥平面 G1 AB , G1G2 ∥ AD ,所以 G1G2 ⊥平面 G1 AB ,从而 G1G2 ⊥ G1B
2 故 BG2 ? BE 2 ? EG12 ? G1G2 2 ? 62 ? 82 ? 102 ? 200 , BG2 ? 10 2

又 AG1 ?

62 ? 82 ? 10 ,由 BH ?AG1 ? G1E ?AB 得 BH ?

8 ?12 48 ? 10 5

故 sin ?BG2 H ?

BH 48 1 12 2 ? ? ? BG2 5 10 2 25

即直线 BG2 与平面 G1 ADG2 所成的角是 arcsin 解法二:

12 2 25

(I)因为平面 G1 AB ⊥ 平面 ABCD ,平面 G1 AB ? 平面 ABCD ? AB , G1 E ⊥ AB ,

G1E ? 平面 G1 AB ,所以 G1E ⊥ 平面 ABCD ,从而 G1 E ⊥ AD .又 AB ⊥ AD ,所
以 AD⊥平面 G1 AB .因为 AD ? 平面 G1 ADG2 ,所以平面 G1 AB ⊥ 平面 G1 ADG2 . (II) (I) 由 可知,G1 E ⊥ 平面 ABCD . 故可以 E 为原点, 分别以直线 EB,EF,EG1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如图) , 由题设 AB ? 12 , BC ? 25 , EG ? 8 ,则 EB ? 6 ,

EF ? 25 , EG1 ? 8 ,相关各点的坐标分别是 A(?6,0) , 0,
0, D(?6, , , G1 (0,8) , B(6,0) 25 0) 0,

0, 所以 AD ? (0, , , AG1 ? (6,8) 25 0)
设 n ? ( x,y,z ) 是平面 G1 ADG2 的一个法向量,

????

???? ?

?

? ???? ? ?n?AD ? 0, ?25 y ? 0, ? 由 ? ? ???? 得? 故可取 n ? (4, ? 3) 0, ? ?n?AG1 ? 0. ?6 x ? 8 z ? 0 ?
过点 G2 作 G2O⊥平面 ABCD 于点 O ,因为 G2C ? G2 D ,所以 OC ? OD ,于是点 O 在 y 轴上 因为 G1G2 ∥ AD ,所以 G1G2 ∥ EF , G2O ? G1E ? 8

8) 设 G2 (0,m, ( 0 ? m ? 25 ) ,由 17 ? 8 ? (25 ? m) ,解得 m ? 10 ,
2 2 2

10 8) 0, 10 8) 所以 BG2 ? (0, , ? (6, 0) ? (?6, ,
设 BG2 和平面 G1 ADG2 所成的角是 ? ,则

???? ?

???? ? ? BG2 ?n | ?24 ? 24 | 12 2 sin ? ? ???? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 25 BG2 ?n 6 ? 10 ? 8 ? 4 ? 3
12 2 25

故直线 BG2 与平面 G1 ADG2 所成的角是 arcsin

19. (本小题满分 12 分)

解: (I)如图,

PH ⊥? , HB ? ? , PB ⊥ AB ,
由三垂线定理逆定理知, AB ⊥ HB ,所以 ?PBH 是 山坡与 ? 所成二面角的平面角,则 ?PBH ? ? ,

PB ?

PH ?1 sin ?

设 BD ? x(km) , 0 ≤ x ≤1.5 .则

PD ? x 2 ? PB 2 ? x 2 ? 1 ?[1, 2]
记总造价为 f1 ( x ) 万元, 据题设有 f1 ( x) ? ( PD 2 ? 1 ?

1 1 11 AD ? AO)a ? ( x 2 ? x ? ? 3)a 2 2 4

1? ? ? 43 ? ? ? x ? ? a ?? ? 3?a 4? ? ? 16 ?
当x?

2

1 1 ,即 BD ? (km) 时,总造价 f1 ( x ) 最小 4 4 5 ,总造价为 f 2 ( y ) 万元,根据题设有 4

(II)设 AE ? y(km) , 0 ≤ y ≤

? 1?3 1 y? 43 ?? ? f 2 ( y ) ? ? PD 2 ? 1 ? y 2 ? 3 ? ? ? ? y ? ? a ? ? y 2 ? 3 ? ? a ? a 2?2 4 2? 16 ?? ? ?
则 f 2? ? y ? ? ?

?

1? ? ? a ,由 f 2? ( y ) ? 0 ,得 y ? 1 ? y2 ? 3 2 ? ? ? y

当 y ? (0, 时, f 2? ( y ) ? 0 , f 2 ( y ) 在 (0, 内是减函数; 1) 1) 当 y ? ?1 ? 时, f 2? ( y ) ? 0 , f 2 ( y ) 在 ? 1, ? 内是增函数 ,

? 5? ? 4?

? 5? ? 4?

故当 y ? 1,即 AE ? 1 (km)时总造价 f 2 ( y ) 最小,且最小总造价为 (III)解法一:不存在这样的点 D? , E?

67 a 万元 16

事实上,在 AB 上任取不同的两点 D? , E? 为使总造价最小, E 显然不能位于 D? 与

B 之间,故可设 E? 位于 D? 与 A 之间,且 BD? = x1 (km) , AE ? ? y1 (km) ,
x y 11 ? 3 ? ,总造价为 S 万元,则 S ? ? x12 ? 1 ? y12 ? 3 ? 1 ? ? a .类似于(I) 、 2 2 4? 2 ?

0 ≤ x1 ? y2 ≤

x1 y 1 3 1 ≥ ? , y12 ? 3 ? 1 ≥ ,当且仅当 x1 ? , y1 ? 1 同时成 2 16 2 2 4 1 立时,上述两个不等式等号同时成立,此时 BD? ? (km) , AE ? 1(km) , S 取得最小值 4 67 a ,点 D?,E? 分别与点 D,E 重合,所以不存在这样的点 D?,E? ,使沿折线 PD?E?O 16
(II)讨论知, x12 ? 修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价. 解法二:同解法一得

x y 11 ? ? S ? ? x12 ? 1 ? y12 ? 3 ? 1 ? ? a 2 2 4? ?
1? 1 ? ? ? x1 ? ? a ? ?3 ? 4? 4? ?
2

?

y12 ? 3 ? y1 ?

? ?

43 y12 ? 3 ? y1 ? a ? a ? ? 16

?

1 43 ≥ ? 2 3( y12 ? 3 ? y1 )( y12 ? 3 ? y1 ) ? a ? a 4 16 ? 67 a 16 1 1 2 2 且 3( y1 ? 3 ? y1 )( y1 ? 3 ? y1 ) , x1 ? ,y1 ? 1 同时成立时,S 取 即 4 4

当且仅当 x1 ? 得最小值

67 a ,以上同解法一。 16

20. (本小题满分 12 分)

0) 0) 解:由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .
解法一: (I)设 M ( x,y) ,则 则 F1M ? ( x ? 2,y ) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) ,

?????

????

???? ???? ????? ???? ???? ???? F1 B ? ( x2 ? 2,y2 ),1O ? (2, ,由 F1M ? F1 A ? F1 B ? F1O 得 F 0)

? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y
? x?4 y? ,? ? 2 2?

于是 AB 的中点坐标为 ?

y y ? y2 y y 2 当 AB 不与 x 轴垂直时, 1 ,即 y1 ? y2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) x?4 x ?8 x1 ? x2 x ?8 ?2 2
2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程 0) 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4
2 2

CB (II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, ,使 CA? 为常数 0)
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0
2 2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k 2 ?1 k ?1

CB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 于是 CA?
2

??? ??? ? ?

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2

?

(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 2 2 k ?1 k ?1

?

2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 2 k ?1 k ?1

CB CB 因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? = ?1
当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, 2) , ? 此时 CA? ? (1 2)? , 2) ? ?1 CB , (1 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

CB 故在 x 轴上存在定点 C (1 0) ,使 CA? 为常数 ,
解法二:

??? ??? ? ?

(I)同解法一的(I)有 ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0
2 2 2 2 2 2

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 ???????????????????④ k 2 ?1

y?

4k ??????????????????????????⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y 2 2 y? ? .整理得 ( x ? 6) ? y ? 4 。 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4?

当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, ,满足上述方程 0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程。 0) 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 。
2 2

CB (II)假设在 x 轴上存在定点点 C (m, ,使 CA? 为常数, 0)
4k 2 4k 2 ? 2 。 ? 1 , x1 x2 ? 2 k2 k ?1

??? ??? ? ?

当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x2 ? 以上同解法一的(II) 。

21. (本小题满分 13 分)
2 2 解: (I)当 n≥ 2 时,由已知得 S n ? S n ?1 ? 3n 2 an

因为 an ? Sn ? Sn ?1 ? 0 ,所以 Sn ? S n ?1 ? 3n 2 于是 Sn ?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2 由②-①得 an ?1 ? an ? 6n ? 3 于是 an ? 2 ? an ?1 ? 6n ? 9 由④-③得 an ? 2 ? an ? 6 ,

??①

??②

??③

??④

?? ⑤

所以

?b ? bn ? 2 e an?2 ? an ? e an?2 ? an ? e6 ,即数列 ? n ? 2 ? ( n ≥ 2) 是常数数列 bn e ? bn ?

(II)由①有 S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a .由③有 a3 ? a2 ? 15 , a4 ? a3 ? 21 , 所以 a3 ? 3 ? 2a , a4 ? 18 ? 2a 而 ⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2 k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列,

所以 a2 k ? a2 ? 6(k ? 1) , a2 k ?1 ? a3 ? 6(k ? 1) , a2 k ? 2 ? a4 ? 6(k ? 1)(k ? N*) , 数列 {an } 是单调递增数列 ? a1 ? a2 且 a2 k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2 对任意的 k ?N* 成立。

? a1 ? a2 且 a2 ? 6(k ? 1) ? a3 ? 6(k ? 1) ? a4 ? 6(k ? 1)
? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ?
? 9 15 ? ?a? ? 4? ? 4

9 15 ?a? 4 4

即所求 a 的取值集合是 M ? ? a

bn ?1 ? bn e an?1 ? e an ? (III)解法一:弦 An An ?1 的斜率为 kn ? an ?1 ? an an ?1 ? an
任取 x0 ,设函数 f ( x ) ?

e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) e x ? e x0 ,则 f ( x) ? x ? x0 ( x ? x0 ) 2
x

记 g ( x) ? e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e 0 ) ,则 g ?( x) ? e x ( x ? x0 ) ? e x ? e x ? e x ( x ? x0 ) ,

? 当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x0, ?) 上为增函数,
当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,x0 ) 上为减函数,

? g 所以 x ? x0 时, ( x) ? g ( x0 ) ? 0 , 从而 f ?`( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (??,x0 ) 和 ( x0, ?)
上都是增函数 由(II)知, a ? M 时,数列 {an } 单调递增,

e an?1 ? e an e an?2 ? e an ? 取 x0 ? an ,因为 an ? an ?1 ? an ? 2 ,所以 kn ? an ?1 ? an an ? 2 ? an
取 x0 ? an ? 2 ,因为 an ? an ?1 ? an ? 2 ,所以 k n ?1 ?

e an?1 ? e an?2 e an ? e an?2 ? an ?1 ? an ? 2 an ? an ? 2

所以 kn ? kn ?1 ,即弦 An An ?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增

解法二:设函数 f ( x) ? 都是增函数,所以:

e x ? e an?1 ? ,同解法一得, f ( x) 在 (??,an ?1 ) 和 (an ?1, ?) 上 x ? an ?1

e an ? e an?1 e x ? e an?1 e an?2 ? e an?1 e x ? e an?1 an?1 kn ? ? lim ? e , kn ?1 ? ? lim ? e an?1 ? ? an ? an ?1 n→an?1 x ? an ?1 an ? 2 ? an ?1 n→an?1 x ? an ?1
故 kn ? kn ?1 ,即弦 An An ?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增。

更多试卷下载请访问:http://www.peiren.com/



更多相关文章:
07年高考数学(理科)试卷及答案(湖南卷)
2007年湖南高考理科数学... 13页 免费 2008年高考理科数学试卷... 13页 免费...(​理​科​)​试​卷​及​答​案​(​湖​南​卷...
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)隐藏>> 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理科) 注意事项:...
历年高考湖南理科数学试卷答案
历年高考湖南理科数学试卷答案_数学_高中教育_教育专区。历届高考数学试题 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 一、选择题:本大题...
2007年高考数学(理科)试卷及答案(湖南卷)
2007年高考数学(理科)试卷及答案(湖南卷)2007年高考数学(理科)试卷及答案(湖南卷)2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 一、选择题...
2007年湖南高考理科数学试卷答案
2007年湖南高考理科数学试卷答案 隐藏>> 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 数学(理工农...
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
2007年高考真题试卷(湖南卷... 9页 10财富值 2008年高考理科数学试题及... 2页 免费 2006年高考湖南卷理科数学... 10页 免费 2006年高考湖南卷数学试题......
2007年湖南高考理科数学试卷及详解
2007年湖南高考理科数学试卷及详解 隐藏>> 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 数学(理工农...
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)隐藏>> 绝密★启用前 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工...
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)_建筑/土木_工程科技_专业资料。第1题 影响钢筋混凝土梁正截面破坏形式的因素中,影响最大的因素是()。 (1分) 第2题...
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷)
2007年高考理科数学试题及参考答案(湖南卷) 隐藏>> 先来口诀:1 三长一短就选最短, 三短一长选最长。两长两短选 B,参差不齐 C 无敌。2 以蒙为主 以抄...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图