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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】3习题课



习题课

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试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

【学习要求】 1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.
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2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不 超过三次).

试一试

·双基题目、基础更牢固

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1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上 A.单调递增
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( A )

B.单调递减 D.有最小值

C.有最大值

解析 f′(x)=2+sin x>0 恒成立,
所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

试一试·双基题目、基础更牢固

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2.若在区间(a, b)内, f′(x)>0, f(a)≥0, 且 则在(a, b)内有( A ) A.f(x)>0
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B.f(x)<0 D.不能确定

C.f(x)=0

解析 因为 f(x)在(a,b)上为增函数,
所以 f(x)>f(a)≥0.

试一试·双基题目、基础更牢固

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3.设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( C ) A.-1
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B.0

2 3 C.- 9

3 D. 3

解析 g(x)=x3-x,
3 3 由 g′(x)=3x -1=0,解得 x1= 3 ,x2=- 3 (舍去).
2

当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化状态如下表: ? ? 3 ? 3 3? ? ? ? ? x 0 ?0, ? ,1? ? 3 3 3? ? ? ? g′(x) g(x) 0 - ? 0 极小值 + ?

1

0

? 3? 3 2 3 ? ? 所以当 x= 3 时,g(x)有最小值 g? ?=- 9 . ? 3 ?

试一试·双基题目、基础更牢固
4.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x) 的图象如图所示,则导函数 y= f′(x)的图象可能为 ( D )

习题课

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解析

应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导

函数的图象.

试一试·双基题目、基础更牢固

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5.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a, b)内单调递减”的________________条件.

解析 对于导数存在的函数 f(x),
若 f′(x)<0,则 f(x)在区间(a,b)内单调递减,
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反过来,函数 f(x)在(a,b)内单调递减, 不一定恒有 f′(x)<0,如 f(x)=-x3 在 R 上是单调递减的,
但 f′(x)≤0. 答案 充分不必要

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

题型一

函数与其导函数之间的关系

例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图
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所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函 数),则 y=f(x)的图象大致是 ( )

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解析 当 0<x<1 时,xf′(x)<0,

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∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除 A、B 选项.
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当 1<x<2 时,xf′(x)>0,
∴f′(x)>0,故 y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除 D.
答案 C

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

小结

研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,

注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考查其图象
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在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导 函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间 内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.

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跟踪训练 1 已知 R 上可导函数 y=f(x)的图象如图所示, 则 不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解集为 ( D )

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A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)

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题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值

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例 2 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x) 1 = ,g(x)=f(x)+f′(x). x
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1 解 (1)由题设易知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ , x ∴g(x)的定义域为(0,+∞), x-1 ∴g′(x)= 2 .令 g′(x)=0,得 x=1. x
当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,

(1)求 g(x)的单调区间和最小值. 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系. x

故(0,1)是 g(x)的单调减区间,

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当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,
故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间,
∴x=1 是 g(x)的唯一极值点, 且为极小值点,从而也是最小值点,
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∴最小值为 g(1)=1.
?1? (2)g?x ?=-ln x+x, ? ?



?1? 1 h(x)=g(x)-g?x?=2ln x-x+ , x ? ?

?x-1?2 则 h′(x)=- . x2

当 x=1 时,h(1)=0,

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?1 ? g(x)=g? ?, ?x ?

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当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0,
∴h(x)在(0,+∞)内单调递减,
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∴当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0, ?1? 即 g(x)>g?x?; ? ? 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0, ?1? 即 g(x)<g?x?. ? ?

?1? 综上知,当 0<x<1 时,g(x)>g?x?; ? ? ?1? 当 x=1 时,g(x)=g?x?; ? ?

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当 x>1

?1 ? 时,g(x)<g? ?. ?x ?

小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域.
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(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是 极小值可不再作判断,只需要直接与端点的函数值比较即可 获得. (3)当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数 的最值点. (4)利用函数单调性可以判定函数值的大小关系.

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跟踪训练 2 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.
(1)解 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R.
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令 f′(x)=0,得 x=ln 2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化 状态如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - 单调递减? ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2,+∞) + 单调递增?

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),

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单调递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,
极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).
(2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
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由(1)知当 a>ln 2-1 时,g′(x)取最小值 g′(ln 2)=2(1-ln 2 +a)>0.

于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,

所以 g(x)在 R 内单调递增.
于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0).
而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

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题型三 导数的综合应用 例 3 已知函数 f(x)=x3-ax-1.

习题课

(1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,
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求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由.
解 (1)f′(x)=3x2-a,
因为 f(x)在 R 上是增函数,
所以 f′(x)≥0 在 R 上恒成立.
即 3x2-a≥0 在 R 上恒成立.

而 3x2≥0, 所以 a≤0. 即 a≤3x ,
2

当 a=0 时,f(x)=x3-1 在 R 上单调递增,符合题意. 所以 a 的取值范围是(-∞,0].

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(2)假设存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,

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则 f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立.
即 3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立, 即 a≥3x2,
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又因为在(-1,1)上,0<3x2<3, 所以 a≥3. 当 a=3 时,f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0, 所以 f(x)在(-1,1)上单调递减, 即 a=3 符合题意, 所以存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减, 且 a 的取值范围是[3,+∞).

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小结

由已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范

围时,应令 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值
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范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取 值能否使 f′(x)恒等于 0,若能恒等于 0,则参数的这个值应 舍去;若 f′(x)不能恒等于 0,则由 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0) 恒成立解出的参数的取值范围来确定.

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跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)=4x3-ax+3 的单调递减区间是 ? 1 1? ?- , ? ,则实数 a 的值是多少? ? 2 2? ? 1 1? 3 (2)若函数 f(x)=4x -ax+3 在?- , ?上是单调函数,则 ? 2 2?
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实数 a 的取值范围为多少?
解 (1)f′(x)=12x2-a,
? 1 1? ∵f(x)的单调递减区间为?-2,2?, ? ?

1 ∴x=± 为 f′(x)=0 的两个根, 2

∴a=3.

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? 1 1? (2)若 f(x)在?- , ?上为单调增函数, ? 2 2? ? 1 1? 则 f′(x)≥0 在?-2,2?上恒成立, ? ? ? 1 1? 2 即 12x -a≥0 在?-2,2?上恒成立, ? ?

习题课

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∴a≤12x

2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≤(12x2)min=0.
当 a=0 时,f′(x)=12x2≥0 恒成立(只有 x=0 时 f′(x)=0).
∴a=0 符合题意.

? 1 1? f(x)在?-2,2?上为单调减函数, ? ?

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? 1 1? 则 f′(x)≤0 在?- , ?上恒成立, ? 2 2? ? 1 1? 2 即 12x -a≤0 在?-2,2?上恒成立, ? ? ? 1 1? 2 ∴a≥12x 在?-2,2?上恒成立, ? ?

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∴a≥(12x2)max=3.
当 a=3 时,f′(x)=12x2-3=3(4x2-1)≤0 恒成立(且只有 1 x=± 时 f′(x)=0). 2
因此,a 的取值范围为 a≤0 或 a≥3.

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1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是 A.(0,1]
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( A )

B.[1,+∞) D.[-1,0),(0,1]

C.(-∞,-1],(0,1)

2 2?x+1??x-1? 解析 f′(x)=2x- = , x x
由 f′(x)≤0 结合 x>0 得 0<x≤1.

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2.若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数, 则实数 m 的 取值范围是 ?1 ? A.? ,+∞ ? ?3 ? ?1 ? C.? ,+∞ ? ?3 ? ( C )
? 1? B.?-∞, ? 3? ? ? 1? D.?-∞, ? 3? ?

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解析 若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,
只需 y′=3x2+2x+m≥0 恒成立,
即 Δ=4-12m≤0,
1 ∴m≥3.

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3.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图 象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( )

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解析

若函数在给定区间上是增函数,

则 y=f′(x)>0,若函数在给定区间上是减函数,
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则 y=f′(x)<0. 答案 D

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4.设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有 A.f(x)g(x)>f(b)g(b) C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
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( C )

B.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

解析

? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? 由条件,得? ′= <0. g?x?? [g?x?]2 ? ?

f?x? ∴ 在(a,b)上是减函数. g?x? f?b? f?x? f?a? ∴ < < , g?b? g?x? g?a?
∴f(x)g(b)>f(b)g(x).

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3

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1 2 5.函数 f(x)=x - x -2x+5,若对于任意 x∈[-1,2],都有 2 f(x)<m,则实数 m 的取值范围是________.
解析 f′(x)=3x2-x-2,
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2 令 f′(x)=0,得 x=- 或 x=1. 3 可判断求得 f(x)max=f(2)=7.

∴f(x)<m 恒成立时,m>7. 答案 (7,+∞)

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导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作
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用,例如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通 过导数得以解决.不但如此,利用导数研究得到函数的性 质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题, 所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.



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