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对数函数图像和性质课件



2.2.1对数函数及其性质

温故而知新
定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的b次幂等于N, 就是 a b ? N 那么数 b叫做 以a为底 N的对数,记作:

loga N ? b .a叫做对数的底数,N叫做真数。

问题情境 某种细胞1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个 分裂成8个……则1个这 样的细胞分裂x次后得到细 胞个数y为? y =2x

新问题:反过来,分裂多少次可以得到1万个细 胞,10万个……则此时分裂次数 x 是细胞的个 数 y 的关系式是什么?x是y的函数吗?
根据对数的定义得到关系式为:x = log 2 y 习惯上表示为: y = log 2 x

概念的形成
定义:函数 y ? loga x( a ? 0 且 a ? 1 )称 为对数函数

辨析:y ? loga ?4 ? x?

是对数函数吗?

不是对数函数,而是对数型函数

对数函数性质的初步研究
研究课题:函数y=log2x的性质

思路:从观察函数y=log2x的图像中得来
作图方法:列表———描点———连线
8

从图像的形成中你发现了哪些函数特征?
6 4 2

-15

-10

-5

5

10

15

-2

定义域,值域,单调性,最大值,最小值, 奇偶性
-4 -6 -8

对比,发现,归纳,交流
在同一直角坐标系中,对比观察函数 y=log2x,y=log 1 x, y=log3x,y=log 1 x的图像
8

2
6

3

谈谈你的发现

4

y=log2x
1 2

2

y=log3x
10 15

-5

5

-2

y=log 13 x

运用所学的对数运算知识,思考“发现”后 面的必然,依据 y=log 1 x
-4 -6

定义域,值域
对数函数y=logax的定义域,值域:
3 2.5

3

2

2.5

1.5

2

1
-1

1

1.5

0.5

1
1

1

0

-0.5

1

0.5
2 3 4 5 6 7 8

-1

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1.5

-1

-2

-1.5

-2.5

-2

-2.5

定义域为(0,+∞),值域为R

?思考:
1对数函数的真数部分必须为正数吗?

2对数值可以为负数吗?何时为正?何时为负?

定义域,值域

例1:求下列函数的定义域
y ? loga (4 ? x)

?x ? R x ? 4? ?x ? R x ? 1?

y ? log3 x

奇偶性
函数y=logax
3 2.5 2 1.5

(a>1)
3 2.5 2 1.5

函数y=logax (0<a<1)
1

1
-1

1

1
-1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1
-1

-1.5
-1.5

-2
-2

-2.5
-2.5

既不关于原点对称,也不关于y轴对称, 既不是奇函数,也不是偶函数,

单调性
函数y=logax
3 2.5 2 1.5

(a>1)
3 2.5 2 1.5

函数y=logax (0<a<1)
1

1
-1

1

1
-1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1
-1

-1.5
-1.5

-2
-2

-2.5
-2.5





例2 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23 , log 28 ⑵ log 0.34 , log 0.35 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )

< >

定点
y
y=log x
3

(1,0)
y=log x
4


x

0

1
y=log
0.3

y=log 0.25x x

对数运算性质 loga1=0

思考?

y ? loga (4 ? x) ? 2 所过的定点是? (3,2)

研究成果
a>1
3 2.5 2 1.5

3

0<a<1

2.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5
0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

(0,+∞) 定义域: R 值域: (1,0),即当x=1时,y=0 性 过点 x ? (0,1) ? y ? 0 ? y?0 质 x ? (0,1)
x ? (1,??)
? y?0

x ? (1,??)

? y?0

在(0,+∞)上是

增 函数

在(0,+∞)上是

减 函数

谈 谈 体 会

当堂检测 1比较下列各题中两个值的大小: < log108 ⑴ log106 < log0.54 ⑵ log0.56 ⑶ log0.10.5 > log0.10.6 ⑷ log1.51.6 > log1.51.4 2求函数的定义域

y ? log0.5 ( x ? 3)

?x 3 ? x ? 4?

拓展研究
y= 2 x

y
y=log 2 x y=log x
3

0

1

y=log 1 x
3

x
x

y=log

0.5

1底数相同的指数函数与对数函数的图象与性质有什么关系 2底数满足什么条件的两个对数函数的图象关于x轴对称? 3底数越 大 ,其图象越接近x轴吗?

联系已知,重新建构
思考:对数函数y=log2x和指数y=2x的在图像,定 义域,值域,单调性这些方面有什么关系? 图像关于直线y=x对称,图像上对应点的横纵坐 标恰好互换 函数y=log2x的定义域是y=2x的值域,
8

函数y=log2x的值域是y=2x的定义域
6 4

都是增函数
-15 -10 -5

2

5

10

15

-2

-4



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