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2014-2015学年山西省临汾市浮山中学高二(下)期中数学试卷(理科) Word版含解析



2014-2015 学年山西省临汾市浮山中学高二(下)期中数学试卷(理科)
一.选择题 1. (5 分) (2012 秋?房山区期末)设 a,b∈R,a+bi=(1﹣i) (2+i) (为虚数单位) ,则 a+b 的 值为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 根据两个复数代数形式的乘法法则以及两个复数相等

的充要条件,求得 a 和 b 的值, 即可求得 a+b. 解答: 解:∵a+bi=(1﹣i) (2+i)=3﹣i,∴a=3,b=﹣1,∴a+b=2, 故选 B. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,两个复数相 等的充要条件,属于基础题. 2. (5 分) (2015 春?浮山县校级期中)若复数 z 满足 z(1+i)=2i,则复数 z 等于( A. 1+i B. 1﹣i C. 2+ D. 2 )

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

复数相等的充要条件. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则即可得出. 解:∵复数 z 满足 z(1+i)=2i, = =i+1.

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题.

3. (5 分) (2013 春?海曙区校级期末) (A 题) 直线

(t 为参数) 的倾斜角等于 (



A.

B.

C.

D.

考点: 直线的参数方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把参数方程化为普通方程,求出直线的斜率,据倾斜角和斜率的关系求出倾斜角的大 小. 解答: 解:直线的参数方程为 (t 是参数) ,消去参数 t 得 x+y﹣2﹣ =0,

∴斜率为 k=﹣1,设直线的倾斜角为 α,tanα=﹣1,又 0≤α<π,

∴α=



故选 A. 点评: 本题考查把参数方程化为普通方程的方法,直线的斜率和倾斜角的关系,斜率和倾斜 角的求法.考查计算能力. 4. (5 分) (2011 秋?石景山区期末)在极坐标系中,圆 ρ=﹣2cosθ 的圆心的极坐标是( A. (1, ) B. (1,﹣ ) C. (1,0) D. (1,π) )

考点: 极坐标刻画点的位置. 专题: 计算题. 分析: 把圆的极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标. 2 2 2 2 2 解答: 解:圆 ρ=﹣2cosθ 即 ρ =﹣2ρcosθ,即 x +y +2x=0,即 (x+1) +y =1,表示以(﹣ 1,0)为圆心,半径等于 1 的圆. 而点(﹣1,0)的极坐标为(1,π) , 故选 D. 点评: 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,求点的极坐标,属于基础题. 5. (5 分) (2013 春?黄冈期末)演绎推理“因为对数函数 y=logax(a>0,a≠1)是增函数,而 函数 y=log x 是对数函数,所以 y=log x 是增函数”所得结论错误的原因是( ) A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 大前提和小前提都错误 考点: 演绎推理的意义. 专题: 推理和证明. 分析: 对于对数函数来说,底数的范围不同,则函数的增减性不同,当 a>1 时,函数是一个 增函数,当 0<a<1 时,对数函数是一个减函数,对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是增函数 这个大前提是错误的. 解答: 解:∵当 a>1 时,函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是一个增函数, 当 0<a<1 时,此函数是一个减函数 ∴y=logax(a>0 且 a≠1)是增函数这个大前提是错误的, 从而导致结论错. 故选 A 点评: 本题考查演绎推理的基本方法,考查对数函数的单调性,是一个基础题,解题的关键 是理解函数的单调性,分析出大前提是错误的. 6. (5 分) (2015 春?浮山县校级期中)用反证法证明“若 a+b+c<3,则 a,b,c 中至少有一个 小于 1”时,“假设”应为( ) A. 假设 a,b,c 至少有一个大于 1 B. 假设 a,b,c 都大于 1 C. 假设 a,b,c 至少有两个大于 1 D. 假设 a,b,c 都不小于 1 考点: 反证法与放缩法.

专题: 证明题;推理和证明. 分析: 考虑命题的反面,即可得出结论. 解答: 解:由于命题:“若 a,b,c 中至少有一个小于 1”的反面是:“a,b,c 都不小于 1”, 故用反证法证明“若 a+b+c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时,“假设”应为“a,b,c 都不 小于 1”, 故选:D. 点评: 此题主要考查了反证法的步骤,熟记反证法的步骤: (1)假设结论不成立; (2)从假 设出发推出矛盾; (3)假设不成立,则结论成立. 7. (5 分) (2015?赫章县校级模拟) 用数学归纳法证明 1 +2 +…+ (n﹣1)+n + (n﹣1)+…+2 +1 ═ 时,由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( A. (k+1) +2k B. (k+1) +k C. (k+1) D.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



考点: 数学归纳法. 专题: 计算题. 分析: 根据等式左边的特点,各数是先递增再递减,分别写出 n=k 与 n=k+1 时的结论,即可 得到答案. 解答: 解:根据等式左边的特点,各数是先递增再递减, 由于 n=k,左边=1 +2 +…+(k﹣1) +k +(k﹣1) +…+2 +1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n=k+1 时,左边=1 +2 +…+(k﹣1) +k +(k+1) +k +(k﹣1) +…+2 +1 2 2 比较两式,从而等式左边应添加的式子是(k+1) +k 故选 B. 点评: 本题的考点是数学归纳法,主要考查由 n=k 的假设到证明 n=k+1 时,等式左边应添加 的式子,关键是理清等式左边的特点. 8. (5 分) (2014 春?咸宁期末)水以匀速注入如图容器中,试找出与容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象( )
2 2 2 2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由水以恒速注入,所以根据个图形的形状变化,即可确定水高度 h 的变化速度,即可 确定答案. 解答: 解:体积由下到上越来越小, ∴水高度 h 是升高的速度越来越快, ∴所对应的水高度 h 和时间 t 的函数关系图象是 A; 故选:A 点评: 本题考查了利用函数图象来描述实际问题的知识.此题难度不大,解题的关键是理解 题意,掌握数形结合思想的应用.

9. (5 分) (2014?莘县校级模拟)函数 A. e
﹣1

的最大值为(



B. e C. e D .

2

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题. 分析: 先找出导数值等于 0 的点,再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号,确定此点是函 数的极大值点还是极小值点, 从而求出极值. 解答: 解:令 当 x>e 时,y′<0; 当 x<e 时,y′>0, 在定义域内只有一个极值, 所以 , , ,

故答案选 A. 点评: 本题考查求函数极值的方法及函数在某个点取得极值的条件. 10. (5 分) (2015 春?浮山县校级期中)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函 数 y=(2﹣x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A. B. C. D.

函数 f(x)有极大值 f(1)和极小值 f(﹣1) 函数 f(x)有极大值 f(1)和极小值 f(2) 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) 函数 f(x)有极大值 f(﹣1)和极小值 f(2)

考点: 利用导数研究函数的极值.

专题: 导数的概念及应用. 分析: 先判断出各个区间上的导数的符号,再判断出函数的单调区间,从而求出极值. 解答: 解:①x<﹣1 时,2﹣x>0,y<0,∴f′(x)<0, ②﹣1<x<1 时,2﹣x>0,y>0,∴f′(x)>0, ③1<x<2 时,2﹣x>0,y<0,∴f′(x)<0, ④x>2 时,2﹣x<0,y>0,∴f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣∞,﹣1) , (1,2)上递减,在(﹣1,1) , (2,+∞)递增, ∴f(﹣1)是极小值,f(1)是极大值; 故选:A. 点评: 本题考察了函数的单调性,求函数的极值问题,是一道基础题. 11. (5 分) (2015 春?浮山县校级期中)若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x+3 的最小距离为( ) A. 1 B. C. D.
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再求 点 P 到直线 y=x+3 的最小距离. 解答: 解:过点 P 作 y=x+3 的平行直线,且与曲线 y=x ﹣lnx 相切, 2 设 P(x0,x0 ﹣lnx0)则有: k=y′|x=x0=2x0﹣ ∴2x0﹣ .
2

=1,∴x0=1 或 x0=﹣ (舍去) .

∴P(1,1) , ∴d= = .

故选:C. 点评: 本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,属于中档题. 12. (5 分) (2015 春?浮山县校级期中)四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在 1、2、3、4 号位置上(如图) ,第 1 次前后排动物互换位置,第 2 次左右列互换座位,…这样 交替进行下去,那么第 2014 次互换座位后,小兔的位置对应的是( )

A. 编号 1 (开始) B. 编号 2 (第 1 次) C. 编号 3 (第 2 次) D. 编号 4(第 3 次)

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意和图设每次变换后的小兔座位编号为 an,原来的座位编号为 a0=2,由图依次求 出数列的前 6 项,找出数列的周期,根据周期性求出 a2014. 解答: 解:由图得,小兔原来的座位编号为 a0=2, 设每次变换后的小兔座位编号为 an, 则 a1=4,a2=3,a3=1,依此类推得 a4=2,a5=4,a6=3,…, ∴此数列的项周期性出现,且周期是 4,即 an+4=an, ∴a2014=a4×503+2=a2=3, 故选:C. 点评: 本题是数列与实际问题结合的题,比较新颖,考查了归纳推理和数列周期性的应用. 二.填空题 3 2 13. (5 分) (2015 春?浮山县校级期中)若函数 f(x)=x +x +mx+1 在 R 上无极值点,则实数 m 的取值范围是 [ ,+∞) .

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数的导函数,由函数 f(x)=x +x +mx+1 在 R 上无极值点,说明函数 f(x)在 R 上是单调函数,有△≤0,求出 m 的取值范围. 解答: 解:f′(x)=3x +2x+m, 3 2 ∵函数 f(x)=x +x +mx+1 在 R 上无极值点, ∴f(x)在 R 上单调, ∴△=4﹣12m≤0,解得 m≥ , 故答案为:[ ,+∞) . 点评: 本题考查的是利用导数判断函数的单调性,求参数问题,运用等价转化思想,属于基 础题. 14. (5 分) (2014 秋?许昌月考) dx= π .
2 3 2

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用微积分基本定理的几何意义即可得出. 解答: 解:令 y= ,画出图象: =π.

由微积分基本定理的几何意义可得: 故答案为 π.

点评: 熟练掌握微积分基本定理的几何意义是解题的关键. 15. (5 分) (2013 春?红塔区校级期末)在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角, 那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方 体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O﹣LMN,如 果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .
2 2 2

考点: 类比推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 从平面图形到空间图形,同时模型不变. 解答: 解:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想: 故答案为: . .

点评: 本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力.解题的关键是掌握好类比 推理的定义. 16. (5 分) (2012?洛阳模拟)曲线 处的切线方程为 x+y﹣2=0 .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 由 y= 线方程. 解答: 解:∵y= , ,知 ,由此能求出曲线 处的切





∴曲线 ∴曲线

处的切线方程的斜率 k=y′|x=0=﹣1, 处的切线方程为 y﹣2=﹣x,即 x+y﹣2=0.

故答案为:x+y﹣2=0. 点评: 本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意 导数的几何意义的灵活运用. 三.解答题 2 2 2 17. (10 分) (2015 春?浮山县校级期中)求证: (1)a +b +c ≥ab+ac+bc; (2) + >2 + . 考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;分析法;综合法. 2 2 2 分析: (1)利用基本不等式,即可证得 a +b +c ≥ab+bc+ac; (2)寻找使不等式成立的充分条件即可. 解答: 证明: (1)∵a +b ≥2ab,a +c ≥2ac,b +c ≥2bc, 2 2 2 ∴a +b +c ≥ab+bc+ac; (2)要证明 + >2 + , 2 2 只要证明( + ) >(2 + ) , 只要证明 2 >2 , 显然成立, ∴ + >2 + . 点评: 本题考查均值不等式的应用,考查不等式的证明方法,用分析法证明不等式,关键是 寻找使不等式成立的充分条件.
3 2 2 2 2 2 2 2

18. (12 分) (2014 春?咸阳期末)设函数 f(x)=x ﹣ x ﹣2x﹣ . (1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间; (2)当 x∈[﹣1,1]时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)求导数,利用导数的正负,可得函数的单调区间; (2)恒成立问题可转化成 f(x)max<m 即可. 解答: 解: (1)f′(x)=3x ﹣x﹣2=0,得 x=1,﹣ . 在(﹣∞,﹣ )和[1,+∞)上 f′(x)>0,f(x)为增函数; 在(﹣ ,1)上 f′(x)<0,f(x)为减函数. 所以所求 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣ ]和[1,+∞) ,单调减区间为[﹣ ,1].
2

(2)由(1)知,当 x∈[﹣1,﹣ ]时,f′(x)>0,[﹣ ,1]时,f′(x)<0 ∴f(x)≤f(﹣ )= .

∵当 x∈[﹣1,1]时,f(x)<m 恒成立, ∴m> .

点评: 本题以函数为载体,考查函数的单调性,同时考查了恒成立问题的处理,注意利用好 导数工具. 19. (12 分) (2015?邢台四模)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处, 极轴与 x 轴的正半轴重合. 直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为:ρ=4cosθ. (Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并指出 C 是什么曲线; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求|PQ|值. 考点: 直线的参数方程;直线与圆相交的性质;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;直线与圆. 2 2 2 分析: (Ⅰ)由 ρ=4cosθ 可得 ρ =4ρcosθ,故曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣2) +y =4,它 是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆. (Ⅱ)把参数方程代入 x +y =4x 整理得 ,根据 解答: 解: (Ⅰ)∵ρ=4cosθ,∴ρ =4ρcosθ, (2 分) 2 2 2 2 2 由 ρ =x +y ,ρcosθ=x 得:x +y =4x, 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣2) +y =4,…(4 分) 它是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆.…(5 分)
2 2 2 2 2

,利用根与系数的关系求得 求得结果.

(Ⅱ)把

代入 x +y =4x 整理得

,…(7 分)

设其两根分别为 t1、t2,则 ∴

,…(8 分) .…(10 分)

点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角坐标方程的方 法,参数的几何意义,属于基础题.

20. (12 分) (2012 春?西城区期末)在数列{an}中,a1=1,an+1=

,n=1,2,3,….

(Ⅰ)计算 a2,a3,a4 的值; (Ⅱ)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. 考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)由 a1=1,an+1= (Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想 an= ,即可求得 a2,a3,a4 的值; ;分二步证明即可:①当 n=1 时,去证明等式成立;②假

设 n=k 时,等式成立,去推证 n=k+1 时,等式也成立即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵a1=1,an+1= ,

∴a2=

= ;

a3=

=

= ,a4=

=



(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想:an=



证明:①当 n=1 时,a1=1,等式成立; ②假设 n=k 时,ak= ,

则当 n=k+1 时,ak+1= 即 n=k+1 时,等式也成立.

=

=

=



综上所述,对任意自然数 n∈N ,an=

*

. 是关键,考查运

点评: 本题考查数列递推式,着重考查数学归纳法的应用,猜得 an= 算与推理证明的能力,属于中档题.

21. (12 分) (2013 秋?濠江区校级期末)某商品每件成本 5 元,售价 14 元,每星期卖出 75 件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数 m 与商品单价的降低值 x (单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低 1 元时,一星期多卖出 5 件. (1)将一星期的商品销售利润 y 表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数模型的选择与应用.

专题: 应用题;导数的概念及应用. 分析: (1)依题意,设 m=kx ,由已知有 5=k?1 ,可求得 k 值,根据单件利润×销售量可得 函数式; (2)利用导数即可求得函数的最大值,注意函数定义域; 2 2 解答: 解: (1)依题意,设 m=kx ,由已知有 5=k?1 ,从而 k=5, 2 ∴m=5x , 2 3 2 ∴y=(14﹣x﹣5) (75+5x )=﹣5x +45x ﹣75x+675(0≤x<9) ; 2 (2)∵y′=﹣15x +90x﹣75=﹣15(x﹣1) (x﹣5) , 由 y′>0,得 1<x<5,由 y′<0,得 0≤x<1 或 5<x<9, 可知函数 y 在[0,1)上递减,在(1,5)递增,在(5,9)上递减, 从而函数 y 取得最大值的可能位置为 x=0 或是 x=5, ∵y(0)=675,y(5)=800, ∴当 x=5 时,ymax=800, 答:商品每件定价为 9 元时,可使一个星期的商品销售利润最大. 点评: 本题考查利用导数求函数的最值、实际问题中函数模型的构建问题,考查学生利用数 学知识分析解决实际问题的能力.
2 2 2

22. (12 分) (2015 春?浮山县校级期中)已知函数 f(x)=(x +bx+b) ①当 b=﹣1 时,求 f(x)的极值. ②若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围. ③试判断 f(x)在定义域上的单调性.

(b∈R)

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: ①将 b=﹣1 代入函数 f(x)的表达式,求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而 求出函数的极值; ②先求出函数 f(x)的导数,问题转化为从而 3b≤﹣5x+2, b 的范围; ③先求出函数的导数,通过讨论 b 的范围,从而求出函数的单调性. 解答: 解:①当 b=﹣1 时 ,定义域为 . 恒成立,从而求出

当 x∈(﹣∞,0)时 f′(x)<0,当

,f′(x)>0 时,

所以,当 x=0 时取得极小值 f(0)=﹣1,无极大值. ② ,当 时 <0,

故 5x+3b﹣2≤0,从而 3b≤﹣5x+2,

恒成立,

设 g(x)=﹣5x+2,

,即 3b≤g( ) ,解得 b≤ ;



,定义域为



当 b= 时,在 当 b≤ 当

上单调递减; 内单调递增; 内单调递增,在

时,f(x)在(﹣∞,0)内单调递减,在 时,f(x)在(﹣∞,0)内单调递减,在 内单调递减;



时,f(x) 在 内单调递减.

内单调递减,在

内单调递增;在

点评: 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题,考查函数恒成立问题,分类讨论思想, 是一道中档题.



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