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求函数解析式的几种方法教案


北京梦飞翔教育个性化辅导教案
学生: 教学内容 教学重点 教学难点 教学计划 教师: 函数解析式的求法 求函数的解析式 求函数的解析式 本次课内容对应教学计划中第 1 2 教学目标 3 4 一、教学过程:
【知识梳理】 1.函数的定义2.函数相等3.分段函数4.映射的概念 【热身练习】 1.如果 ? x, y ? 在映射 f 下的象是 ?
会求几种常见形式函数的解析式

时间:





日_____段 课时:

次课

A . ? ?10, 4 ?
2.给出下列对应:

?x? y x? y? , ? ,则 ? ?5, 2 ? 在 f 下的原象是( 2 ? ? 2 7? ? 3 C . ? ?6, ? 4 ? B . ? ?3, 7 ? D .?? , ? ? 2? ? 2



① A ? R, B ? ? 0, ? ? ? , f : x ? x ; ② A? B ? N , f : x ? x?3 ;
2 ③ A ? x ? N x ? 2 , B ? y ? Z y ? 0 , f : x ? y ? x ? 2x ? 2 ;

?

?

?

?

④ A ? ? 0, ? ? ? , B ? R , f : x ? y ? ? x . 其中是从集合 A 到集合 B 的函数有
2

. (写出所有正确答案的序号)

3.设映射 f : x ? ? x ? 2 x 是集合 A 到 B 的映射,其中 A ? B ? R .若实数 k ? B ,且 k 在 A 中不存在原

象,则 k 的取值范围是 4.下列四组函数中,表示同一函数的是(

. )
3 3 2

A . f ?x ? ? x , g ? x ? ?
C . f ?x ? ? 1 , g ?x ? ?

? x?
x x

2

B . f ?x ? ? x , g ? x ? ? x

D . f ?x ? ? x ? 1 ? x ? 1 , g ? x ? ? x ? 1

y

5.下列各图中,可以表示函数 y ? f ?x ? 的只可能是(
y
y

y

x O
O x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

6.若函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 ,其定义域 A ? x ? N 1 ? x ? 5 ,则 f ? x ? 的值域是

?

?

. .

x2 ?1? ?1? ?1? 7.设函数 f ? x ? ? ,则 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? ? ? f ? 3? ? f ? ? ? f ? 4 ? ? f ? ? ? 2 1? x ?2? ?3? ?4?
二、复合函数 1.复合函数的解析式 . 【试一试】 1.设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 , g ? x ? ?

1 2 .求 f ? x ? 1? 、 f ? ? g ? x ?? ?、 f ? ? f ? x ?? ? 的解析式. 2 1? x

? x 2 ( x ? 0) 2.设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1, g ? x ? ? ? ,求函数 f ? ? g ? x ?? ?和g? ? f ? x ?? ? 的解析式. ? x ? 1 ( x ? 0)

函数解析式的几种常见求法
一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。

例 1 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

二、

配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的运算

形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。 例 2 已知 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x2

三、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,要注意
所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1)

四、代入法(相关点法) :求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式
2

【练一练】已知函数 f ( x) ? 2 x ?1 ,当点 P(x,y)在 y= f ( x) 的图象上运动时,点 Q( ? 图象上,求函数 g(x).

y x , )在 y=g(x)的 2 3

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程
组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x)

1 x

例 6 设 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,
使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x)

【练一练】1.若 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (1) ? 2 , 求值
f (2) f (3) f (4) f (2005 ) ? ? ??? . f (1) f (2) f (3) f (2004 )

2.设 f ( x) 是定义在 N ? 上的函数,且 f (1) ? 2 , f ( x ? 1) ?

f ( x) ? 1 ,求 f ( x) 的解析式. 2

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代
等运算求得函数解析式。 例 8 设 f ( x) 是定义在 N ? 上的函数, 满足 f (1) ? 1 , 对任意的自然数 a, b 都有 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab , 求 f ( x)

八.利用给定的特性求解析式. 1.设 f ( x) 是偶函数,当 x>0 时, f ( x) ? e ? x 2 ? e x ,求当 x<0 时, f ( x) 的表达式.

二、课堂小结:

三、课后反思:

四、学生对于本次课的评价: ○ 差 五、教师评定: 1、 学生上次作业评价: 差或一般的原因 2、 学生本次上课情况评价: ○ 好 差或一般的原因 教师签字: 学管师签字: ___________ ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 ○ 一般 ○ 满意 ○ 特别满意 学生签字:

一、函数的概念 1.函数的定义 设 A,B 是 集合 B 中都有 作 值的集合 C ? 的数集,如果按照某种确定的

f ,使对于集合 A 中的

一个数 x ,在

的数 f ? x ? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合个 B 的一个函数,记 , x ? A .其中, 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数

叫做函数的值域.显然,值域 C ? B . 、 、 是决定函数的三要素,这是一个整体,

(1)函数概念的整体性: 其中核心是对应关系.

(2)函数符号 y ? f ? x ? 的内涵:不表示“ y 等于 f 与 x 的乘积” ,而是 “ y 是 x 的函数”的数学表示, 其中 x 是自变量,是对应关系作用的对象; f 是对应关系,可以是解析式、图象或表格,也可以是文字描述;

y 是自变量的函数,当 x 取允许的具体值时,相应的 y 值是其对应的函数值.
(3) f ? x ? 与 f ? a ? 的区别与联系:当 a 为常数时, f ? a ? 表示当自变量 x ? a 时函数 f ? x ? 的值,是一个 常量;而 f ? x ? 是自变量 x 的函数.在一般情况下, f ? x ? 是一个变量, f ? a ? 是 f ? x ? 的一个特殊值. (4)初高中函数定义的比较:初中函数定义是从运动变化的观点出发,是描述变量之间依赖关系的重要 数学模型,其中的对应关系是将自变量 x 的每一个取值与唯一确定的函数值 y 对应起来;高中函数的定义是从 集合、 对应的观点出发, 其中的对应关系是将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来. 高 中函数定义更具一般性,其外延更加丰富,是初中函数定义的延伸和拓展. 2.函数相等 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果 两个函数的 3.分段函数 如果一个函数在定义域的全域上没有统一的对应关系, 对于自变量的不同取值范围, 有着不同的对应法则, 这样的函数叫分段函数.分段函数用解析法表示的一般形式: 相同,并且对应关系 ,就称这两个函数相等.

? f1 ? x ? , x ? A1 , ? ? f ? x ? , x ? A2 , y ? f ? x? ? ? 2 ? ? ? f n ? x ? , x ? An . ?
(1)分段函数是一个函数,不是几个函数;其定义域为并集 A ? A1 ? A2 ??? An ,值域是各段函数值 集合的并集. (2)分段函数的图象要“分段作图” ,要注意每一段解析式中自变量的取值范围. 4.映射的概念 设 A ,B 是两个非空的集合, 如果按照某一个确定的 在集合 B 中都有 使对于集合 A 中的 f, 一个元素 x ,

的元素 y 和它对应, 那么就称对应 f :A ? B 为从集合 A 到集合个 B 的一个映射.

(1)映射有三个要素:两个集合 A、B (可以是任意非空集合) 、对应关系,三者缺一不可. (2)集合的先后顺序: A → B 与 B → A 一般是不同的. (3)映射是一类特殊的对应,包括多一对应与一一对应.有两个重要特征: A 中元素的任意性(缺一不 可) 、 B 中元素(对应于 A 中的元素)的唯一性,但 B 中元素可以“剩余” . (4)象与原象:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A,b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象.象与原象相互依存,不能割裂二者;集合 A 中的每 一个元素都有象,且象是唯一的;但集合 B 中的元素不一定都有原象,有也未必是唯一的. (5)函数是特殊的映射,是非空数集到非空数集的映射. 【热身练习】 1.如果 ? x, y ? 在映射 f 下的象是 ?

A . ? ?10, 4 ?
2.给出下列对应:

?x? y x? y? , ? ,则 ? ?5, 2 ? 在 f 下的原象是( 2 ? ? 2 7? ? 3 C . ? ?6, ? 4 ? B . ? ?3, 7 ? D .?? , ? ? 2? ? 2



① A ? R, B ? ? 0, ? ? ? , f : x ? x ; ② A? B ? N , f : x ? x?3 ;
2 ③ A ? x ? N x ? 2 , B ? y ? Z y ? 0 , f : x ? y ? x ? 2x ? 2 ;

?

?

?

?

④ A ? ? 0, ? ? ? , B ? R , f : x ? y ? ? x . 其中是从集合 A 到集合 B 的函数有
2

. (写出所有正确答案的序号)

3.设映射 f : x ? ? x ? 2 x 是集合 A 到 B 的映射,其中 A ? B ? R .若实数 k ? B ,且 k 在 A 中不存 在原象,则 k 的取值范围是 .

4.下列四组函数中,表示同一函数的是(


3 3 2

A . f ?x ? ? x , g ? x ? ?
C . f ?x ? ? 1 , g ?x ? ?

? x?
x x

2

B . f ?x ? ? x , g ? x ? ? x

D . f ?x ? ? x ? 1 ? x ? 1 , g ? x ? ? x ? 1

y

5.下列各图中,可以表示函数 y ? f ?x ? 的只可能是(
y
y

y

x O
O x

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

6.若函数 f ? x ? ? 2 x ? 3 ,其定义域 A ? x ? N 1 ? x ? 5 ,则 f ? x ? 的值域是

?

?

. .

x2 ?1? ?1? ?1? 7.设函数 f ? x ? ? ,则 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? ? ? f ? 3? ? f ? ? ? f ? 4 ? ? f ? ? ? 2 1? x ?2? ?3? ?4?
二、复合函数

如果 y 是 u 的函数,记作 y ? f ? u ? ,其定义域为 A ;又 u 是 x 的函数,记作 u ? g ? x ? ,其值域为 C ,且

C ? A ? ? ,则 y 通过中间变量 ? g ? x ?? ? ,称之为 y 关于 x 的复合函数;其中 u ....u 而成为 x 的函数,记为 y ? f ?
叫做中间变量 , y ? f ? u ? 叫做外层函数 , u ? g ? x ? 叫做内层函数 . .... .... .... (1)复合函数的本质:对 x 的任意一个取值通过对应关系 g 得到唯一确定的 u 值,而对此 u 的取值通过

?? u ? ?? y ;即:对 x 的任意一个取值通过对应关系 g 与 f 的相继 对应关系 f 得到唯一确定的 y 值: x ?
g f

作用得到唯一确定的 y 值与之对应,故 y 也是自变量 . .....x 的函数 ... (2)此概念表明在研究复杂函数时可将其分解成简单或基本函数,化繁为简;关键是要正确分析复合层 次即分清复合函数是由哪些简单函数、经过怎样的复合关系复合而成的.如:函数 y ? 由外层函数 与内层函数 复合而成.

x 2 ? 2 x ? 2 可看作是

(3)内层函数的值域 C 满足的条件“ C ? A ? ? ”是为了保证两个函数可以复合 ;否则复合函数不存在, ............. 如对于函数 y ? f ? u ? ? u 与 u ? g ? x ? ? ? x ? 1 ,其复合函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 不存在.
2

1.复合函数的解析式 第一种类型,已知 f ? x ? 、 g ( x) ,求 f ? 、对应 ? g ? x ?? ? :函数 f ? ? g ? x ?? ? 可以理解为以 g ? x ? 为“自变量” 法则为 f 的函数,故视 g ? x ? 为一个整体代替 f ? x ? 中的 x 即可求出 f ? ? g ? x ?? ?.

第二种类型,已知 f ? ? g ? x ?? ? 、 g ? x ? ,求 f ? x ? :换元法、配凑法. . 【试一试】 1.设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 , g ? x ? ?

1 2 .求 f ? x ? 1? 、 f ? ? g ? x ?? ?、 f ? ? f ? x ?? ? 的解析式. 2 1? x

2.设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1, g ? x ? ? ?

? x2

( x ? 0)

? x ? 1 ( x ? 0)

,求函数 f ? ? g ? x ?? ?和g? ? f ? x ?? ? 的解析式.

函 数 解 析 式 的 几 种常见 求 法
三、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。

例 1 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x) 解:设 f ( x) ? ax ? b

(a ? 0) ,则

f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? ab ? b

? a2 ? 4 ?? ?ab ? b ? 3

?a ? 2 ?a ? ?2  或   ?? ? ? b?3 ?b ? 1

? f ( x) ? 2 x ? 1  或  f ( x) ? ?2 x ? 3

四、

配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的

运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。 例 2 已知 f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x2

解:? f ( x ?

1 1 1 ) ? (x ? )2 ? 2 , x ? ? 2 x x x
( x ? 2)

? f ( x) ? x 2 ? 2

三、换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,要注
意所换元的定义域的变化。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x
? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,
? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ( x ? 0)

四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式
2

解:设 M ( x, y ) 为 y ? g ( x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点

? x? ? x ? ?2 ? ? x? ? ? x ? 4 则? 2 ,解得: ? , y? ? y ?? 6? y y ? ? ?3 ? 2

?点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g ( x) 上
? y ? ? x? 2 ? x?
把?

? x? ? ? x ? 4 代入得: ? y? ? 6 ? y

6 ? y ? (? x ? 4) 2 ? (? x ? 4)
整理得 y ? ? x ? 7 x ? 6
2

? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6

五、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方
程组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x)满足f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x) 解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x 显然 x ? 0, 将 x 换成

1 x

1 x



1 ,得: x


1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? x x x 2 f ( x) ? ? ? 3 3x

解① ②联立的方程组,得:

例 6 设 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ? 解 ? f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

? f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x)
又 f ( x) ? g ( x) ?

1 ① , x ?1 1 x ?1

用 ? x 替换 x 得: f (? x) ? g (? x) ? ? 即 f ( x) ? g ( x) ? ?

1 ② x ?1

解① ②联立的方程组,得

1 1 , g ( x) ? 2 x ?1 x ?x 六、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值, f ( x) ?
2

使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x) 解?对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y ) ? f (0) ? y (? y ? 1) ? 1 ? y ( y ? 1) ? y ? y ? 1
2

再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x ? x ? 1
2

七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭
代等运算求得函数解析式。 例 8 设 f ( x) 是 定 义 在 N ? 上 的 函 数 , 满 足 f (1) ? 1 , 对 任 意 的 自 然 数 a, b 都有

f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab ,求 f ( x)
解? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab,a, b ? N ? ,

?不妨令 a ? x, b ? 1 ,得: f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x ,
又 f (1) ? 1, 故f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 分别令①式中的 x ? 1, 2? n ? 1 得: ①

f (2) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2) ? 3, ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n,
将上述各式相加得: f (n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ?n ,

? f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? f ( x) ?

n(n ? 1) 2

1 2 1 x ? x, x ? N ? 2 2


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