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人教A第二章学案4 平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算



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学点一

学点二

1.平面向量基本定量:如果e1,e2是同一平面内的 不共线 两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 a=λ1e1+λ2e2 λ1,λ2,使 .其中,不共线的向量e1,e2叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为 两个互相垂直的向量 ,叫做把向量正
交分解.

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3.(1)两个向量和差的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=,即a+b= (x1+x2)i+(y1+y2)j =(x1+x2,y1+y2) .同理可得ab= (x1-x2,y1-y2) .这就是说,两个向量和(差)的坐标分 别等于 这两个向量相应坐标的和(差) . (2)数乘向量和坐标运算 λa=λ(x1i+y1j)=,即λa= λx1i+λy1j=(λx1,λy1) .这就是

说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 .

(3)向量AB的坐标表示
若已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= (x2-x1,y2-y1) .即一个向量的 坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 .

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学点一 用基底表示平面内的向量

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【评析】

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如图所示,已知△ABC中,M,N,P顺次是BA的四 等分点,CB=e1,CA=e2,试以(e1,e2)为基底表示 CM,CN,CP. AB=CB-CA=e1-e2,
1 1 AM= 4 AB= 4 (e1-e2)=MN=NP, 1 1 CM=CA+AM=e2+ 4 (e1-e2)= 4 3 e1 + 4 e2 , 1 3 1 CN=CM+MN= 4 e1+ 4 e2+ 4 (e1e2)= 1 e1+ 1 e2, 2 2 1 1 1 CP=CN+NP= 2 e1+ 2 e2+ 4 (e1-e2)= 3 1 4 e1 + 4 e2 .

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学点二

平面向量的坐标运算
1 2 1 b. 4

已知a=(2,1),b=(-3,4).求: (1)3a+4b;(2)a-3b;(3) a -

【分析】根据向量坐标运算公式计算.

【解析】(1)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
(2)a-3b=(2,1)-3(-3,4)=(2,1)-(-9,12)=(11,-11).
1 1 1 1 (3) a- b= (2,1)- (-3,4) 2 4 2 4 7 1 3 1 =(1, )-(- ,1)=( ,- ). 4 2 4 2

【评析】(1)向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算 法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则应先求 出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确 使用运算法则.

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已知b=(-3,4),c=(-1,1),且a=3b-2c.若a=AB,且B(1,0). 求点A的坐标. ∵b=(-3,4),c=(-1,1), ∴a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)

=(-9,12)-(-2,2)=(-9+2,12-2)=(-7,10).
设A点坐标为(x,y),又B(1,0), ∴AB=(1-x,0-y)=(-7,10). ∴ 1-x=-7

?

0-y=10?

?

?

x=8 y=-10.

即A点的坐标为(8,-10).

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1.学习平面向量基本定理应注意些什么?
(1)e1,e2是同一平面内两个不共线的向量. (2)该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示,且这种表示是 唯一的. (3)基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量 都可以作为一组基底. (4)定理的证明,教材是用作图法证明存在性,用反证法证明唯 一性.

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2.向量的正交分解与向量的坐标的关系是怎样的?应注意什么 问题? 设向量a沿单位正交基底i,j分解的线性表示为a=xi+yj,于是实数 对x,y唯一确定,把(x,y)叫做向量a的坐标.可见,向量a的坐标 实质上是a的正交分解的系数.学习向量的正交分解与向量的坐 标应注意以下问题:(1)把点的坐标与向量的坐标区别开来, 相等的向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同. (2)两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?x1=x2,y1=y2.(3)在书 写向量的坐标时,注意与点的坐标的区别与联系.向量a=(x,y) 中间用等号连接,而一个点的坐标A(x,y)中间没有等号,如 A(4,8),B(6,5),a=(3,5)等.(4)向量有两种表示方法:一种是几 何法,即用向量的长度和方向表示,另一种是坐标法,即用 一对有序实数表示.有了向量坐标法表示,就可以将几何问题 转化为代数问题来解决.

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3.如何掌握向量的直角坐标运算?应注意什么问题?
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2b2),λa=(λa1,λa2).

两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差, 数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.
应注意以下几点:(1)两向量的坐标相同时,两个向量相等, 但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同,如 A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6),则AB=(3,3),CD=(3,3),显然 AB=CD,但A,B,C,D各点的坐标却不相同.(2)在平面 直角坐标系中,给出了向量的坐标,将向量的运算代数化, 同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法. (3)一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标, 不能记错.

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1.平面向量基本定理告诉我们,平面内任何一个向量都可 以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种 分解是唯一的. 2.平面向量基本定理中“同一平面内两个不共线的向量 e1,e2”叫做基底,基底的条件是在同一平面内不共线,即同 一平面内的两个向量e1,e2只要不共线即可作为基底,换句 话说,平面内向量的基底不唯一,那么同一平面内任何一 组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量的 基底.

3.由于零向量可看成与任何向量共线,所以零向量不可以 作为基底.

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4.在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点A的 位置被向量a唯一确定,此时点A的坐标与向量a的坐标统一 为(x,y)

5.两个向量相等等价于它们对应的坐标相等.
6.建立平面向量的坐标,基础是平面向量的基本定理及 正交分解,对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分 解求出其坐标. 7向量的坐标表示,实际是向量的代数表示,在引入向 量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与 形紧密地结合起来了,这样,很多几何问题就转化为我 们熟知的数量的运算.

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