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滨州市优质课评选:复数的概念


为了计数的需要 自然数集 在自然数集范围内 数 方程x+2=0(无解) 学 社 会 生 活 发 展 的 需 要 负 数 为了刻画具有 相反意义的量 整数集 分 数 为了测量、 分配等需要 在整数集范围内方 程3x-2=0(无解) 内 部 发 展 的 需 要 有理数集 无 理 数 实数集R 在有理数范围内方 程x2-2=0(无解) 探究交流 思考1:观察上面的图表,能结合熟悉的扩充 过程总结一下需要遵循那些原则吗? 数系每次扩充的基本原则: 第一、增加新元素; 第二、原有的运算性质仍然成立; 第三、新数系能解决旧数系中的矛盾. 16 世纪意大利数学家卡尔丹在其著作《大术》 一书中提出的这样一个问题“将 10 分为两部分, 使得两部分之积为 40” 。他将其中一部分设为 x, 另一部分则为 10-x,于是得到方程 x(10-x)=40, 你能求出方程的解吗? 卡当认为把答案写成 “ 5 ? ? 15 ” 和 “ 5 ? ? 15 ” 就可以满足要求. 即: ( 5 ? ? 15 )+( 5 ? ? 15 ) =10 2 ( 5 ? ? 15 ) ( 5 ? ? 15 ) =5 ? ? ?15 ? 2 ? 25 ? ? ?15? ? 40 思考:卡尔丹的解释在实数集范围能能成立吗?为什么? 做最好的自己 探究交流 思考2.为了使数学家卡尔丹的解释变得合理,你认为需 要引入具有怎样特征的数? 瑞士数学家欧拉最早提出了用i表示虚数单位, 并规定: (1 ) i 2 ? ?1 ; (2)实数可以与 i 进行加法和乘法运算: 实数 a 与数 i 相加记为: a ? i ; 实数 b 与数 i 相乘记为: bi ; 实数 a 与 实 数 b 和 i 相 乘 的结 果相加 记为 : a ? bi ; (3)实数与 i 进行加法和乘法时,原有的加法、乘法 运算律仍然成立。 观察下列实数与虚数单位i的运算结果 实数 a 与数 i 相加记为: a ? i ; 实数 b 与数 i 相乘记为: bi ; 实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加 记为: a ? bi ; 思考:虚数单位i与实数进行四则运算, 可以形成哪种一般形式的数? a+bi(a,b∈R) 讲解新课 1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 实部 练一 练 虚部 其中 i 称为虚数单位。 说出下列复数的实部和虚部 0, 2 1 , -2+ i , 2 3 2 ? i , ? 3i , i 探究交流 在引入虚数单位后,下面的两个数如何用 i 表示? “5 ? ? 15 ”和“ 5 ? ? 15 你能指出虚部和实部吗? 3.规定:如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等. 若a, b, c, d ? R, ?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d a ? bi ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0 2) 一般来说,两个复数只能说相等或不相 等,而不能比较大小了. 注:1) 2.复数的分类: ? 实数 b ? 0 非0实数(a ? 0,b ? 0) ? 复数z ? a ? bi ? b?0 ? 纯虚数 a ? 0, ? ? ? ( a, b ? R ) b 0 虚数 ? ? 非纯虚数 a ? 0, b?0 虚数集 复数集 实数集 纯虚数集 ? 0(a ? 0,b ? 0) 讨论? 复数集C和实数


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