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高三复习第一讲直线的倾斜角与斜率、直线方程



第八章

平面解析几何

高三备课组

第八章
第一讲

平面解析几何

直线的倾斜角与斜率、直线方程

【考纲速读吧】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式) ,了解斜截式与 一次函数的关系.

【要点集结号】
1 个重要关系
直线的倾斜角与斜率的关系:斜率 k 是一个实数,当倾斜角 α≠90°时,k=tanα.直线都有倾斜角,但 并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为 90° 的直线无斜率.

2 种必会方法
1.直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出方程中 x,y 的系数,写出直线方程. 2.待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数, 最后代入求出直线方程.

3 点必须注意
1.由直线的斜率 (k) 求倾斜角 (α) 的范围时, 要对应正切函数的图象来确定,要注意图象的不连续性. 如 π 3π -1≤k≤1,得 α∈[0, ]∪[ ,π) . 4 4 2.求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论. 3.在用截距式时,应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论.

【课前自主导学】01
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:x 轴________与直线________的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与 x 轴平行或重合 时,规定它的倾斜角为________. ②倾斜角的范围为__________. (2)直线的斜率 ①定义: 一条直线的倾斜角 α 的________叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示, 即 k=________, 倾斜角是 90° 的直线没有斜率. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k=________.

想一想
直线的倾斜角 θ 越大,斜率 k 就越大,这种说法正确吗?

填一填
(1)过点 M(-2,m) ,N(m,4)的直线的斜率为 1,则 m=________. (2)直线 x+y=1 的倾斜角为________. 2.直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 条件 斜率 k 与点(x1,y1) 斜率 k 与直线在 y 轴上的截 距b 两点(x1,y1) , (x2,y2) 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 适用范围 不含直线 x=x1 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1=x2) 和直 线 y=y1(y1=y2)

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第八章

平面解析几何

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名称

条件 直线在 x 轴、y 轴上的截距 分别为 a、b

方程 x y + =1 a b Ax+By+C=0 (A,B 不同时 为 0)

适用范围

截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

平面直角坐标系内的直线都适用

填一填
3 (1)直线 l 经过点 P(-2,5) ,且斜率为- 的直线方程________. 4 (2)过两点(0,3) , (2,1)的直线方程为________. (3)过点 M(3,-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程________.

【自我校对】
1. 正向 向上 0° 0°≤α<180° 正切值 tanα y2-y1 x2-x1 π 想一想:提示:这种说法不正确.由 k=tanθ(θ≠ )知 2 π ①当 θ∈[0, )时,θ 越大,斜率就越大且为正; 2 π ②当 θ∈( ,π)时,θ 越大,斜率也越大且为负,但综合起来说是错误的. 2 填一填: (1)1 (2)135° 2.填一填: (1)3x+4y-14=0 (2)x+y-3=0 (3)x-y-7=0 或 4x+3y=0

【核心要点研究】02
【考点一】直线的倾斜角和斜率
[2013· 太原段考]直线 xsinα-y+1=0 的倾斜角的变化范围是( ) π π π π 3 π ? ? ? ? ? A.? B. 0,π) C.? D.? ?0,2? ?-4,4? ?0,4?∪? 4 ,π? 例1

【审题视点】

先求斜率的范围,再求倾斜角的范围. [解析] 直线 xsinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα,又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1. π? ?3π ? 当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是? ?0,4?, 当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是? 4 ,π?. [答案] D

【师说点拨】
(1)直线倾斜角 α(α≠90°) ,斜率 k=tanα,知其一的范围可求另一个的范围. (2)与 x 轴垂直的直线的倾斜角 α=90° ,斜率 k 不存在;当 α=0° 时,k=0;当 0°<α<90°时,k>0; 90°<α<180°时,k<0.

【变式探究】
已知直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m2) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是________. 2 m -1 π? ?π ? 解析:k= =1-m2≤1,又 k=tanα,0≤α<π,所以 l 的倾斜角的取值范围为? ?0,4?∪?2,π?. 1-2

【考点二】求直线的方程
例 2 [2013· 广西调研](1)过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( ) A. x-2y+7=0 B. 2x+y-1=0 C. x-2y-5=0 D. 2x+y-5=0 (2)经过点 A(-5,2) ,且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是________.

【审题视点】

结合所给条件选择适当的直线方程形式求解.

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1 1 [解析] (1)所求直线的斜率为 ,故其方程为 y-3= (x+1) ,即 x-2y+7=0. 2 2 (2)设直线在 x 轴上的截距为 2a,则其在 y 轴上的截距为 a. 2 2 当 a=0 时,直线的斜率 k=- ,此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0. 5 5 x y 1 当 a≠0 时,点 A(-5,2)在直线 + =1 上,得 a=- ,此时,直线方程为 x+2y+1=0. 2a a 2 综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. [答案] (1)A (2)x+2y+1=0 或 2x+5y=0

【师说点拨】

求直线方程的方法主要有以下两种: (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程; (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.

【变式探究】 (1)直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是(



A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 (2)经过点 A(5,10) ,且到原点距离为 5 的直线方程是________. 答案: (1)A (2)x-5=0 或 3x-4y+25=0 解析: (1)与 2x-3y+4=0 垂直的直线可设为 3x+2y+c=0. 将(-1,2)点代入得 c=-1, ∴所求直线方程为 3x+2y-1=0. 故应选 A. (2)当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k,则 y-10=k(x-5) ,即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 3 由点线距离公式,得 =5,解得 k= .故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 4 k2+1 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

【考点二】直线方程的应用
例 3 [2013· 北京昌平]过点 P(2,1)作直线 l 分别与 x,y 轴正半轴交于 A,B 两点. 当△AOB 面积最小时,求直线 l 的方程.

【审题视点】

先建立 AB 所在直线方程,再求出 A、B 两点坐标,表示出△ABO 的面积,然后利用 相关的数学知识求最值. 1 [解] 方法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2) (k<0) ,则 A(2- ,0) ,B(0,1-2k) . k 1 1 1 1 1 △AOB 的面积 S= (1-2k) (2- )= [4+(-4k)+(- )]≥ (4+4)=4. 2 k 2 k 2 1 1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=- 时,等号成立.故直线 l 的方程为 y-1=- (x-2) ,即 x+2y-4=0. k 2 2 x y 方法二:设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0) ,则|OA|=a,|OB|=b. a b 1 2 1 ∴S△AOB= ab.又点 P 在直线 l 上,∴ + =1. 2 a b 2 1 2 2 ∵a>0,b>0,∴ + ≥2 , 即2 ≤1,∴ab≥8. a b ab ab 2 1 1 即 S△AOB 最小值为 4,当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时取“=” ,此时,直线方程为 x+2y-4=0. a b 2 [答案] x+2y-4=0 奇思妙想:本例条件不变,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线 l 的方程. x y 2 1 解:设 l 的方程为 + =1(a>0,b>0) ,则由 P 在 l 上得 + =1,|OA|+|OB|=a+b, a b a b 2 1 a 2b ? ∴a+b=(a+b)? ?a+b?=3+b+ a ≥3+2 2. a 2b x y 当且仅当 = 即 a= 2b 时“=”成立,此时 b= 2+1,a=2+ 2.∴直线方程为 + =1, b a 2+ 2 2+1 即 x+ 2y-(2+ 2)=0.

【师说点拨】
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利用直线方程解决问题时,为简化运算要灵活选用直线方程的形式.一般地,已知一点通常选择点斜 式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.

【变式探究】
2 [2011·江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q x 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 答案:4 解析:设过原点的直线方程为 y=kx(k>0) . y=kx, ? ? 2k 2k 联立? 2 得 P( , 2k) ,Q(- ,- 2k) . k k y= , ? x ? ∴PQ= ? 2k 2k 2 + ? +? 2k+ 2k?2= k k 8 8 +8k≥ 16=4.当且仅当 =8k,即 k=1 时取等号. k k

【课课精彩无限】03
忽视直线斜率不存在致误
【选题·热考秀】 [2013· 天津模拟]过点 P(2,3)作圆(x-1)2+(y-1)2=1 的切线,求切线的方程. [规范解答] 因为(2-1)2+(3-1)2>1,所以点 P(2,3)在圆的外部,由平面几何知识知,过点 P 的 圆的切线有两条. (1)若切线的斜率存在,可设方程为 y-3=k(x-2) ,即 kx-y-2k+3=0.依题意,有 |k-1-2k+3| 3 =1,解得 k= . 所以切线方程为 3x-4y+6=0. 4 1+k2 (2)若所求直线斜率不存在,方程为 x=2,经检验知符合题意. 综上,所求切线方程为 3x-4y+6=0 或 x=2. 【备考· 角度说】 No.1 角度关键词:易错分析 解题过程中容易犯有两处错误:一是未考查点 P 与圆的位置关系;二是运用直线方程的点斜式时,忽 视了点斜式方程中隐含的条件:此方程只能表示斜率存在的直线. No.2 角度关键词:备考建议 在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于未讨论“无斜率”的情况,从而造成丢解.如 在求过圆外一点的圆的切线方程时,或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,或讨论两直线的平行、垂直的 位置关系时,一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论.

【经典演练提能】04
1.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为( ) A.0 B.-8 C.2 D.10 答案:B 4-m 解析:由题可得 =-2,解得 m=-8. m+2 π 2.[2013· 西安质检]设 <α<π,则直线 y=xcosα+m 的倾斜角的取值范围是( ) 2 π ? π 3 ? π 3 ? 3 ? A. ? B. ? C. ? D. ? ?2,π? ?2,4π? ?4,4π? ?4π,π? 3 π ? 解析:∵ <α<π,∴k=cosα∈(-1,0) . ∴倾斜角 θ∈? ?4π,π?.故应选 D. 2 3.[2013· 汕头月考]已知点 A(1,-2) ,B(m,2) ,且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实 数 m 的值是( ) A.-2 B.-7 C .3 D.1 答案:C 1+m 解析:线段 AB 的中点( ,0)代入直线 x+2y-2=0 中,得 m=3. 2
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4.[2012· 佛山检测]已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 答案:D a+2 解析:由题意得 a+2= ,解得 a=-2 或 a=1. a 5.[2013· 郑州模拟]已知直线 l1 的方向向量为 a=(1,3) ,直线 l2 的方向向量为 b=(-1,k) .若直线 l2 经过点(0,5)且 l1⊥l2,则直线 l2 的方程为( ) A. x+3y-5=0 B. x+3y-15=0 C. x-3y+5=0 D. x-3y+15=0 答案:B 解析:检验法,将(0,5)代入选项,排除 A、C; 又 l2 的方向向量为 b=(-1,k) ,l1 的方向向量为 a=(1,3)且 l1⊥l2, 1 3 1 1 ∴有(-1)× 1+3k=0,即 k= .∴l2 的斜率为 =- .因此选项 B 正确. 3 3 -1

【限时规范特训】05
(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1.[2013· 保定模拟]已知直线 l1:y=x,若直线 l2⊥l1,则直线 l2 的倾斜角为( ) π π 3π 3π A. B.kπ+ (k∈Z) C. D.kπ+ (k∈Z) 4 4 4 4 答案:C 3 解析:∵l1⊥l2,∴k2=-1.故倾斜角为 π. 4 3π 2.[2013· 东北三校联考]经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y=( ) 4 A.-1 B.-3 C.0 D.2 答案:B 2y+1-- 2y+4 3π 解析:由 = =y+2,得 y+2=tan =-1.∴y=-3. 2 4 4-2 2 3.[2013· 孝感统考]直线 x+a y-a=0(a>0,a 是常数),当此直线在 x,y 轴上的截距之和最小时,a 的值 是( ) A.1 B.2 C. 2 D.0 答案:A x y 1 1 解析:方程可化为 + =1,因为 a>0,所以截距之和 t=a+ ≥2,当且仅当 a= ,即 a=1 时取等号. a 1 a a a 4.不论 m 为何实数,直线 3(m-1)x+2(m+1)y-12=0 恒过定点( ) 1 A. (1,- ) B. (2,3) C. (-2,3) D. (2,0) 2 答案:C 解析:解法一:原方程化为(3x+2y)m+(-3x+2y-12)=0, ? ?3x+2y=0 ∵恒成立,∴? ,解得 x=-2,y=3.∴直线恒过定点(-2,3). ?-3x+2y-12=0 ? 解法二:令 m=1,得 4y-12=0,令 m=-1,得-6x-12=0, ∴x=-2,y=3,代入方程成立.∴直线恒过(-2,3)点.故应选 C. 5.[2013· 合肥质检]直线 x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( ) π 3π π π π π 3π A.[0, ] B.[ ,π) C.[0, ]∪( ,π) D.[ , )∪[ ,π) 4 4 4 2 4 2 4 答案:B 1 3π 解析:斜率 k=- 2 ,故 k∈[-1,0),由正切函数图象知倾斜角 α∈[ ,π). 4 a +1 6.[2013· 太原模考]设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为
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x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( ) A. x+y-5=0 B. 2x-y-1=0 C. x-2y+4=0 D. x+y-7=0 答案:D 解析:由|PA|=|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上.由点 P 的横坐标为 3,且 PA 的方程为 x-y+1=0,得 P(3,4).直线 PA、PB 关于直线 x=3 对称,直线 PA 上的点(0,1)关于直线 x=3 的对称点(6,1)在直线 PB 上, ∴直线 PB 的方程为 x+y-7=0. 二、填空题 7.[2013· 常州模拟]过点 P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为________. 答案:x+y-1=0 或 3x+2y=0 3 3 解析:分两种情况:(1)直线 l 过原点时,l 的斜率为- ,∴直线方程为 y=- x;(2)l 不过原点时, 2 2 x y 设方程为 + =1,将 x=-2,y=3 代入得 a=1,∴直线方程为 x+y=1. a a 综上:l 的方程为 x+y-1=0 或 2y+3x=0. 8.经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1 的直线 l 的方程为________. 答案:2x+y+2=0 或 x+2y-2=0 2 2 - + =1, ? ? a b ?a=-1 ?a=2, x y 解析:设所求直线方程为 + =1,由已知可得 解得? 或? , a b 1 ?b=-2 ?b=1. ? ? |a||b|=1, 2

? ? ?

∴2x+y+2=0 或 x+2y-2=0 为所求. 9.[2013· 苏州模拟]直线 xcosθ+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. π 5 答案:[0, ]∪[ π,π) 6 6 3 3 3 3 解析:由题知 k=- cosθ,故 k∈[- , ],结合正切函数的图象,当 k∈[0, ]时,直线倾斜角 3 3 3 3 π 3 5 π 5 α∈[0, ],当 k∈[- ,0)时,直线倾斜角 α∈[ π,π),故直线的倾斜角的范围是[0, ]∪[ π,π). 6 3 6 6 6 三、解答题 10.[2013· 宁夏银川]设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0, a-2 ∴ =a-2,即 a+1=1. ∴a=0,方程即为 x+y+2=0. a+1 (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ? ? , ?-a+ ?-a+ =0, ∴? 或? ∴a≤-1. ?a-2≤0 ?a-2≤0, ? ? 综上可知 a 的取值范围是 a≤-1. 11.△ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边上的垂直平分线 DE 的方程. 解析:结合所给条件,选择恰当的直线方程并求解. y-1 x-2 解:(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 的方程为 = , 即 x+2y-4=0. 3-1 -2-2 2-2 1+3 (2)设 BC 中点 D 的坐标(x,y),则 x= =0,y= =2. 2 2 x y BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1,即 2x-3y+6=0. -3 2
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1 (3)BC 的斜率 k1=- ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2,由斜截式得直线 DE 的方程为 y=2x+2. 2 12.[2013· 湖南四市联考]过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|, 求直线 l 的方程. 解:当 k 不存在时 B(3,0),C(3,6).此时|BC|=6,|AB|=1,|BC|≠2|AB|. ∴直线 l 的斜率存在. ∴设直线 l 的方程为 y+1=k(x-3). 1 令 y=0,得 B(3+ ,0). k ?y=2x, ? 1+3k 由? 得 C 点横坐标 xC= . k-2 ?y+1=kx- , ? 若|BC|=2|AB|,则|xB-xC|=2|xA-xB|. 1+3k 1 1 ∴| - -3|=2| |. k k-2 k 1+3k 1 2 1+3k 1 2 ∴ - -3= 或 - -3=- , k k-2 k k k-2 k 3 1 解得 k=- 或 k= . 2 4 ∴所求直线 l 的方程为:3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0.

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