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排列-第一课时



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引例1 从一个班的甲、乙、丙3名同学 中选出2名,1名担任班长,1名担任副班长 , 则共有多少种不同的选法?

引例1:从一个班的甲、乙、丙3名同学中选出2名,1名担任班长, 另一名担任副班长,共有多少种不同的选法?

法一:分步计数原理

法二:列举法 班长 副班长

相应排法

3

2

6



甲乙 甲丙 乙甲 乙丙



丙 甲



丙 甲

丙甲
丙乙





引例2:从A,B,C,D这4个字母中,每次取出3 个,再按照由左向右的顺序排成一列,共有多少 种不同的排法?
法一:分步计数原理
2

4

3

24

引例2:从A,B,C,D这4个字母中,每次取出3 个,再按照由左向右的顺序排成一列,共有多少 种不同的排法?
解:法二:列举法 左边 A 中间 B A C D C A B D D A B C

B C D

右边 C D B D B C C D A D A CB DA D ABB CA C AB ABC BAC CAB DAD ABD BAD CAD DAC ACB BCA CBA DBA ACD BCD CBD DBC ADB BDA CDA DCA ADC BDC CDB DCB

问题1
从3 个不 同元素中 取出2个 元素 , 按照一定 的顺序排 成一列。

问题2
从4个不 同元素中 取出3个 元素 , 按照一定 的顺序排 成一列。

从n个不同元素中每次取出若干个不同的 元素,按照一定的顺序排成一列。

一:排列的定义:
一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列。

两个排列相同,必 须满足什么条件?
①包含的元素相同 ②元素的顺序相同

排列的定义:
一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列。

牛刀小试

判断下列问题是否是排列问题?
(1)从6名同学中选出4名去天安门参观。

(2)从6名同学中选出4名分别担任语、数、外、体育课 代表。 (3)由1,2,3,4,5五个数字组成三位数;

华山论剑 判断下列问题是否是排列问题?
(1)由1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的三位数,总

是 是 不是

共有多少个?

(2)从2,3,5,7,11,13中任取两个数求商,总共有多少种 情况?
(3)从2,3,5,7,11,13中任取两个数求积,总共有多少种 情况? 是 (4)有12个车站,共需要准备多少种车票? (5)有12个车站,共需要多少种不同的票价?
不是

二.排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排 m A 列数. 用符号 n 表示

A3 =3×2=6; 引例1:
3 A 引例2: 4 =4×3×2=24。

2

那么: A

2 =? n

A

3 n

=?

A

2 n 表示什么意义?

第一步共有n种方法

第二步共有n-1种方法
2 n=

总共有 A
第一步共有n种方法

n(n-1) 种方法

第二步共有n-1种方法

第三步共有n-2种方法 总共有 A = n(n-1)(n-2) 种方 法
3 n

三.排列数公式(难点)
m An

? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? m ? 1)
? ?

(其中m ? n,m ? N ,n ? N )
…… n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

n (n-1) (n-2) … (n-m+1)种

m An

? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? m ? 1)
? ?

(其中m ? n,m ? N ,n ? N )
特点:

1、公式右边是乘积的结构,且每一个因数都比前一个 因数少1; m 2、公式右边最大的因数是n,即 An 的下标;

m 3、公式右边相乘的因数共有m个,即 An 的上标; m 4、最后一个因数是n-m+1,即 An 的“下标-上标+1”

排列:一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数, m A 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数. 用符号 n 表示

A ? n(n ? 1)
2 n

A ? n(n ? 1)(n ? 2)
3 n

A
Especially:

m n 1 n

? n(n ? 1)(n ? 2)......(n ? (m ? 1))

A ?n A ? n(n ? 1)(n ? 2)...... ? 2 ?1 ? n !
n n

全排列 数:

阶乘

排列数:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数, m 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数.用符号 An 表示 排列数公式:

A

m n

? n(n ? 1)(n ? 2)......(n ? m ? 1)

A ? n(n ? 1)
2 n

A ? n(n ? 1)(n ? 2)
3 n

A
Especially:

m n 1 n

? n(n ? 1)(n ? 2)......(n ? (m ? 1))

A ?n A ? n(n ? 1)(n ? 2)...... ? 2 ?1 ? n !
n n

全排列 数:

阶乘

公式运用:
2 1、计算:5 A5 +2 A8 4

? ? N ,且n ? 20,则式子 ?20 - n ??21- n ??22 - n ?? ? ? ?30 - n ? 2、若n

可表示为( ) 10 11 10 A A. A( 20 ? n ) B. A( 20 ? n ) C. (30?n )
4 x A ? A 3、求 ( 2 x ?1) 3 的值

10 A D. (30 ? n )

兴义 威舍
2 n

威舍 兴义
2 17车票。

解:设:现有n个车站,则现有车票 A 种,原有A
2 2 A 根据题意: 17- A n =62

17×16-n(n-1)=62 n=-14(舍), n=15
∴现有15个车站

小结
两个概念: 排列 排列数
m 一个公式:An ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? m ? 1)

(其中m ? n,m ? N ,n ? N )

?

?

布置作业
1
5 A5 、计算:(1)
3
1 2 3 2 A ? A ? A ? 4 A4 ( 2) 4 4 4

2 、有4个男生和3个女生排成一排,男甲不在排头, 女乙不在排尾,共有多少种不同排法?



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