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小班讲义高一物理第7讲动态平衡和平衡中的临界、极值问题



龙 文
讲义编号 2013 秋季





精品小班课程辅导讲义

辅导科目:

物理

年级:

高一





第 7 讲:动态平衡和平衡中的临界、极值问题

教学目标

教学重点、难点

教学内容 一、平衡物体的动态问题 (1)动态平衡: 指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。 在这个过程中物体始终 处于一系列平衡状态中。 (2)动态平衡特征: 一般为三力作用, 其中一个力的大小和方向均不变化,一个力的大小变化而 方向不变,另一个力的大小和方向均变化。 (3)平衡物体动态问题分析方法: 解动态问题的关键是抓住不变量,依据不变的量来确定其他量的变化规律, 常用的分析方法有解析法和图解法。 晶品质心_新浪博客 解析法的基本程序是: 对研究对象的任一状态进行受力分析, 建立平衡方程, 求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式, 然后根据自变量的变化情况及 变化区间确定应变物理量的变化情况。 图解法的基本程序是: 对研究对象的状态变化过程中的若干状态进行受力分 析, 依据某一参量的变化(一般为某一角),在同一图中作出物体在若干状态下的 平衡力图(力的平形四边形或三角形), 再由动态的力的平行四边形或三角形的边 的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。 二、物体平衡中的临界和极值问题 1、临界问题: (1)平衡物体的临界状态:物体的平衡状态将要变化的状态。 物理系统由于某些原因而发生突变(从一种物理现象转变为另一种物理现 象, 或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态)时所处的状态,叫临界状态。 临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。 (2)临界条件:涉及物体临界状态的问题,解决时一定要注意“恰好出现” 或“恰好不出现”等临界条件。 平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法,即先假设怎样,然 后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。 解决这类问题关键是要注意“恰好出 现”或“恰好不出现”。 2、极值问题: 极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值。 平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 【重点精析】 一、动态分析问题 【例 1】如图所示,轻绳的两端分别系在圆环 A 和小球 B 上,圆环 A 套在粗 糙的水平直杆 MN 上。现用水平力 F 拉着绳子上的一点 O,使 小球 B 从图中实线位置缓慢上升到虚线位置,但圆环 A 始终 保持在原位置不动。则在这一过程中,环对杆的摩擦力 Ff 和 环对杆的压力 FN 的变化情况是( ) A、Ff 不变,FN 不变 B、Ff 增大,FN 不变 C、Ff 增大,FN 减小 D、Ff 不变,FN 减小 【解析】以结点 O 为研究对象进行受力分析如图(a)。 由题可知,O 点处于动态平衡,则可作出三力的平衡关系图如图(a)。
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由图可知水平拉力增大。

以环、绳和小球构成的整体作为研究对象,作受力分析图如图(b)。 由整个系统平衡可知:FN=(mA+mB)g;Ff=F。 即 Ff 增大,FN 不变,故 B 正确。 【答案】B 【方法提炼】动态平衡问题的处理方法 所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化, 而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。

(1)图解分析法 对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析, 依据某一参量的变 化, 在同一图中作出物体在若干状态下力的平衡图(力的平行四边形),再由动态 力的平行四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。 动态平衡中各力的变化情况是一种常见题型。总结其特点有:合力大小和方 向都不变; 一个分力的方向不变,分析另一个分力方向变化时两个分力大小的变 化情况。用图解法具有简单、直观的优点。 (2)相似三角形法 对受三力作用而平衡的物体,先正确分析物体的受力,画出受力分析图,再 寻找与力的三角形相似的几何三角形,利用相似三角形的性质,建立比例关系, 把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。 (3)解析法 根据物体的平衡条件列方程, 在解方程时采用数学知识讨论某物理量随变量 的变化关系。 【例 2】如图所示,一个重为 G 的匀质球放在光滑斜面上, 斜面倾角为 α .在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球,使 之处于静止状态,今使木板与斜面的夹角 β 缓慢增大至水平, 在这个过程中,球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化?

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【方法提炼】从分析可以看出,解析法严谨,但演算较繁杂,多用于定量分析。图解法 直 观 、 鲜 明 , 多 用 于 定 性 分 析 。

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【方法提炼】处理平衡物理中的临界问题和极值问题,首先仍要正确 受力分析,搞清临界条件并且要利用好临界条件,列出平衡方程,对于分 析极值问题,要善于选择物理方法和数学方法,做到数理的巧妙结合。对

于不能确定的临界状态,我们采取的基本思维方法是假设推理法,即先假设为某状态,然后 再根据平衡条件及有关知识列方程求解。 晶品质心_新浪博客 【例 6】如图所示,用绳 AC 和 BC 吊起一重物,绳与竖直方向夹角分别为 30° 和 60° , AC 绳能承受的最大拉力为 150N,而 BC 绳能承受的最大的拉力为 100N,求物体最大重力 不能超过多少?

【方法提炼】思考物理问题不能想当然,要根据题设情景和条件综合分析,找出研究对 象之间的关系,联系起来考虑。 晶品质心_新浪博客

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3

次课后作业 学生姓名:

1、如图所示,AC 是上端带定滑轮的固定竖直杆,质量不计的轻杆 BC 一端通过 铰链固定在 C 点, 另一端 B 悬挂一重为 G 的重物,且 B 端系有一根轻绳并绕过定 滑轮 A,用力 F 拉绳,开始时∠BCA>90°。现使∠BCA 缓慢变小,直到杆 BC 接 近竖直杆 AC。此过程中,杆 BC 所受的力( ) A、大小不变 B、逐渐增大 C、先减小后增大 D、先增大后减小

答案:A 2、细线 AO 和 BO 下端系一个物体 P,细线长 AO>BO,A、B 两个端点在同一 水平线上。开始时两线刚好绷直,BO 线处于竖直方向,如图所示,细线 AO、BO 的拉力设为 FA 和 FB,保持端点 A、B 在同一水平线上,A 点不动,B 点向右移动, 使 A、B 逐渐远离的过程中,物体 P 静止不动,关于细线的拉力 FA 和 FB 的大小随 AB 间距离变化的情况是( ) A、FA 随距离增大而一直增大 B、FA 随距离增大而一直减小 C、FB 随距离增大而一直增大 D、FB 随距离增大而一直减小 解析:A 点不动,即 FA 的方向不变,B 向右移,FB 的大小方向都发生变化, 以 O 点为研究对象,由平衡知识,通过作平行四边形可知 FA 一直增大,FB 先减 小后增大,所以 A 正确。 答案:A 3、如图所示,木棒 AB 可绕 B 点在竖直平面内转动,A 端被绕过定滑轮吊有 重物的水平绳和绳 AC 拉住,使棒与地面垂直,棒和绳的质量及绳与滑轮的摩擦 均可忽略, 如果把 C 端拉至离 B 端的水平距离远一些的 C′点, AB 仍沿竖直方向, 装置仍然平衡,那么 AC 绳受的张力 F1 和棒受的压力 F2 的变化是( ) A、F1 和 F2 均增大 B、F1 增大,F2 减小 C、F1 减小,F2 增大 D、F1 和 F2 均减小

答案:D
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4、 如图所示, 用绳 OA、 OB 和 OC 吊着重物 P 处于静止状态, 其中绳 OA 水平, 绳 OB 与水平方向成 θ 角.现用水平向右的力 F 缓慢地将重物 P 拉起,用 FA 和 FB 分别表示绳 OA 和绳 OB 的张力,则( ) A.FA、FB、F 均增大 B.FA 增大,FB 不变,F 增大 C.FA 不变,FB 减小,F 增大 D.FA 增大,FB 减小,F 减小 解析:把 OA、OB 和 OC 三根绳和重物 P 看作一个整体,整体受到重力 mg, A 点的拉力 FA,方向沿着 OA 绳水平向左,B 点的 拉力 FB,方 向沿着 OB 绳斜向右上方, 水平向右的拉力 F 而处 于平衡状态, 有:FA=F+FBcosθ,FBsinθ=mg, 因为θ 不变,所以 FB 不变. 再以 O 点进行研究,O 点受到 OA 绳的拉力,方向不变, 沿着 OA 绳水 平向左,OB 绳的拉力,大小和方向都不变,OC 绳的拉力, 大 小和方向都可以变化,O 点处于平衡状态,因此这三个力构成一个封闭的矢量三 角形(如图), 刚开始 FC 由竖直方向逆时针旋转到图中的虚线位置, 因此 FA 和 FC 同时增大, 又 FA=F+FBcosθ,FB 不变,所以 F 增大,所以 B 正确. 答案:B 5、如图所示,水平横杆上套有两个质量均为 m 的铁环,在铁环上系有等长 的细绳,共同拴着质量为 M 的小球.两铁环与小球均保持静止,现使两铁环间距 离增大少许, 系统仍保持静止, 则水平横杆对铁环的支持力 FN 和摩擦力 Ff 将( ) A.FN 增大 B.Ff 增大 C.FN 不变 D.Ff 减小 解析:本题考查受力分析及整体法和隔离体法. 以两环和小球整体为研究对象,在竖直方向始终有 FN=Mg+2mg,选项 C 对 A 错; 设绳子与水平横杆间的夹角为θ,设绳子拉力为 T, 以小球为研究对象,竖直方向有,2Tsinθ=Mg, 以小环为研究对象,水平方向有,Ff=Tcosθ, 由以上两式联立解得 Ff=(Mgcotθ)/2, 当两环间距离增大时,θ角变小,则 Ff 增大,选项 B 对 D 错. 答案:BC 6、如图所示,光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物 体 A,A 与墙面之间放一光滑的圆柱形物体 B,对 A 施加一水 平向左的力 F, 整个装置保持静止. 若将 A 的位置向左移动稍 许,整个装置仍保持平衡,则( ) A.水平外力 F 增大 B.墙对 B 的作用力减小 C.地面对 A 的支持力减小 D.B 对 A 的作用力减小 解析:受力分析如图所示,A 的位置左移,θ角减小, FN1=Gtanθ,FN1 减小,B 项正确;FN=G/cosθ,FN 减小, D 项正确;以 AB 为一个整体受力分析,FN1=F,所以水平
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外力减小,A 项错误;地面对 A 的作用力等于两个物体的重力,所以该力不变, C 项错误.本题难度中等. 答案:BD 7、木箱重为 G,与地面间的动摩擦因数为 μ ,用斜向上的力 F 拉木箱,使 之沿水平地面匀速前进,如图所示。问角 α 为何值时拉力 F 最小?这个最小值 为多大?

8、如图所示,在质量为 1kg 的重物上系着一条长 30cm 的细绳,细绳的另一 端连着套在水平棒上可以滑动的圆环,环与棒间的动摩擦因数为 0.75,另有一 条细绳,其一端跨过定滑轮,定滑轮固定在距离圆环 0.5m 的地方.当细绳的端 点挂上重物 G,而圆环将要滑动时,试问: (1)长为 30cm 的细绳的张力是多少? (2)圆环将要开始滑动时,重物 G 的质量是多少? (3)角 φ 多大?(环的重力忽略不计) 解析:因为圆环将要开始滑动,所以可以判定本题是 在 共点力作用下物体的平衡问题. 由平衡条件 Fx=0,Fy=0, 建立方程有:μFN-FTcosθ=0,FN-FTsinθ=0。 所以 tanθ=1/μ,θ=arctan(1/μ)=arctan(4/3). 设想:过 O 作 OA 的垂线与杆交于 B′点,由 AO=30cm,tanθ=4/3 得,B′ O 的长为 40cm. 在直角三角形中,由三角形的边长条件得 AB′=50cm,但据题设条件 AB= 50cm,故 B′点与定滑轮的固定处 B 点重合,即得φ=90°。 (1)如图所示,选取坐标系,根据平衡条件有: Gcosθ+FTsinθ-mg=0 FTcosθ-Gsinθ=0.
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即 FT=8N. (2)圆环将要滑动时,得: mGg=FTcotθ,mG=0.6kg. (3)前已证明φ为直角,故φ=90°. 答案:(1)8N;(2)0.6kg;(3)90°。 9、如图所示,一根弹性细绳原长为 l,劲度系数为 k,将其一端穿过一个光 滑小孔 O(其在水平地面上的投影点为 O′),系在一个质量 为 m 的滑块 A 上,A 放在水平地面上.小孔 O 离绳固定端的 竖直距离为 l,离水平地面高度为 h(h<mg/k),滑块 A 与水 平地面间的最大静摩擦力为正压力的 μ 倍.问: (1)当滑块与 O′点距离为 r 时,弹性细绳对滑块 A 的 拉力为多大? (2)滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态?

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