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江西省临川一中、玉山一中等九校2016届高三3月联考 数学理



★启用前绝密(3 月 19 日)

2016 年江西省

分宜中学 玉山一中 临川一中 南城一中 南康中学 高安中学 彭泽一中 泰和中学 樟树中学

高三联合考试

数学试卷(理科)
命题:泰和中学、高安中学、分宜中学 注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分

150 分.考试时间为 120 分钟. 2、本试卷分试题卷和答题卷,第Ⅰ卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内,做在 第Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 Z ?

2?i 的共轭复数对应的点在复平面内位于( 1? i

) )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N =3,则输出i =( A.6 B.7 C.8 D.9 3.设集合 A ? {x |

则 A ? ?CR B? 等于( A. ( 3,2) C. (0, 3 )
2

2 ? 1}, B ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? A} , x
) B. [ 3,2) D. (0,2)

4.函数 y ? sin x 的图像的一个对称中心为( ) A. (0, 0) C. ( B. (

?
4

, 0) ,1)

? 1

, ) 4 2

D. (

?
2

5. 棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体 的体积是( ) 14 A. B.4 3 10 C. D.3 3 6、在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点, 则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N( - 1,1) 的 密度曲线) 的点的个数的估计值为 ( ) A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413

·1·

附:若X ? (? , ? 2 ),则P(? -? ? X ? ? ? ? )=0.6826
7. 已知数列 ?an ? 是等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,若 a1 ? a6 ? a11 ? ?3 3, b1 ? b6 ? b11 ? 7? , 则 b ? b9 的值是( ) tan 3 1 ? a4 ? a8

P(? -2? ? X ? ? ? 2? )=0.9544

2 D. ? 3 2 ?x ? y ? 4 ? 0 y2 ? 8.已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最大值是( x ?x ?1 ? 0 ?
A.1 B. C. ? A.

2 2



9、在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若cos 2B+cosB= 1-cos AcosC 则( ) A、a,b,c 成等差数列 B、a,b,c 成等比数列 C、a,2b,3c 成等差数列 D、a,2b,3c 成等比数列 10.某高中数学老师从一张测试卷的 12 道选择题、4 道填空题、6 道解答题中任取 3 道题作分析,则 在取到选择题时解答题也取到的概率为( )
1 1 1 C12 ? C6 ? C20 A. 3 3 C22 ? C10 1 1 1 2 2 1 C12 ? (C6 ? C4 ? C6 ) ? C12 ? C6 C. 3 3 C22 ? C10 1 1 1 1 2 C12 ? C6 ? C4 ? C12 ? C6 B. 3 3 C22 ? C10 3 3 3 C22 ? C10 ? C16 D. 3 3 C22 ? C10

1 3

B. 1

C. 3

D. 9

11.双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2 ,则双曲线的离心率是( A. )

x2 y2 a b

3? 5 3? 5 5 ?1 5 ?1 B. C. D. 2 2 2 2 2 2 x )x? 12.已知 f ( x) ?| x ? e | ,又 gf( x( 若满足 ) ?ftf ( (x x) )? ?tf 1? (x 0 )? ? t1 ? ? R 0 R? g ( x) ? ?1 的 x 有四个,则 t 的取 ??t ?
, 值范围为( A. ? ??, ? )

? ?

e2 ? 1 e2 ? 1 ? ( , ??) B . ? e e ?

C. ? ?

? e2 ? 1 ? , ?2 ? e ? ?

D. ? 2,

? ?

e2 ? 1 ? ? e ?

第 II 卷(非选择题共 90 分,其中 22-24 题三选一)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

2 2 )( x ? ) n 的展开式中各项系数和为_________. x x ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 14.正 ?ABC 中, AB 在 BC 方向上的投影为 ?1 ,且 AD ? 2DC ,则 BD ? AC ? ________.
13.设 n ? ? 2 4 sin xdx ,则 ( x ?
0

?

15.已知 P,A,B,C 是球 O 球面上的四点, ?ABC 是正三角形,三棱锥 P ? ABC 的体积为

?APO ? ?BPO ? ?CPO ? 30? ,则球 O 的表面积为______________.
·2·

9 3 ,且 4

16、下列说法中所有正确的序号是________ ①、 " p ? q "为真的一个必要不充分条件是" p ? q "为真. ②、若 p :

1 1 ? 0, 则?p : ? 0. x x

1 ? a ? b ? 1. 2 2 2n ④、数列 { n }(n ? N * ) 的最大项为 . 2 9 (2 ? 1)
③、 若实数a, b满足 a ? b ? 1, 则 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,且满足 an ? Sn ? 2n ? 1 . (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)求证:

1 1 1 1 ? 2 ??? n ? . 2a1a2 2 a2a3 2 an an?1 3

18. (本小题满分 12 分) 已知正方形 ?? CD 的边长为 2 , ? 、 F 、 G 、 ? 分别是边 ?? 、 ? C 、 CD 、 D? 的中点.

(1)在正方形 ?? CD 内部随机取一点 ? ,求满足 PE ? 1 的概率; (2)从 ? 、 ? 、 C 、 D 、 ? 、 F 、 G 、 ? 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离的平方为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 ?? .

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的等边三角形,过 AC 平行 1 作平面 ACD 1 于 BC1 ,交 AB 于 D 点, (Ⅰ)求证: CD ? AB (Ⅱ)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A 1 D 与平面 CBB 1C1 所成角的正弦值。 1D ? 5 ,求直线 A
A A1

D C C1

20. (本小题满分 12 分) B B1 已知顶点为原点 O,焦点在 x 轴上的抛物线,其内接 ?ABC 的重心是焦点 F,若直线 BC 的方程为 4 x ? y ? 20 ? 0 。 (1)求抛物线方程; (2)过抛物线上一动点 M 作抛物线切线 l ,又 MN ? l 且交抛物线于另一点 N, ME(E 在 M 的右侧)平行于 x 轴,若 ?FMN ? ??NME ,求 ? 的值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? x ( x ? R) , g ( x) 满足 g ?( x) ?
3 2

a (a ? R,x >0) ,且 g (e) ? a , e 为自然对数 x

·3·

的底数. (Ⅰ)已知 h( x) ? e1? x f ( x) ,求 h( x) 在 (1, h(1)) 处的切线方程; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 , O 为坐标原点,若对于 y ? F ( x) 在 x ? ?1 时的图象上的任一点 ? g ( x), x ? 1 ??? ? ???? P ,在曲线 y ? F ( x) ( x ? R) 上总存在一点 Q ,使得 OP ? OQ ? 0 ,且 PQ 的中点在 y 轴上,求 a 的

取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题 号. 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 B D ︵ 如图所示, AC 为⊙O 的直径, D 为 BC 的中点, E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; E (Ⅱ)求证:AC·BC=2AD·CD.
A

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

O

C

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ? (I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;
(II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 ,设点 P 2 2

是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值. 24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | (I)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 (II)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? f (2a) ? af ( x)

2016 年江西省九校高三联合考试数学试卷答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 15、 16? 5 B 6 B 7 D 8 D 9 B 10 C 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13、3 14、

2 3

16、①③④

三、解答题 17、解析: (1)∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,令 n ? 1 ,得 2a1 ? 3 , a1 ?
·4·

3 .----2 分 2

∵ an ? Sn ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? Sn?1 ? 2(n ? 1) ? 1, (n ? 2, n ? N * ) 两式相减,得 2an ? an?1 ? 2 ,整理 an ?

1 an?1 ? 1 ---------------------4 分 2

1 an ? 2 ? (an?1 ? 2) , (n ? 2) 2
∴数列 {an ? 2} 是首项为 a1 ? 2 ? ?
n ∴ an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ?

1 1 ,公比为 的等比数列 2 2

1 .------------------------------6 分 2n 1 1 2n?1 1 1 (2)∵ n --8 分 ? ? ? n?1 ? n?2 n ?1 n? 2 n?1 n?2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 2 an an?1 n 2 2 ? ? n?1 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( 2 ? 3 )?( 3 ? 4 ) ? ? ? ( n?1 ? n?2 ) ? ? 2 ??? n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1 1 1 1 ? ? n?2 ? .------------------------------12 分 3 2 ?1 3 18、解: (1)这是一个几何概型,点 ? 构成的区域是正方形 ?? CD 的内部, S ? 2 ? 2 ? 4 .满 足 PE ? 1 的点 ? 构成的平面区域是以 ? 为圆心,1 为半径的圆的内部与正方形 ?? CD 内部的公

1 2

? .----- 4 分 2 8 2 (2)从 ? 、 ? 、 C 、 D 、 ? 、 F 、 G 、 ? 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 C8 ? 28 条
共部分, S ? .所以 PE ? 1 的概率为 不同的线段,其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长 度为 5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条. 所以 ? 所有可能的取值为 1 , 2 , 4 , 5 , 8 ,------------6 分

?

8 2 4 1 ? , ? ?? ? 2 ? ? ? , 28 7 28 7 6 3 8 2 2 1 ? ?? ? 4 ? ? ? , ? ?? ? 5 ? ? ? , ? ?? ? 8 ? ? ? .--------10 分 28 14 28 7 28 14 所以随机变量 ? 的分布列为: 1 2 4 ? 5 8 ? 2 1 3 2 1 7 7 14 7 14 2 1 3 2 1 24 ? 随机变量 ? 的数学期望为 ?? ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 8 ? --12 分 7 7 14 7 14 7
且 ? ?? ? 1? ?
19.(I)证:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵BC1∥平面 A1CD, DE ? 平面ACD ? 平面ABC1 1 ∴DE∥BC1,------------------4 分 ∴ D 为 AB 的中点, 又∵ ?ABC为正? ,∴ CD ? AB --------------------------6 分
2 (II)? AD2 +A =A1D2 1A = 5

A

A1 E C C1

D

B1 B 分 ? A1 A ? AD -------------------------------7
·5·

又 B1B ? BC, B1B ∥ A 1A

? A1 A ? BC , 又 AD ? BC ? B ? A1 A ? 平面ABC ----------------------------------8 分 法一:设 BC 的中点为 O, B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴,OO1 所在的直线 为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .------------------9 分
1 3 则 A1 0, 2, 3 , D( , 0, ). 2 2

(

)

z A A1

???? ? ∴ A1D ? ( 1 ,?2,? 3 ),--------------------10 分 2 2
?????? ??? ???? ? ? | A1 D ? n | 15 ??? ? | cos ? A1 D,n ?|? ?????? . 10 | A1 D | ? | n |

? 平面 CBB1C1 的一个法向量 n = (0,0,1),

D
O

C
O1

C1 y

x

B

B1

15 .---------------------------12 分 10 【法二:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 ------------------------7 分 A A1 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H D ? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 面 BCC1B1 ------9 分 C1 C F ,连结 FH , 延长 A H 1B 相交于点 1D 、 B B F B1 则 ?A 1FH 为直线 A 1 所成的角. ----------------------------10 分 1 D 与平面 BCC1B
所以直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为 因为 D 为 AB 的中点,故 A 1F ? 2 5 ,又 A 1H ? 3

?sin ?A1FH ?

3 15 ? 2 5 10

15 .-----------------------12 分】 10 【法三:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 ------------------------7 分
即直线 A 1 所成的角的正弦值为 1 D 与平面 BCC1B ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 平面 BCC1B1 -----------------------------------9 分 MN ? 平面 BCC1B1 , 取 A1B1 中点 M,连结 BM,过点 M 作 MN / / A 1H ,则 连结 BN,∵ A A A1 1 D / / BM , ∴ ?MBN 为直线 A 与平面 所成的角, ---10 分 BCC B D 1 1 1 1 M D AH MN 2 1 3 15 ? ? ? C ∵ sin ?MBN ? , BM A1 D 2 5 10 H
N

C1

B 15 B1 即直线 A .-----------------------12 分】 1 所成的角的正弦值为 1 D 与平面 BCC1B 10 p 2 20、解: (1)设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则其焦点为 ( ,0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) , 2

·6·

联立 ?

?4 x ? y ? 20 ? 0
2

? y ? 2 px p ? 80 ∴ x 2 ? x3 ? , 8

? 8 x 2 ? ( p ? 80) x ? 200 ? 0 ,

y 2 ? y 3 ? 20 ? 4 x1 ? 20 ? 4 x 2 ? ?
又 ?ABC 的重心为焦点 F

p , 2

11p ? 80 ? p x1 ? x 2 ? x3 ? ? x1 ? ? ?2 3 8 ?? ………3 分 ?0 ? y1 ? y 2 ? y 3 ? y ? p 1 ? 3 2 ? 代入抛物线中,解得 p ? 8
故抛物线方程为 y 2 ? 16x ………6 分 (2)设 M ( x0 , y0 ) ,即切线 l : y 0 y ? 8( x ? x0 ) ? k MN ? ? 即 tan ?NME ? ? k MN ? 又 tan?FME ? ?k MF ∵
2

y0 ,………7 分 8

y0 , 8 y ? ? 0 ,………8 分 x0 ? 4

y0 8 ? 16 y 0 ? y 0 ? t an?FME ? ?FME ? 2?NME ,……11 分 t an 2?NME ? 2 2 4 ? x0 y 64 ? y 0 1? 0 64

即 ? ? 1 。………12 分

? h(1) ? 0 ,h?(1) ? ?1 。 21、 解: (1) ? h( x) ? (? x ? x )e ,h?( x) ? ( x ? 4x ? 2x)e , ? h( x ) 在 (1, h(1)) 处的切线方程为: y ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 1 ………… 5 分
3 2 1? x 3 2 1? x

(2)? g ?( x) ?

而 g ( x) ? a ln x ,………… 6 分

a (a ? R,x >0) ,? g ( x) ? a ln x ? c ,? g (e) ? a ln e ? c ? a ? c ? a ? c ? 0 ,从 x

?Q 设 P(t , F (t )) 为 y ? F ( x) 在 x ? ?1 时的图象上的任意一点, 则 t ? ?1 , ? PQ 的中点在 y 轴上,

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? OQ ? ?t 2 ? at 2 (t ?1)ln(?t ) .由于 OP ? OQ ? 0 ,所以 a(1 ? t ) ln(?t ) ? 1 . ………… 8 分 当 t ? ?1 时, a(1 ? t ) ln(?t ) ? 1 恒成立,? a ? R ;………… 9 分 1 1 (t ? 1) ? t ln(?t ) (t ? ?1) ,则 ? ?(t ) ? 当 t ? ?1 时, a ? ,令 ? (t ) ? (1 ? t ) ln(?t ) t[(1 ? t ) ln(?t )]2 (1 ? t ) ln(?t ) 1 ? t ? ?1 ,?t ? 1 ? 0, t ln(?t ) ? 0 ,?? ?(t ) ? 0 ,从而 ? (t ) ? 在 (??, ?1) 上为增函数, (1 ? t ) ln(?t ) 1 ?? (t ) ? 0 , ? (t ) ? ?0, 由于 t ??? 时, ………… 11 分 (1 ? t ) ln(?t ) B ? a ? 0 ……12 分
·7·
E A O C D

的坐标为 (?t , F (?t )) ,? t ? ?1 ,??t ? 1 ,所以 P(t , ?t ? t ) , Q(?t , a ln(?t )) ,
3 2

︵ 22.(Ⅰ)连接 OE,因为 D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点, 所以 OED 三点共线.………………………… …2 分 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB.………………………… …5 分 ︵ (Ⅱ)因为 D 为 BC 的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB?∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD.………… …8 分

AC AD AD·CD=AC·CE ? 2AD·CD=AC·2CE CD CE ? 2AD·CD=AC·BC.……………………………10 分
? = ? 23、解: (I) ? 的普通方程为 y ?

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 联立方程组

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . … …5 分 ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?
? ?x? (II)C2 的参数方程为 ? ? ?y ? ? ? 1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从而点 P 到直 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 2 2 3 sin ? . 2

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? ? 2 2 线 ? 的距离是 d ? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ,由此当 sin(? ? ) ? ?1 2 4 4 4 6 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) .……… …10 分 4 24.解:(I)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 --------------------------------------1 分 1 当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即 ? x ? 1 ;----------------------------2 分 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ;-----------------------------3 分 5 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ? .------------------------------4 分 2 5? ? 1 综上,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . ----------------------------------5 分 2? ? 2 (II)由题意得 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 -----------------------------6 分 |
= ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax --------------------------------------8 分

? 2a ? 2 ? f (2a). -------------------------------------------------------9 分 所以 f (ax) ? f (2a) ? af ( x) 成立.-----------------------------------------10 分

·8·



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