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2.3.3直线与平面垂直的性质课件



1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定

1、直线与平面垂直的定义
一条直线和平面内的任何一条直线都垂直, 我们就说这条直线和这个平面互相垂直.

2、直线与平面垂直的判定
如果一条直线和 一个平面内的两 条相交直线都垂 直,那么这条直 线垂直于这个平 面.

a??

/>b

, a ??

m ??? ? n ?? ? ? m ? n ? B? ? l ? ? l?m ? ? l?n ? ?

?

b ??

1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论, 也请一个同学叙述一下. 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一个平面. 2.请将上述命题用数学符号表示出来. 若a∥b,a⊥α ,则b⊥α . 这个例题可以当作直线和平面垂直的又一 个判定定理。现在请同学们交换这个定理 的题设和结论,写出新的命题.
若a⊥α ,b⊥α ,则a∥b. 下面就让我们看看这个命题是否正确?

如图,已知直线a,b和平面α,如果 a⊥α,b⊥α那么,直线a,b一定平行吗?

研探新知: 请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形. 已知:a⊥α , b⊥α 求证:a∥b.
分析:a、b是空间中的两条直线,要证明它 们互相平行,一般先证明它们共面,然后转 化为平面几何中的平行判定问题,但这个命 题的条件比较简单,想说明a、b共面就很困 难了,更何况还要证明平行. 我们能否从另一个角度来证明,比如,a、b不平行会有 什么矛盾?这就是我们提到过的反证法. 问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗? 答:否定结论→推出矛盾→肯定结论

引导:第一步,我们做一个反面的假设,假定b与a不平 行,现在应该要推出矛盾,从已知条件中的垂直关系, 让我们想起例题1,在这个例题的已知条件中,平面有 一条垂线,垂线有一条平行线,因此需要添加一条辅助 线.层层推进,得出证明过程如下:

证明:假定b与a不平行 设b∩α =O,b′是经过点O 与直线a平行的直线, ∵ a∥b′,a⊥α ,∴b′⊥α . 所以,经过同一点O的两条直线b, b′都垂直于平面α 。 显然这是不可能的. 因此,a∥b.

由此,我们得到:

直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线 同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
指出:判定两条直线平行的方法很多,直线与平面垂直 的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直 判定两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了 “平行”与 “垂直”之间的内在联系。 学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理,我们 再来看看点到平面的距离的定义: ·

从平面外一点引一个平面的 垂线,这个点和垂足间的距 离叫做这个点到这个平面的 距离.

例题分析,巩固新知: 例1:设直线a,b分别在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中两个不同的平面内,欲使a//b,a,b应满足什 么条件?
分析:结合两直线平行的判定 定理,考虑a,b满足的条件。 解:a,b满足下面条件中的任何 一个,都能使a∥b, (1)a,b同垂直于正方体一个面; (2)a,b分别在正方体两个相对的 面内且共面; (3)a,b平行于同一条棱; (4)如图,E,F,G,H分别为B'C’,CC’,AA’,AD 的中点,EF所在的直线为a,GH所在直线为b,等 等。

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
P

O

A

a

?

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果它和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P

O

A

a

?

已知 : ? ? ? = CD, EA ? ? , EB ? ? . 求证 : CD ? AB .
E A

?

D

B

?

C

巩固深化、发展思维 思考:已知平面α 、β 和直线a,若α ⊥β , a⊥β ,则直线a与平面α 具有什么位置关系? 归纳小结: 本节课,我们学习了直线和平面垂直的性质定理, 以及点到平面的距离的定义.定理的证明用到反 证法,证明几何问题常规的方法有两种:直接证 法和间接证法,直接证法常依据定义、定理、公 理,并适当引用平面几何的知识;用直接法证明 比较困难时,我们可以考虑间接证法,反证法就 是一种间接证法.

作业: P73页A组5,6题



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