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广东省广州市天河区五校2008-2009学年高一上学期期末联考数学



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高一数学期末五校联考试卷
一、选择题: (本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U ? ? 1, 2, 3, 5? ,A ? ? 1, 3, 5? ,B ? ?2, 3?,则集合 ? 1, 5?等于( A. ?Cu A? ? B B. ?Cu A? ?

B C. ?Cu B ? ? A ) ) .

D. ?Cu B ? ? A

2. 函数 y ? log 2 ( x ?1) ? x 的定义域为( A. x | x ≥ 0 C. ?x | x ? 1 ?

?

?

B. x | x ≥ 1

?

? ?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

3. 如右图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1、C1D1 的中点,则异面直线 EF 和 BD 所成的角 的大小为 A.75° C.45° B.60° D.30° ( ) D.x+2y-1=0 ) ( )

4.过点(-3,2)且与直线 2x-y+5=0 平行的直线方程为 A.2x+y+4=0 B. 2x-y+8=0 C.x-2y+7=0

5. 设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 6. 函数 f ( x) ? ln x ? A.0

1 的零点个数为 x
B.1 C.2 D.3





7. 函数 f(x) =x +a 与 y =logax 图象只可能是下图中的(

) .

8. 圆 x +y +4x–4y+4=0 关于直线 x–y+2=0 对称的圆的方程是 A.x +y =4 C.x +y =2
2 2 2 2

2

2





B.x +y –4x+4y=0 D.x +y –4x+4y–4=0
2 2

2

2

x ?1 ? ?2e , x ? 2, 9. 设 f(x)= ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,

则不等式 f(x)>2 的解集为(

)

A. (1,2) ? (3,+∞) C. (1,2) ? ( 10 ,+∞)

B. ( 10 ,+∞) D. (1,2)

10.如图, 体积为 V 的大球内有 4 个小球, 每个小球的球面过 大球球心且与大球球面有且只有一个交点,4 个小球的球心 是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点.V1 为小球相交部 分(图中阴影部分)的体积,V2 为大球内、小球外的图中黑 色部分的体积,则下列关系中正确的是 (A)V1=

V 2

(B) V2=

V 2

(C)V1> V2

(D)V1< V2

二.填空题: (每小题 5 分共 20 分) 11. 方程 x ? y ? 6x ? 0 表示的圆的圆心坐标是
2 2

;半径是



12. 已知 a 2 ?

1

4 (a>0) ,则 log 2 a ? 9 3

.

13. 直线 ?1 ? a ? x ? y ? 1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 14. α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线, 给出四个论断: ① m ? n ②α ?β ③ m ?β ④ n ?α 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:______________________________________.

.

三.解答题: (80 分) 15. 如图所示,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角形, ,如 果直角三角形的直角边为 1 ( 1 ) 画 出 几 何 体 的 直 观 图 ;( 2 ) 求 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积

16.已知函数 f (x)=x -2x+3(x ? R) (1)写出函数 f (x)的单调增区间,并用定义加以证明. 2 (2)设函数 f (x)=x -2x+3(2≤x≤3)试利用(1)的结论直接写出该函数的值域(用区间 表示)
2

17. .已知 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别求 m 的值,使得 l1 和 l2: (1)垂直;(2)平行;(3)重合;(4)相交.

18. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形, PD ? 平面 ABCD , PD ? AB ? 2 , E , F , G 分 别为 PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证: PA 平面 EFG ;

(2)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

19. 已知圆 C:x +y -4y-6y+12=0,求: (1)过点 A(3,5)的圆的切线方程: (2)在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程.

2

2

20. 已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c .
2

(1)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 零点个数; (2) 若对 x1 , x2 ? R, 且 x1 ? x2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 证明方程 f ? x ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。 (3)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足以下条件①当 x ? ?1 时, 函数 f ( x ) 有最小 值 0; ;②对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? 请说明理由。

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 2?

1 ( x ? 1) 2 。若存在,求出 a, b, c 的值,若不存在, 2

高一数学期末五校联考试卷 一、选择题: (本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集 U ? ? . 1, 2, 3, 5? ,A ? ? 1, 3, 5? ,B ? ?2, 3?,则集合 ? 1, 5?等于(C) A. ?Cu A? ? B B. ?Cu A? ? B C. ?Cu B ? ? A C ) D. ?Cu B ? ? A

2. 函数 y ? log 2 ( x ?1) ? x 的定义域为( A. x | x ≥ 0 C. ?x | x ? 1 ?

?

?

B. x | x ≥ 1

?

? ?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

3. 如右图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1、C1D1 的中点,则异面直线 EF 和 BD 所成的角 的大小为 A.75° C.45° B.60° D.30° ( B ) ( B )

4.过点(-3,2)且与直线 2x-y+5=0 平行的直线方程为 A.2x+y+4=0 B. 2x-y+8=0 C.x-2y+7=0

D.x+2y-1=0 )

5. 设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是( D A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 6. 函数 f ( x) ? ln x ? (

1 的零点个数为 x
D.3 ) .

B ) A.0 B.1 C.2 7. 函数 f(x) =x +a 与 y =logax 图象只可能是下图中的( C

8. 圆 x +y +4x–4y+4=0 关于直线 x–y+2=0 对称的圆的方程是 A.x +y =4 C.x +y =2
2 2 2 2

2

2



A )

B.x +y –4x+4y=0 D.x +y –4x+4y–4=0
2 2

2

2

?2e x ?1 , x ? 2, ? 9. 设 f(x)= ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
A. (1,2) ? (3,+∞) C. (1,2) ? ( 10 ,+∞)

则不等式 f(x)>2 的解集为( C

)

B. ( 10 ,+∞) D. (1,2)

10.如图,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只 有一个交点,4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点.V1 为小球相交部分 (图中阴影部分)的体积,V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确 的是( D ) (A)V1=

V 2

(B) V2=

V 2

(C)V1> V2

(D)V1< V2

二.填空题: 11. 方 程 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 表 示 的 圆 的 圆 心 坐 标 是 3 12. 已知 a 2 ?
1

(3,0)

;半径是



4 (a>0) ,则 log 2 a ? 4 9 3
2 2

.

13. 直线 ?1 ? a ? x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 -1 14. α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线, 给出四个论断: ① m ? n ②α ?β ③ m ?β ④ n ?α

.

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:______________________________________.②③④则① 三.解答题: 15. 如图所示,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角形, ,如 果直角三角形的直角边为 1 ( 1 ) 画 出 几 何 体 的 直 观 图 ;( 2 ) 求 几 何 体 的 表 面 积 和 体 积

15. P

解 (2) S 表 = 3 ? B C

:(1)

1 1 3? 3 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 2

V ?

1 1 1 1 S ?ABC ? PB ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 3 2 6

A 16.已知函数 f (x)=x -2x+3(x ? R) (1)写出函数 f (x)的单调增区间,并用定义加以证明. 2 (2)设函数 f (x)=x -2x+3(2≤x≤3)试利用(1)的结论直接写出该函数的值域(用区间 表示) 解: (1)f (x)的单调增区间为[1,+ ? ]) 下面用定义证明:设 x1、 、x2 是[1,+ ? ])上任意两个值且 x1<x2
2

f (x1)-f (x2)= x1 -2x1+3-( x2 -2x2+3) =(x1-x2) (x1+x2-2) x1≥1 ∵ x2≥1 x1≠x2 ∴x1+x2-2>0 又 x1<x2 ∴f (x1)-f (x2)<0 即 f (x1)<f (x2) ∴f (x)在[1,+ ? ]上是增函数. (2)f(x)的最大值 f (3)=6,最小值 f (1)=2,值域为 [2,6]

2

2

17. .已知 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,分别求 m 的值,使得 l1 和 l2: (1)垂直;(2)平行;(3)重合;(4)相交. 解:① l1 ? l 2 ? m ? 2 ? 3m ? 0 ? m ? ② l1 || l 2 ?
1 2

m ? 2 3 2m ? ? ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0且m ? ?3 ? m ? ?1 1 m 6

③ l1与l 2 重合 ? m ? 3 ④ l1与l 2 相交 ? m ? 3且m ? ?1 18. 如图 4 所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形, PD ? 平面 ABCD , PD ? AB ? 2 , E , F , G 分 别为 PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证: PA 平面 EFG ;

(2)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

(1)证法 1:如图,取 AD 的中点 H ,连接 GH , FH , ∵ E , F 分别为 PC , PD 的中点,∴ EF ∵ G , H 分别为 BC , AD 的中点,∴ GH ∴ EF

P E

CD . CD .

F D

C
H

G A

B

GH .

∴ E , F , H , G 四点共面.………………………………………………………………2 分 ∵ F , H 分别为 DP, DA 的中点,∴ PA ∵ PA ? 平面 EFG , FH ? 平面 EFG , ∴ PA 平面 EFG .……………………………………………………………………6 分

FH .……………………………………4 分

证法 2:∵ E, F , G 分别为 PC , PD, BC 的中点, ∴ EF ∵ CD ∵ PB

CD , EG AB ,∴ EF

PB .……………………………………………………………2 分 AB .

AB ? B , EF

EG ? E ,∴平面 EFG

平面 PAB . …………………5 分

∵ PA ? 平面 PAB ,∴ PA

平面 EFG . …………………………………………6 分

(2)解:∵ PD ? 平面 ABCD , GC ? 平面 ABCD ,∴ GC ? PD . ∵ ABCD 为正方形,∴ GC ? CD . ∵ PD CD ? D ,∴ GC ? 平面 PCD .……………………………………………8 分

1 1 1 1 PD ? 1 , EF ? CD ? 1 ,∴ S ?PEF ? EF ? PF ? .……………10 分 2 2 2 2 1 ∵ GC ? BC ? 1 , 2 1 1 1 1 ∴ VP ? EFG ? VG ? PEF ? S ?PEF ? GC ? ? ? 1 ? . …………………………………14 分 3 3 2 6
∵ PF ? 19. 已知圆 C:x +y -4y-6y+12=0,求: (1)过点 A(3,5)的圆的切线方程: (2)在两条坐标轴上截距相等的圆的切线方程. 解(l)设过点 A(3,5)的直线?的方程为 y-5=k(x-3) . 因为直线?与⊙C 相切,而圆心为 C(2,3) ,则
2 2

_ | k ? 2 _ 3 3k + 5 | k +1
2

=1,整理得,.k=

3 4

所以切线方程为 y-5=

3 (x-3) ,即 3x-4y+11=0. 4

由于过圆外一点 A 与圆相切的直线有两条,因此另一条切线方程为 x =3. (2)因为原点在圆外,所以设在两坐标轴上截距相等的直线方程

x y + =1 或 y=kx. a a

由直线与圆相切得,

_ | 2+3 a| 2

=1 或

| k ? 2_3| k 2 +1

= 1 ,解得 a = 5 士 2 , k =

6±2 2 3
故所求的切线方程为 x+y=5 士 2 或 y=( 2 ± 20. 已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c .
2

2 2 ). 3

(1)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 零点个数; (2) 若对 x1 , x2 ? R, 且 x1 ? x2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 证明方程 f ? x ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。 (3)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足以下条件①当 x ? ?1 时, 函数 f ( x ) 有最小

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 2?

值 0; ;②对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? 请说明理由。 20.解: (1)

1 ( x ? 1) 2 。若存在,求出 a, b, c 的值,若不存在, 2

f ? ?1? ? 0,?a ? b ? c ? 0,

b ? a?c

? ? b2 ? 4ac ? (a ? c)2 ? 4ac ? (a ? c)2 ---------------2 分
当 a ? c 时 ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有一个零点;--------------3 分 当 a ? c 时, ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有两个零点。------------4 分 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ,则 2?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 g ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? ? ? 2 2 f ? x2 ? ? f ? x1 ? 1 , g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? ? 2 2
2 1 ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0, ? ? ? 4

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? g ? x ? ? 0 在 ? x1 , x2 ?

内必有一个实根。 即方程 f ? x ? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。------------8 分 2?

(3)假设 a, b, c 存在,由①得 ?

b 4ac ? b 2 ? ?1, ?0 2a 4a

? b ? 2a, b2 ? 4ac ? 4a2 ? 4ac ? a ? c
由②知对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ?

1 ( x ? 1) 2 2

令 x ? 1 得 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 1

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 由 ?b ? 2a 得 a ? c ? ,b ? , 4 2 ?a ? c ?
1 1 1 1 1 1 , b ? 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ,其顶点为(-1,0)满足条件 4 2 4 2 4 4 1 1 2 2 ①,又 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ? 对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) ,满足条件②。 4 2
当a ? c ?

∴存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足条件①、②。------------------------------14 分

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