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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.2 余弦定理课后知能检测 新人教B版必修5



【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 1.1.2 余弦定 理课后知能检测 新人教 B 版必修 5

一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a =b +bc+c ,则角 A 为( A. C. π 3 2π 3
2 2 2 2 2 2

)

B. D.

π 6 π 2

π 或 3 3

【解析】 由 a =b +bc+c , 得 b +c -a =-bc,
2 2 2

b2+c2-a2 1 由余弦定理的推论得:cos A= =- , 2bc 2
2π ∴∠A= . 3 【答案】 C → → 2.△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC的值为( A.19 C.-18 【解析】 由余弦定理的推论知 cos B= B.14 D.-19 )

AB2+BC2-AC2 19 = , 2AB·BC 35

→ → → → 19 ∴AB·BC=|AB|·|BC|·cos(π -B)=7×5×(- )=-19. 35 【答案】 D 3. (2013·朝阳高二检测)在△ABC 中, 若 acos B=bcos A, 则△ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形 )

【解析】 法一 由正弦定理有 sin Acos B=sin Bcos A, ∴sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0. ∴∠A=∠B, ∴△ABC 为等腰三角形.
1

法二 由余弦定理有 a·
2 2 2 2 2 2

a2+c2-b2 b2+c2-a2 =b· , 2ac 2bc

∴a +c -b =b +c -a , ∴a -b =0,即 a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 D 4.在不等边三角形中,a 是最大的边,若 a <b +c ,则角 A 的取值范围是 ( π A.( ,π ) 2 π π C.( , ) 3 2 π π B.( , ) 4 2 π D.(0, ) 2 )
2 2 2 2 2

π 【解析】 因为 a 是最大的边,所以∠A> , 3 又∵a <b +c , 由余弦定理 cos A= 故 π π <∠A< . 3 2
2 2 2

b2+c2-a2 π >0,∴∠A< . 2bc 2

【答案】 C 5.(2013·东营高二检测)如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为 ( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.由增加长度决定
2 2 2

【解析】 设直角△ABC 三边为 a, b, c 且满足 a +b =c , 三边增加同样的长度 m(m>0), 则 c+m 为最长边, 则(a+m) +(b+m) =a +b +2(a+b)m+2m , (c+m) =c +2mc+m . ∵a+b>c, ∴(a+m) +(b+m) >(c+m) , 由余弦定理: cos C=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a+m

2

+ b+m - c+m a+m b+m

2

2

>0,

∴最大角 C 为锐角. 【答案】 A 二、填空题
2

π 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,∠B= ,c=2 3, 6 则 b=________. π 【解析】 ∵a=2,∠B= ,c=2 3, 6 ∴b= a +c -2accos B= 【答案】 2 7.在△ABC 中,∠B=60°,b =ac,则△ABC 的形状为________.
2 2 2

4+12-2×2×2 3×

3 =2. 2

a2+c2-b2 a2+c2-ac 1 【解析】 由余弦定理得:cos B= = = , 2ac 2ac 2
∴(a-c) =0,∴a=c. 又∠B=60°,∴△ABC 为等边三角形. 【答案】 等边三角形 8.若三边分别为 a,a+1,a+2 的三角形是钝角三角形,则 a 的取值范围是________. 【解析】 由题意知 a+2 是三角形的最大边,则
2

a ? ?a+ ?a + ? ?
2

a+

a+
2 2

a+ - a+ 2a a+



<0

∴1<a<3. 【答案】 (1,3) 三、解答题 9.在△ABC 中, (1)a=3,b=4,c= 37,求最大角. (2)b= 6,c=2,∠B=60°,求 a. 【解】 (1)显然角 C 最大,

a2+b2-c2 ∴cos C= 2ab
= 3 +4 -37 2×3×4
2 2

1 =- , 2 ∴∠C=120°.

b c sin B 2sin 60° 3 2 (2)法一 由正弦定理 = ,得 sin C=c = = = , sin B sin C b 6 6 2
3

∴∠C=45°或∠C=135°. ∵b>c,∴∠B>∠C, 又∵∠B=60°,∴∠C=45°. ∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°-(60°+45°)=75°, ∴a =b +c -2bccos A=6+4-4 6×cos 75°=10-4 6× ∴a= 4+2 3= 3+1. 法二 ∵b =a +c -2accos B, ∴6=a +4-4acos 60°=a +4-2a. ∴a -2a-2=0. 解得 a=1+ 3或 a=1- 3(不合题意,舍去), ∴a=1+ 3. 10.在△ABC 中,BC=a,AC=b,a、b 是方程 x -2 3x+2=0 的两个根,且 2cos(A +B)=1.求: (1)角 C 的度数; (2)AB 的长度. 【解】 (1)cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B) 1 =- ,又∠C∈(0°,180°),∴∠C=120°. 2 (2)由题知:?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6- 2 =4+2 3, 4

?a+b=2 3, ?ab=2,
2

∴AB =AC +BC -2AC·BCcos C =b +a -2abcos 120°=a +b +ab=(a+b) -ab=(2 3) -2=10, ∴AB= 10. 11.a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin
2 2 2 2 2 2

C-sin A)= sin Bsin C,边 b 和 c 是关于 x 的方程 x2-9x+25cos A=0 的两根(b>c).
(1)求角 A 的正弦值; (2)求边 a,b,c; (3)判断△ABC 的形状. 18 【解】 (1)∵(sin B+sin C+sin A)(sin B+sin C-sin A)= sin B·sin C, 5 结合正弦定理得

18 5

4

18 8 2 2 2 (b+c+a)(b+c-a)= bc,整理得 b +c -a = bc. 5 5 由余弦定理得:cos A= 3 ∴sin A= . 5 (2)由(1)知方程 x -9x+25cos A=0, 可化为 x -9x+20=0, 解之得 x=5 或 x=4. ∵b>c,∴b=5,c=4. 由余弦定理知:a =b +c -2bccos A,∴a=3. (3)由(1)(2)知,a +c =b , ∴△ABC 为直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 4 = , 2bc 5

5



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