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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2:1.1 变化率问题 1.2 导数的概念



§3.1.1 变化率问题 §3.1.2 导数的概念
【学情分析】 :
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次: 1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义;借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变 化率,了解导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两

个问题进行深入的探讨,以便 顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】 :
知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导 数的定义.

【教学重点】 :
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学难点】 :
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.

【教学过程设计】 :
教学环 节 教学活动 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气容量 的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气 球 的 体 积 V( 单 位 :L) 与 半 径 r( 单 位 :dm) 之 间 的 函 数 关 系 是 设计 意图

V (r ) ?

4 3 ?r 3

? 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3

问题 1 气球膨 3V 分析: r (V ) ? 3 , 胀率 4? (一) 问题提 (1)当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 出 气 球 的 平 均 膨 胀 率 为

3V 4?

为导 数概 念的 引入 做铺 垫

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0
( 2 )当 V 从 1 增加到 2 时 , 气球半径增加了

h

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)
气 球 的 平 均 膨 胀 率 为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1

o
-1-

t

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思 考: 当空气容量从 V1 增加 到 V2 时 , 气球的平均膨胀率是多少 ?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1
问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位: m)与起跳后的时间 2 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t +6.5t+10.如何用运动员在某些时间段 内的平均速 v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v

h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s ) ; 0. 5 ? 0 h(2) ? h(1) ? ?8.2(m / s ) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? 2 ?1 65 探究:计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v ? (1)运动员在这段时间内使静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探 究 过 程 : 如 图 是 函 数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像 , 结 合 图 形 可 知 ,

65 ) ? h(0) , 49 65 h( ) ? h(0) 所以 v ? 49 ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情 49 h(
况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员 的运动状态. 1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, x2 ? x1

称为函数 f(x)从

x1 到 x2 的平均变化率 (二) 平均变 2.若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个 化率概 “增量”可用 x1+ ?x 代替 x2,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 念: 3. 则平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x

思考:观察函数 f(x)的图象

-2-

平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1

(1)一起讨论、分析,得出结果; (2)计算平均变化率的步骤: ①求自变量的增量Δ x=x2-x1; ②求函数的增量Δ f=f(x2)-f(x1); ③求平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f . ? ?x x2 ? x1

注意:①Δ x 是一个整体符号,而不是Δ 与 x 相乘; ②x2= x1+Δ x; ③Δ f=Δ y=y2-y1; 例 1.已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点
2

B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,则

?y ? ?x



解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ,

∴ 三.典 例分析

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x

例2. 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率。 解: ?y ? ( x0 ? ?x)2 ? x0 ,所以
2

?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? ?x ?x
2

2

?

x0 ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ?x

2

让学 生进 一步 认识 瞬时 速 度, 为引 入导 数的 概念 做好 铺 ? 2 x0 ? ?x 垫.

所以 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率为 2 x0 ? ?x 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不 能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附近的情况: 四、瞬 时速度

-3-

思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论:当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一 边趋近于 2 时,平均速度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看,时间 ?t 间隔无限变小时,平均速度 v 就无限趋近于 史的瞬时速度,因此,运动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s 为了表述方便,我们用 lim

h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t ? 0 ?t

表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极 限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义, 当自变量在 x ? x0 处有增量

?x 时,则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果

?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无 ?x ?x

限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导 数,记作 y
/

x ? x0

,即

f / ( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
王新敞
奎屯 新疆

(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在 五、导 注意: 数的概 (2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0, 念 而 ?y 可能为 0
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要让 学生 理解 导数 概念

(3)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (4)

?y 是函数 y ? f ( x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率. ?x

( 5 ) ?x ? x ? x0 , 当 ?x ? 0 时 , x ? x0 , 所 以

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) (定义的变形) x ? x0

-4-

例 3、求 y=x2 在点 x=1 处的导数. 分析:根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤,先求Δ y,再求

?y ?y ,最后求 lim . ?x?0 ? x ?x
解:Δ y=(1+Δ x)2-12=2Δ x+(Δ x)2,

?y 2?x ? (?x) 2 =2+Δ x ? ?x ?x

∴ lim

?x?0

?y = lim (2+Δ x)=2. ∴y′|x=1=2. ? x ?x?0
2

注意:(Δ x)2 括号别忘了写. 例 4、求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的 导数. 解:

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

f ?(?1) ? lim

六、典 例分析 例 5、 (课本例 1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对
? 原 油 进 行 冷 却 和 加 热 , 如 果 第 xh 时 , 原 油 的 温 度 ( 单 位 : C ) 为

f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时
变化率,并说明它们的意义. 解:在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6) 根据导数定义,

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

?

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?0 ?x ?x ?0

所以 f ?(2) ? lim

同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2 h 时和第 6 h 时, 原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5, 说明在 2 h 附 近,原油温度大约以 3 C / h 的速率下降,在第 6 h 附近,原油温度大约以
?

5 ?C / h 的速率上升.

-5-

注:一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.

例 6、函数 f ( x) 满足 f ' (1) ? 2 ,则当 x 无限趋近于 0 时,

f (1 ? x) ? f (1) ? 2x f (1 ? 2 x) ? f (1) ? (2) x
(1) 变式:设 f(x)在 x=x0 处可导, (3)

七、引 申

f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于 1,则 f ?( x0 ) =___________ ?x

(4)

f ( x0 ? 4?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于 1, 则 f ?( x0 ) =________________ ?x f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? 2?x) 所对应的常数 ?x

(5)当△x 无限趋近于 0, 与 f ?( x0 ) 的关系。

(1)理解平均变化率、导数的概念。 (2)求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: 八、课 堂小结 ①求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) .

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? . ?x ?x ?y ③取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x
②求平均变化率

补充题目:1.一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为 ?t ? 0 ? t ( ) A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2.一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小 球在 t=5 时的瞬时速度
王新敞
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王新敞
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解:瞬时速度 v= lim

s(5 ? ?t ) ? s(5) (5 ? ?t )2 ? 52 ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

? lim (10+Δ t)=10 m/s.
?t ? 0

∴瞬时速度 v=2t=2×5=10 m/s.

-6-

3.质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点 M 在 t=2 时 的瞬时速度. 解:瞬时速度 v= lim
?t ? 0

s(2 ? ?t ) ? s(2) 2(2 ? ?t )2 ? 3 ? (2 ? 22 ? 3) ? lim ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t

= lim (8+2Δ t)=8 cm/s.

-7-



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