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高二数学立体几何试题及答案



【模拟试题】 模拟试题】
一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 给出四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题: ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥; ③棱锥的所有面可能都是直角三角形; ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1:2:3,它的表面积为 88,则它 的对角线长为( ) A. 12 B. 24 C. 2 14 D. 4 14

4. 湖面上漂着一个球,湖结冰后将球取出,冰面上留下一个面直径为 24cm, 深为 8cm 的空穴,则该球的半径是( ) A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 8 2cm

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积为侧面积的比是 ( )
1 + 2π A. 2π 1 + 4π B. 4π 1 + 2π C. 1 + 4π D. 2π

π

6. 已知直线 l⊥平面α,直线m ? 平面β ,有下面四个命题:

① α / / β ? l⊥m ;② α⊥β ? l / / m ;③ l / / m ? α⊥β ;④ l⊥m ? α / / β 。 其中正确的两个命题是( ) A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中, 量得水面的高度为 6cm, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(
A. 6 3cm B. 6cm C. 2 18
2



D. 3 12

3

1

8. 设正方体的全面积为 24cm 2 , 一个球内切于该正方体, 那么这个球的体积是 ( )

A.

6πcm

3

32 πcm 3 B. 3

8 πcm 3 C. 3

4 πcm 3 D. 3

9. 对于直线 m、n 和平面 α、β 能得出 α⊥ β 的一个条件是( A. m⊥n,m / /α,n / / β C. m / / n,n⊥β,m ? α B. m⊥n,α I β = m,n ? α D. m / / n,m⊥α,n⊥β



10. 如果直线 l、m 与平面 α、β、γ 满足: l = β I γ,l / /α,m ? α,m⊥γ ,那

么必有(


B. α / /γ,和m / / β D. α⊥γ且α⊥β

A. α⊥γ和l⊥m C. m / / β,且l⊥m

11. 已知正方体的八个顶点中,有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面

体的体积与正方体的体积之比为(
A. 1: 3 B. 1:2


C. 2:3 D. 1:3

12. 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系

的图象如图所示,那么水瓶的形状是(



二. 填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13. 正方体的全面积是 a 2 ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是 __________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 5:2:8,体积为 14cm 3 ,则棱

台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为 a,过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相 平行的截面,在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

2

16. 已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α及β 之外的两条不同的直线, 给出四个论断: ①m⊥n,② α⊥ β ,③ n⊥β ,④ m⊥α 。 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命题______________。 三. 解答题(共 74 分) 17. (12 分)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F、G 分别是棱 DA、DC、 DD1 的中点,试找出过正方体的三个顶点且与平面 EFG 平行的平面,并证明之。 18. (12 分)球内有相距 1cm 的两个平行截面,截面的面积分别是 5πcm 2 和8πcm 2 ,球心不在截面之间,求球的表面积与体积。 19. (12 分)一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱锥的表面积。

3 20. (12 分)直角梯形的一个内角为 45°,下底长为上底长的 2 ,这个梯形

绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是( 5 + 2 )π ,求这个旋转体 的体积。
21. (12 分)有一块扇形铁皮 OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一

个扇形 ABCD,作圆台形容器的侧面,并且余下的扇形 OCD 内剪下一块与其相 切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)。(如图)试求 (1)AD 应取多长? (2)容器的容积。

3

22. (14 分)如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长 为 4,E、F 分别为 AB、BC 的中点, EF I BD = G 。 (1)求证:平面 B1 EF⊥平面BDD1 B ; (2)求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d; (3)求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V。

【试题答案】 试题答案】 一. 1. B 7. B 二. 2. B 8. D 3. C 9. C 4. C 10. A 5. A 11. D 6. D 12. B

π
13. 2

a2

14. 2cm

15. 3ab

16. m⊥n,m⊥α,n⊥β ? α⊥β(或m⊥α,n⊥β,α⊥β ? m⊥n)

4

三. 17. 证明:过 A、C、D1 的平面与平面 EFG 平行,由 E、F、G 是棱 DA、DC、
DD1 的中点可得 GE// AD1 ,GF// CD1 , GE ? 平面 EFG, GF ? 平面 EFG

∴ AD1 //平面 AEG, CD1 //平面 EFG 又 AD1 I CD1 = D1 ∴平面 EFG//平面 ACD1 18. 解:如图,设两平行截面半径分别为 r1 和r2 ,且r2 > r1

2 2 依题意, πr1 = 5π,πr2 = 8π

∴ r12 = 5,r22 = 8
Q OA1 和OA2 都是球的半径R

OO1 = OO2 =

R 2 ? r12 = R 2 ? r22 =

R2 ? 5 R2 ? 8

∴ R2 ? 5 ? R2 ? 8 = 1 解得R 2 = 9 ∴R = 3 ∴ S 球 = 4πR 2 = 36π (cm 2 ) V球 = 4 2 πR = 36π (cm 3 ) 3

19. 解:由三视图知正三棱锥的高为 2mm 由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为 2 3mm
3 a=2 3 设底面边长为 a,则 2 ∴a = 4

∴正三棱柱的表面积
5

1 × 4 × 2 3 = 24 + 8 3 ( mm 2 ) 2 20. 解:如图,梯形 ABCD,AB//CD,∠A=90°,∠B=45°,绕 AB 边旋转 S = S侧 + 2S底 = 3 × 4 × 2 + 2 ×

一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。

CD = x,AB =


AD = AB ? CD =

3 x 2

x 2 ,BC = x 2 2

S 全面积 = S 圆柱底 + S 圆柱侧 + S 圆锥侧 = π ? AD 2 + 2π ? AD ? CD + π ? AD ? BC x2 x 2 π + 2π ? ? x + x ? ? x 4 2 2 2 5+ 2 2 πx = 4 =π?
5+ 2 π ? x 2 = (5 + 2 )π,则x = 2 根据题设 4 所以旋转体体积

V = π ? AD 2 ? CD + = π ? 12 ? 2 + =
7 π 3

π
3

AD 2 ? ( AB ? CD)

π
3

? 12 ? (3 ? 2)

21. 解:如图,设圆台上、下底面半径分别为 r、R、AD=x,则 OD = 72 ? x

6

由题意得
?⌒ 60 ? π ? AB = 2πR = ? 72 180 ? ? ? ?⌒ 60 ? π ? (72 ? x ) ?CD = 2πr = 180 ? ? ?OD = 72 ? x = 3R ?

∴ R = 12 ,r = 6,x = 36
∴ AD = 36cm
2 2 2 2 (2)又圆台的高 h= x ? ( R ? r ) = 36 ? (12 ? 6) = 6 35

1 ∴V = πh( R 2 + Rr + r 2 ) 3

1 = π ? 6 35 ? (12 2 + 12 × 6 + 6 2 ) 3 = 504 35π (cm 3 )
22. 证明:(1)如图,连结 AC

∵正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面呈正方形 ∴AC⊥BD
7

又 AC⊥ D1 D ∴AC⊥平面 BDD1 B1 ∵E、F 分别为 AB、BC 的中点 ∴EF//AC ∴EF⊥平面 BDD1 B ∴平面 B1 EF⊥平面BDD1 B1 解(2)在对角面 BDD1 B1 中,作 D1 H⊥B1 G ,垂足为 H ∵平面 B1 EF⊥平面BDD1 B1 ,且平面 B1 EF I 平面 BDD1 B1 = B1G ∴ D1 H⊥平面B1 EF,且垂足为H ∴ D1 H 为点 D1 到平面 B1 EF 的距离 在 Rt△ D1 HB1 中, D1 H = D1 B ? sin ∠D1 B1 H
Q D1 B1 = 2 A1 B1 = 2 ? 2 2 = 4 BB 4 sin ∠D1 B1 H = sin ∠B1GB = 1 = GB1 17 ∴ D1 H = 4 ? 4 16 17 = 17 17
1 ? D1 H ? S ?B1 EF 3

(2 )

V = V B1 ? EFD1 = V D1 ? B1EF =

1 16 1 ? ? ? 2 ? 17 3 17 2 16 = 3 =

8



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