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2016届高考数学(理)考点分类自测:第8讲+抛物线(人教版含解析)



2016 年高考理科数学考点分类自测:抛物线
一、选择题 1. 已知抛物线 x =ay 的焦点恰好为双曲线 y -x =2 的上焦点, 则 a 等于 A.1 C.8
2 2 2 2

(

)

B.4 D.16 ( )

2.抛物线 y=-4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,

则点 M 的纵坐标是 17 A.- 16 C. 7 16
2

15 B.- 16 15 D. 16

3.已知 F 是拋物线 y =x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段

AB 的中点到 y 轴的距离为
A. C. 3 4 5 4
2

( B.1 7 D. 4

)

4.已知抛物线 y =2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( A.相离
2

)

B.相交 C.相切

D.不确定

5.已知 F 为抛物线 y =8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,则 ||FA|-|FB||的值等于 A.4 2 C.8 2
2

( B.8 D.16

)

6.在 y=2x 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点 P 的坐 标是 A.(-2,1) C.(2,1)
2

( B.(1,2) D.(-1,2)

)

二、填空题 7.以抛物线 x =16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ________. 8.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到焦点的距离 是 5,则抛物线的方程为________. 9.已知抛物线 y =4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点为 F,那么 | FA | +| FB | =________. 三、解答题
2

??? ?

??? ?

10.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线 16x -9y =144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).
2 2

11.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y =4x,O 为坐标原点,过点 A 的动直线

2

l 交抛物线 C 于 M,P 两点,直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM 与 OP 的夹角为 ,
求△POM 的面积.

???? ?

??? ?

π 4

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, -1), B 点在直线 y=-3 上, M 点满足 MB ∥ OA , MA · AB = MB · BA ,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

详解答案

一、选择题

1.解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0, ),双曲线的上焦点为(0,2),依题意 4 则有

a

a
4

=2, 解得 a=8.

答案:C

y 1 2 2.解析:抛物线方程可化为 x =- ,其准线方程为 y= .设 M(x0,y0),则由抛物线 4 16
1 15 的定义,可知 -y0=1? y0=- . 16 16 答案:B 1 3.解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: (|AF| 2 1 3 1 5 +|BF|)- = - = . 4 2 4 4 答案:C 4.解析:设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线 l,A1、B1 分别为 A、B 在直线 l 上的 1 1 射影, 则|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|, 于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|) 2 2 1 = |AB|=半径,故相切. 2 答案:C 5.解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2 由?
? ?y=x-2, ?y =8x ?
2

,消去 y 得 x -

2

12x+ 4= 0.设 A(x1, y1), B(x2 ,y2),则 ||FA|- |FB||= |(x1+ 2)- (x2+ 2)| = |x1- x2|= ?x1+x2? -4x1x2= 144-16=8 2. 答案:C 6.解析:如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x 的准线,F 为其焦点,
2 2

PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|=|PN|,∴|AP|+|PF|=|AP|
+|PN|≥|AN1|,当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号.∴P 点的横坐标与

A 点的横坐标相同即为 1,则可排除 A、C、D.
答案:B 二、填空题 7.解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心为(0,4),半径

r=8.所以,圆的方程为 x2+(y-4)2=64.
答案:x +(y-4) =64 8.解析:设抛物线方程为 x =ay(a≠0),
2 2 2

则准线为 y=- . 4 ∵Q(-3,m)在抛物线上, ∴9=am. 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离,

a

a 9 ∴|m-(- )|=5.将 m= 代入, 4 a
9 a 得| + |=5,解得,a=±2,或 a=±18, a 4 ∴所求抛物线的方程为 x =±2y,或 x =±18y. 答案:x =±2y 或 x =±18y
? ?y =4x 9.解析:由? ?2x+y-4=0 ?
2 2 2 2 2

,消去 y,得 x -5x+4=0(*),方程(*)的两根为 A、B
2

2

两点的横坐标,故 x1+x2=5,因为抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),所以| FA | +| FB | =(x1+1)+(x2+1)=7 答案:7 三、解答题 10.解:双曲线方程化为 - =1, 9 16 左顶点为 (-3,0), 由题意设抛物线方程为

??? ?

??? ?

x2

y2

p y2=-2px(p>0),则- =-3,
2 ∴p=6,∴抛物线方程为 y =-12x. (2)由于 P(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为 y =mx 或
2 2

x2=ny,代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1,
∴所求抛物线方程为 y =8x 或 x =-y. 11.解:设点 M( ,y1),P( ,y2), 4 4 ∵P,M,A 三点共线, ∴kAM=kPM, 即
2 2

y2 1

y2 2

y1 y1-y2 = 2 2, y2 y1 y2 1
4 +1 4 - 4 1 = , y +4 y1+y2
2 1



y1

∴y1y2=4. ∴ OM · OP = · +y1y2=5. 4 4

???? ?

??? ?

y2 y2 1 2

???? ? ??? ? π ∵向量 OM 与 OP 的夹角为 , 4

???? ? ??? ? π ∴| OM |·| OP |·cos =5. 4 ? ??? ? 1 ???? π 5 ∴S△POM= | OM | ·| OP | ·sin = . 2 4 2
12.解:(1)设 M(x,y)由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),

????

????

??? ? AB =(x,-2). ???? ???? ??? ? 再由题意可知( MA + MB )· AB =0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
1 2 所以曲线 C 的方程为 y= x -2. 4 1 2 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点, 4 1 1 因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 2 2 1 2 因此曲线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 x0x-2y+2y0-x0=0. 2 |2y0-x0| 1 2 则 O 点到 l 的距离 d= .又 y0= x0-2, 2 4 x0+4 1 2 x0+4 2
2 0 2

所以 d=

1 4 2 = ( x0+4+ 2 )≥2, 2 x +4 x0+4

当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.



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