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高三快速打基础空间向量与立体几何



一对一个性化学案--03空间向量与立体几何
一.知识梳理
<一>平面的法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,那么称向量 n 垂直于 平面 ? ,记作 n ⊥ ? ,此时我们把向量 n 叫做 ? 的法向量. 注:平面的法向量不是唯一的,因此采取灵活多样的方法来求出平面的法向量. <二>平面法向量的求法: ①、几何体中已经给出有向线段,

只需证明线面垂直. ②、几何体中没有具体的直线,此时可以采用待定系数法求解平面的法向量 用待定系数法求解,一般步骤如下: 1、设出平面的法向量为 n ? (x, y, z) . 2、找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标

a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) 3 根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组.
?n?a ? 0 ? b?0 ?n?
4 解方程组,取其中的一个解,即取法向量 注(*) :由于一个平面的法向量有无数个,故可在带入方程的解中取一个最简单 的作为平面的法向量 <三>直线方向向量与平面的法向量与它们相对位置关系的判断方法 1.线线平行 ? 两线的方向向量平行 1-1 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 1-2 面面平行 ? 两面的法向量平行 2 线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 2-1 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 2-2 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 <四&&&>建立空间直角坐标系(建系要有垂直的根据,需要证明)
z P C ’ A ’ z

B ’

C O x A B

A y x C O B y

第 1 页 共 1 页

4、 如图, 直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB // CD ,AB ? BC ,
AB ? 2CD ? 2 BC , EA ? EB 。求证: AB ? DE ;

E

E

B C D

A C

B D

A

二.典型例题
题型一:证明多点共面 方法:若 A, B, C, D 四点中任意三点不共线,则 A, B, C, D 四点共面的充要条件为存在实数
? ???? ???? ?1 , ?2 ,使 ??? AB ? ?1 AC ? ?2 AD

例:已知平行四边形 ABCD ,从平面 AC 外一点 o 引向量

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD .求证: E, F, G, H 四点共面
题型二:证明多线共面 方法:1 先由两条直线确定一个平面并确定出此平面的一个基底; 2 证明另外一些直线与此平面有交点,并可被所确定的基底线性表示.

题型三:异面直线的距离 第一步:求出异面直线 a, b 的方向向量. 第二步:求出与 a, b 的方向向量都垂直的向量,即直线 a, b 公垂线的方向向量 第三步:在直线 a, b 上任取两点 A, B

n

??? ? 第四步:求出 AB 在 n 投影的绝对值,即为异面直线间距离

例:1 正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 ,底边长 AB ? 2 ,则异面直线 BD 和 SC 之间 的距离( ) A.

15 5 B. 5 5

C .

2 5 5

D.

5 10

第 2 页 共 2 页

2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 A1 B1 的中点, 则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离.

题型四:点到线距离求解 方法:设空间一点为 A,直线为 l ,其方向向量为 n ,在直线 l 上任取一点 B ,则点到直线

l 的距离 d ? AB sin AB, n
例:设正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,边长为 2,E 为 DD1 中点,求 AC1 与 D1 B 交点 O 到 AC 的距 离

??? ?

??? ?

题型五:点到面距离求解

方法:如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 →· |AB n| α 的距离 d= |n| .
例:知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是________.

题型六:求线到面、面到面的距离:这类问题可以转化为点到面的距离 例:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,则平面 AB1C 与平面 A1C1 D 间的距离 ( A.



3 6

B.

3 3

C .

2 3 3

D.

3 2

题型七:异面直线所成角的求解

第 3 页 共 3 页

方法:线线夹角 ?

(共面与异面) [0 O ,90O ] ? 两线的方向向量 n1 , n 的夹
2

角或夹角的补角, cos? ? cos ? n1, n2 ?
例:在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BCA=90° ,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,BC =CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是( A. C. 30 10 30 15 B. D. 1 2 15 10 )

题型八:线面所成角的求解 方法:线面夹角 ? [0 ,90 ] :求线面夹角的步骤:1.先求线的方向
O O

向量 AP 与面的法向量 n 的夹角2.若为锐角角即可,若为钝角, 则取其补角3. 再求其余角, 即是线面的夹角. sin ? ? cos ? AP, n ? 例: 已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是 A1B1 的中点, 求直线 AE 与平面 ABC1D1
所成角的正弦值________.

题型九:二面角的平面角的求解

第 4 页 共 4 页

方法: ?

[0O ,180O ] :若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向

量 n1 , n 2 的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补 角. cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?
例:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC =2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

三.课堂练习
练习: 1已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1, 求平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角的大 小

2.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、M 分别是 A1C1、A1D 和 B1A 上任一 点,求证:平面 A1EF∥平面 B1MC.

3.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a, AD=2a,且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角. (1)若 AE⊥PD,E 为垂足,求证:BE⊥PD; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值.

5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点,求: (Ⅰ)D1E 与平面 BC1D 所成角的大小; (Ⅱ)二面角 D-BC1-C 的大小; (Ⅲ)异面直线 B1D1 与 BC1 之间的距离.

复习回顾:

第 5 页 共 5 页

1.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值.

2.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD, AC 丄 AD , AB 丄 BC ,

?BAC=45 ? , PA=AD =2 , AC =1 .

(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值;

3.如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,∠PDA=60°。 (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。

&4.如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; S (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

O

C

B

A

第 6 页 共 6 页



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