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第九讲-三角函数图像和性质


第九讲 三角函数的图像与性质

高考要求

要求层次

重难点 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法 会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数

y ? sin x , y ? cos x ,
y ? tan x 的图象和性质

C

y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,理解 A, ? , ? 的物理意
函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 图象 三角函数 用三角函数的图象解决一些 简单的实际问题 三角函数的定义域和值域 B B C 义 , 掌 握 由 函 数 y ? sin x 的 图 象 到 函 数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的变换原理和方法
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中 心 掌握三角函数的定义域、值域的求法 掌握三角函数的奇偶性与单调性,并能应用它们解 决一些问题,会求经过简单的恒等变形可化为

三角函数的性质

C

y ? A sin(? x ? ? ) 的三角函数的性质
三角函数的图象和性质的应 用 C 掌握三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间 的求解及其应用

知识精讲

三角函数的图象是高考的热点之一,重点考查已知图象求解析式,函数的图象变换及对称 问题,利用图象变换和对称以及图象的性质解决实际问题,多为中档题.

板块一:三角函数的图象 (一) 知识内容
1.三角函数的图象
y
-2? -?
O ? 2?
y

x
-? /2 ? /2 O ? 3? /2

y=sinxx
y
-? -2?
O ? 2?

-3? /2

-?

x

x

y=cosx

y=tanx

2.函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象的作法――五点法


①确定函数的最小正周期 T ? ②令 ? x ? ? =0、 、π 、

3π ? 1 π 1 1 3π 1 ? ? ) 、 (2 π ? ? ) , 、2π , 得 x ? ? 、 ( ? ? ) 、 (π ? ? ) 、 ( 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 π 1 1 3π 1 ? ? ), ?1) 、( (2π ? ? ), 0) ; 于是得到五个关键点 ( ? , 0) 、( ( ? ? ),1) 、( ( π ? ? ), 0) 、( ( ? ? 2 ? ? 2 ?

?



π 2

③描点作图,先作出函数在一个周期内的图象,然后根据函数的周期性,把函数在一个周期内的图 象向左、右扩展,得到函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象.

3. y ? A sin ?? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象 ? A ? 0, ? ? 0, x ? R? 的图象可以用下面的方法得到:先把 y ? sin x


函数 y ? A sin ?? x ? ? ?

图象上所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位;再把所得各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ;再把所得的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短

(0 ? A ? 1) 到 原 来 的 A 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) , 从 而 得 到 y ? A sin(? x ? ? ) 的 图 象 . 当 函 数
1 y ? A sin(? x ? ? ) 表示一个振动量时: A 叫做振幅;T 叫做周期; 叫做频率;? x ? ? 叫做相位, T ? 叫做初相.
上面是一种函数的平移缩放的过程,可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函 数.下面把这个过程分解一下: (1)相位变换

要得到函数 y ? sin(x ? ? )( ? ? 0)的图象,可以令 x ? x ? ? ,也就是原来的 x 变成了现在的

x ? ? ,相当于 x 减小了 ? (? ? 0) ,即可以看做是把 y ? sin x 的图象上的各点向左 (? ? 0) 或向右

(? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位而得到的. 这种由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin( x ? ? ) 的图象的变换,
使相位由 x 变为 x ? ? ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换. (2)周期变换 要得到函数 y ? sin ? x(? ? 0, ? ? 1) 的图象,令 x ? ?x ,即现在的 x 缩小到了原来的 ? 倍,就可以 看做是把 y ? sin x 的图象上的各点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的 得到,由 y ? sin x 的图象变换为 y ? sin ? x 的图象,其周期由 2π 变为 变换是一种横向的伸缩. (3)振幅变换 要得到 y ? A sin x( A ? 0, 且A ? 1) 的图象,令 y ?

1

?

倍 (纵坐标不变)

2π ,这种变换叫周期变换.周期 ?

y ,即相当于 y 变为原来的 A 倍,也就是把 A

y ? sin x 的图象上的各点的纵坐标伸长 ( A ? 1) 或缩短 (0 ? A ? 1) 到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到
的.这种变换叫做振幅变换.振幅变换是一种纵向的伸缩.

【说明】本题的所有变换都是针对 x 和 y 来的,也就是说所有的转换都是用在 x 和 y 身上的,他们的系 数也不包括在内.例如 y ? Asin ?? x ? ? ?

? A ? 0,? ? 0, x ? R? 的图象,如果先把 y ? sin x 各
1

点的横坐标缩短 (? ? 1) 或伸长 (0 ? ? ? 1) 到原来的

?

倍(纵坐标不变)变成 y ? sin ? x ,再把

所 得 的 各 点 的 纵 坐 标 伸 长 ( A ? 1) 或 缩 短 ( 0 ? A ? 1)到 原 来 的 A 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) , 得到

y ? A sin ? x ,而最后才所有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平行移动 | ? | 个单位,这样得到就是 y ? A sin ?( x ? ? ) , 而不是 y ? A sin(? x ? ? ) . 希望大家能够从中理解 “坐标变换是针对 x 和 y
做的” 这句话的意义.

(二)典例分析
? 4π ? 0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值 【例1】 ⑴(2009 年全国 I)如果函数 y ? 3cos ? 2 x ? ? ? 的图象关于点 ? , ? 3 ?

为( π A. 6

) B.
π 4

C.

π 3

D.

π 2

⑵(2008 浙江卷 5)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos ? ?
1 的交点个数是( ) 2 A.0 B.1 y?

?x ?2

3π ? ? ( x ? [0 , 2π]) 的图象和直线 2 ?

C.2

D.4

【例2】 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0) 的部分图象如下图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … f (11) ?
y
6

2 2

O
-2

2

3

x

【例3】 方程 sin 2 x ?

1 在 [?2π , 2π] 内解的个数为 2



【例4】 如图,方程 sin 2 x ? sin x 在区间 (0 , 2π) 内解的个数是( A. 1
y

)

B. 2
sin2x

C. 3

D. 4

2?

O

?
sinx

x

【例5】 ⑴求方程 lg x ? sin x ? 0 的解的个数;

⑵求方程 100sin x ? x 的解的个数.

【例6】 (2006 年-辽宁)

1 1 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,求 f ( x) 的值域. 2 2

【例7】 函数 y ? cos(sin x) 的值域为_______
? π π? 【例8】 ⑴求函数 y ? log 2 (1 ? sin x) ? log 2 (1 ? sin x) , x ? ? ? , ? 的值域. ? 6 4?

⑵求函数 y ?

3 ? sin 2 x ( x ? kπ , k ? Z) 的值域. 2 sin x

【例9】 y ?

(1 ? sin x)(3 ? sin x) 的最值及对应的 x 的集合 2 ? sin x

【例10】 已知正弦曲线 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π) 上的一个最高点是 (2 ,

2) ,由这个最高

点到相邻的最低点,曲线与 x 轴相交于点 (6 , 0) ,试求这个函数的解析式.

π 【例11】 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1 ,它在 y 轴右侧的 2

第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 3π , ? 2) . ⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵用列表作图的方法画出函数 y ? f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的图象.

【例12】 如图,是函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0) , ? ? π 的图象的一部分,由图中条件写出函数解析

式.

【例13】 右图是函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 2π)

的图象的一部分,试求此函数的解析式.

y
2 -2 - 2 O 2 4 6 8 10 x

? x? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? π) 的图象的一段如图所示,确定该函数的解析式 . 【例14】 函数 y ? Asin(
y 2 Q P 7? 12 O x

-

-2

【例15】 (2005 年湖南高考)

设函数 f ( x) 的图象与直线 x ? a , x ? b 及 x 轴围成图形的面积称为函数 f ( x) 在 [a , b] 上的面积, 已知函数 y ? sin nx 在 ? 0 ,
? ? π? 2 上的面积为 (n ? N? ) , n? n ?
y S1

2π ? ? ⑴ y ? sin 3x 在 ? 0 , 上的面积为 ; 3 ? ? ? ? π 4π ? ⑵ y ? sin(3x ? π) ? 1 在 ? , 上的面积为 3 ? ?3 ? π? ?k 【例16】 设 f ( x) ? sin ? x ? ? (k ? 0) 3? ?5

S4

S2 S3



O

x

⑴求当 k ? 3 时,函数图象的对称轴方程和对称中心坐标. ⑵求最小正整数 k ,使得当自变量在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数至少取得 一次最大值 M 和最小值 m .

【例17】 已知函数 y ? sin 2 x ? a sin x ? 1 的最小值为 1,求 a 的值.

π? π? ? ? 【例18】 求证:在区间 ? 0 , ? 内存在唯一的实数对 (c , d ) , c , d ? ? 0 , ? ,且 c ? d ,使得 2? 2? ? ?
sin(cos c) ? c , cos(sin d ) ? d 成立.

【例19】 已知函数 f ?x? ? 3a sin 2 x ? 2a sin x ? cos x ? 3 3a cos2 x ? b ? 0 ? x ?

? ?

??

? 的值域为 2?

[ ? 3, 2 ],求 a、b 的值.

【例20】 已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x ? cos x ? 1, x?R. 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

【例21】 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A ? 0, ? ? 0, ? ?

)的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右侧 2 的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2) . (1)求 f(x)的解析式;

?

(2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.写出函数 y=g(x)的解析式并用“五点法”画出 3

1 , (纵坐标不变) ,然后再将所得图象沿 x 3

y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.

板块二:三角函数图象变换 (一)知识内容
1.函数图象平移基本结论小结如下:

左移a个单位( a ?0) y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x ? a)

右移a个单位( a ?0) y ? f ( x) ?????? ? y ? f ( x ? a) 上移a个单位( a ?0) y ? f ( x) ?????? ? y ? a ? f ( x) 下移a个单位( a ? 0) y ? f ( x) ?????? ? y ? a ? f ( x)

? y ? f ( x) ???????? ? y ? f (? x)
A y ? f ( x) ???????? ? Ay ? f ( x) 1 各点纵坐标变成原来的 倍

1 各点横坐标变成原来的 倍

绕x轴翻折 y ? f ( x) ???? ?? y ? f ( x)
绕y轴翻折 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x)

设 P( x0 , y0 ) 为 y ? f ( x) 左移 a 个单位后所得图象上的任意一点,则将P右移 a 个单位得到的
P '( x0 ? a, y0 ) 必在 y ? f ( x) 的图象上,故 y0 ? f ( x0 ? a) ,又 P( x0 , y0 ) 点任意,故 y ? f ( x) 的图象左

移 a 个单位得到的新的函数的解析式为: y ? f ( x ? a) . 函数变换可以用下图表示:
1 横 坐 标 扩 大 倍(0<?? 1) ? 1 横 坐 标 缩 短 倍(?? 1) ?

y=s i? n x

y=s ixn

向 左 平? 移(?>0) 向 右 平? 移(?<0)

y=s i(x+ n ?)

? 向 左 平 移 (?>0) ? ? 向 右 平 移 (?<0) ? 纵 坐 标 扩 A 大 倍( 为 A>1) 纵 坐 标 缩 A 短 倍(0< 为 A<1)

y=s i(? n x+?)

1 横 坐 标 扩 大 倍(0<?? 1) ? 1 横 坐 标 缩 短 倍(?? 1) ? b 向 上 平 移(b>0) A b 向 下 平 移(b<0) A

y=A s i(? n x+?)

y=s i(? n x+?)

向 上 平b( 移 b>0) 向 下 平b( 移 b<0)

y=A s i(? n x+?)+b

纵 坐 标 扩 A 大 倍( 为 A>1) 纵 坐 标 缩 A 短 倍(0< 为 A<1)

(二)典例分析
【例22】 已知函数 f ( x) ? sin x ? a , a ? R

⑴讨论函数 f ( x) 的奇偶性

⑵求当 f ( x) 取最大值时,自变量 x 的取值集合.

【例23】 (2007 天津文 9)

设函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x) ( 3
?
? 2? 7 ? ? , 上是增函数 6 ? ? 3 ? ?? ?? C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?

? ?

??

) B.在区间 ? ?? , ? ? 上是减函数 2? ? D.在区间 ? ,
?? ?3 5? ? 上是减函数 6? ? ? ??

A.在区间 ?

【例24】 (2005 江西)

设函数 f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | ,则 f ( x) 为(
π 3 2 C.周期函数,最小正周期为 π

)
2π 3

A.周期函数,最小正周期为

B.周期函数,最小正周期为 D.非周期函数

【例25】 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)( A ? 0, ? ? 0, ? ?

)的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右侧 2 的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2) . (1)求 f(x)的解析式;

?

(2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.写出函数 y=g(x)的解析式并用“五点法”画出 3

1 , (纵坐标不变) ,然后再将所得图象沿 x 3

y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.

【例26】 (2005 年湖北文)函数 y ? sin x cos x ?1 的最小正周期与最大值的和为



π? ? ? π? 【例27】 已知函数 f ( x) ? a ? 2b sin ? x ? ? (a,b ? Z) ,当 x ? ?0, ? 时, f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 . 4? ? ? 2?

⑴求 f ( x) 的解析式; ⑵由 f ( x) 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数 y ? g ( x) 的图象?若能,请写出变换过 程;若不能,请说明理由.

板块三:三角函数的性质 (一)知识内容
1.三角函数的性质 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

y ? cot x

{ x | x ? R , 且x ?
定义域

R

R

k? ?

?
2

, k ? Z}

{x | x ? R, 且x ? k? , k ? Z}
R
奇函数 无界函数

值域 奇偶性 有界性 周期性 (最小正 周期)

[?1,1]
奇函数 有界函数 | sin x |? 1

[?1,1]
偶函数 有界函数

R
奇函数 无界函数

| cos x |? 1

T ? 2π

T ? 2π
在[(2k ? 1) π,

T ?π

T ?π

单调性

π π 在[2kπ ? , 2kπ ? ] ? 2 2 π 3π 在[2kπ ? , 2kπ ? ] ? 2 2 ( π ? Z)
π x ? 2 kπ ? , 2

2kπ] ? ,[2kπ , (2k ? 1) π] ? ( k ? Z)
x ? 2kπ,

π 在[(kπ ? , 2 π kπ ? ] ? 2 (k ? Z)

在[(kπ, kπ ? π] ? ( k ? Z)

ymax ? 1 ;
最值

ymax ? 1 ;
x ? (2k ? 1)π ,
无 无

π x ? 2kπ ? , 2

ymin ? ?1 (k ? Z)
π (k ? Z) 2

ymin ? ?1
(k ? Z)
x ? kπ(k ? Z)
无 无

对称轴

x ? kπ ?

对称点

(kπ, 0)(k ? Z)
2. y ? sin x 与 y ? sin x 的性质 函数 定义域 值域 奇偶性 周期 单调性

π ( kπ+ , 0) 2 ( k ? Z)
y ? sin x

(kπ,0)(k ? Z)

π (kπ+ , 0)(k ? Z) 2

y ? sin x
[?1 , 1]

R
[0 , 1]

R

偶函数
T ?π

π [kπ , kπ ? ] 为增区间, 2

偶函数 不是周期函数 增减区间规律不明显,只能就具体 区间分析

π ? ? ? kπ ? 2 , kπ ? π ? 为减区间 (k ? Z) ? ?

(二)典例分析
【例28】 求使 cos x ?

1? a 有意义的 a 的取值范围. 1? a

【例29】 当方程 4sin x ? 4sin x ? k ? k ? 2 ? 0 有解时,求 k 的取值范围.
2 2

【例30】 设 f(x)满足 2 f (? sin x) ? 3 f (sin x) ? 4sin x cos x( ?

π π ≤x≤ ) ,求 f ( x) 的表达式. 4 4

板块四:三角函数与二次函数 典例分析
【例31】 求函数 y ? ?2sin x ? 2sin x ? 1的值域.
2

【例32】 求函数 y ? 2 ? 2a cos x ? sin 2 x 的最大值与最小值.

5 3 π 【例33】 求函数 y ? sin 2 x ? a cos x ? a ? (0 ≤ x ≤ ) 的最大值 8 2 2

π? ? 【例34】 为使方程 cos2 x ? sin x ? a ? 0 在 ? 0 , ? 内有解,则 a 的取值范围是( 2? ?

) D. a ≤ ?
5 4

A. ?1 ≤ a ≤ 1

B. ?1 ? a ≤ 1

C. ?1 ≤ a ? 0

【例35】 已知定义在 (?? , 4] 上的减函数 f ( x) , 使得 f (m ? sin x) ≤ f ( 1 ? 2m ?

7 对一切实数 x 均 ? cos2 x) , 4

成立,求实数 m 的取值范围 .

【例36】 已知 b, c 是实数,函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 对任意 ? , ? ? R 有:① f (sin ? ) ≥ 0 ② f (2 ? cos ? ) ≤ 0

⑴求 f (1) 的值; ⑵证明: c ≥ 3 ; ⑶设 f (sin ? ) 的最大值为 10 ,求 f ( x) .

板块五:三角函数的周期性 (一)知识内容
1.定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个不为零的数 T ,使得当 x 取定义域中的任意一个数时,
f ( x ? T ) ? f ( x) 总成立,那么称 f ( x) 是周期函数,T 称为这个函数的周期,如果函数 f ( x) 的所有

正周期总存在最小值 T0 ,则称 T0 为这个函数的最小正周期. 2.说明:周期函数的定义域是无界的;若 T 是某函数的周期,则 nT (n ? N , n ? 0) 均为此函数的 周期;若函数 y ? f ( x) 的最小正周期是 T ,则函数 y ? f (? x ? ? ) 的最小正周期是
T

?

.

3.对称轴为 x ? a 的函数, 对称中心为 (a, b) 的函数的解析式问题函数 y ? f ( x) 周期为 T ? 如果点
( x, y ) 在图象上,则 ( x ? T , y ) 也在图象上 ? y ? f ( x) ? f ( x ? T )

推广: 关于一般的轴对称: 函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? a 对称 ? 如果点 ( x, y ) 在图象上则它关于直线 x ? a 的 对称点 (2a ? x, y) 也在图象上 ? y ? f ( x) ? f (2a ? x) 关于一般的中心对称: y ? f ( x) 关于点 (a, b) 对称 ? 如果点 ( x, y ) 在图象上,则它关于点 (a, b) 的对称 点 (2a ? x, 2b ? y) 也在图象上 ? 2b ? f ( x) ? f (2a ? x) 4.某个函数关于点对称或轴对称,周期的特点: ⑴若定义在 R 上的函数 f ( x) 有两条对称轴 x ? a , x ? b (a ? b) ,则这个函数必定是周期函数,
T ? 2(a ? b) 是它的周期.

证: f [2(a ? b) ? x] ? f [a ? (a ? 2b ? x)] ? f [a ? (a ? 2b ? x)] ? f (2b ? x)
? f [b ? (b ? x)] ? f [b ? (b ? x)] ? f ( x)

∴ f ( x) 以 2(a ? b) 为周期 ⑵若函数 f ( x) 在 R 上的图象关于某点 A(a , y0 ) 与某直线 x ? b (a ? b) 对称,则此函数为周期函数,
T ? 4 b ? a 是它的周期.

证 : 图象 上任 一点 ( x , f ( x)) 关 于点 A(a , y0 ) 的 对称 点 (2a ? x , 2 y0 ? f ( x)) 也 在图 象上, 即 有
f (2a ? x) ? 2 y0 ? f ( x) ,且 f (b ? x) ? f (b ? x) ,则 f ( x) ? 2 y0 ? f (2a ? x) ? 2 y0 ? f [b ? (b ? 2a ? x)] ? 2 y0 ? f [b ? (b ? 2a ? x)] ? 2 y0 ? f (2b ? 2a ? x)
? f [2a ? (2b ? 2a ? x)] ? f [b ? (3b ? 4a ? x)] ? f [b ? (3b ? 4a ? x)] ? f [4(b ? a) ? x]

∴ f ( x) 是以 4(b ? a ) 为周期的函数

(二)典例分析
π π 【例37】 ⑴设函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,若对任意 x ? R ,都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) 成立,则 x1 ? x2 的最小值 2 5 ( )

A. 4
?

B. 2
??

C. 1
???

D.
???

1 2
?? ??

⑵(2008 辽宁高考) 已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? 3? ? ?6? ?3? ?6 3? =__________.

【例38】 已知函数 y ? 2sin(? x ? ? ) (0 ? ? ? π) 为偶函数, 其图象与直线 y ? 2 相邻的两个交点的横坐标分别

为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 ? π ,则( A. ? ? 2 , ? ?
π 2

)
1 π C. ? ? , ? ? 2 4

1 π B. ? ? , ? ? 2 2

D. ? ? 2 , ? ?

π 4

【例39】 (2005 年广东高考)

函数 f ( x) ,当 x ? (?? , ? ? ) 时, f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,在闭区间 [0 , 7] 上,只 有 f (1) ? f (3) ? 0 . ⑴试判断函数 f ( x) 的奇偶性. ⑵试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 , 2005] 上的根的个数,证明你的结论.

【例40】 设 f ( x) 是定义在 R 上并以 2 为周期的函数, 当 x ? [?1 , 1] 时, f ( x) ? x 2 .

⑴求 x ? (1 , 3] 时, f ( x) 的表达式; ⑵作出 f ( x) 的图象,并求 f ( ?3) 及 f (3.5) 的值.

【例41】 函数 y ? sin ? x(? ? 0) 在区间 [0 , 1] 上恰好有 50 个最大值,则 ? 的取值范围是

.

π? 5 ? 2k ? 1 πx ? ? (k ? N? ) 对于任意实数 a ,在区间 [a , a ? 3] 上的值 出现的次数 【例42】 函数 y ? 5cos ? 6? 4 ? 3

家庭作业
函数 f ( x) ? cos(3x ? ? ),x ? R 的图象关于原点中心对称,则 ? ? ( π π π A. B. kπ ? ,k ? Z C. kπ,k ? Z D. 2kπ ? ,k ? Z 3 2 2

习题1.



习题2.

⑴函数 y ? a sin x ? 1 的最大值是 3,则它的最小值_____________________. ⑵函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ? ? ?
? ? ?? ? ?

)
? ? ?? ? ?

B. ? , ? ? ?

? ? 3? ? ? ?

C. ? ?, ? ?

D. ?
?π? ? ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ? 2

习题3.

(2009 年辽宁卷) 已知函数 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ? 的图象如图所示, f ? ? ? ? ,则 f ? 0? ? ( 2 3
2 1 2 B. ? C. 3 2 3 求下列不等式 x 的取值范围. ⑴ 2sin x ? 1 ≥ 0 ; π ⑵ 2cos(3x ? ) ? 1≤ 0 . 6



A. ? 习题4.

D.

1 2

习题5.

若函数 y ? A sin(? x ? ? ) , ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ≤ ? ? 2π) 的图象上一个最高点的坐标为( 2, 3 ) , 由这个最高点到相邻的最低点间,图象与 x 轴的交点为 (4 , 0) .求此函数的解析式.

习题6.

把曲线 C : y ? 2sin ? 2 x ? ? 向右平移 a(a ? 0) 个单位,得到的曲线 G 关于直线 x ? 4
?

? ?

π?

π 对称. 4

求 a 的最小值.


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