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数学建模作业



数学建模 作业二 试题 2.1
回答以下问题: (1) 什么是数学模型? (2) 数学模型是如何分类的? (3) 建立数学模型一般应遵循什么原则? (4) 建立数学模型一般都有什么方法? (5) 建立数学模型的一般步骤是什么?

解(1) 数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出 一些必要的简化假设,运用适当的数学工具

,得到一个数学结构。 (2)1,、 按照模型的应用领域或所属学科分: 如人口模型、 交通模型、 环境模型、 生态模型、 城镇规划模型、水资源再模型、污染模型等;

2、按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分:如初等数学模型、几何模型、微分 方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等; 3、确定性模型和随机性模型,取决于是否考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发 展,又有所谓突变性模型和模糊性模型 静态模型和动态模型,取决于是否考虑时间因素引起的变化 线性模型和非线性模型,取决于模型的基本关系,如微分方程是否是线性的 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的; 4、按照建模目的分:有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制 模型等; 5、按照对模型结构的了解程度分:有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。 (3)1、要有足够的精确度; 2、模型既要精确又要尽可能简单; 3、要尽量借鉴已有的标准形式的模型;

4、构造模型的依据要充分。 (4)1、机理分析法; 2、测试分析法; 3、综合分析法。 (5)1、建模准备 2、分析与简化; 3、建立模型; 4、模型求解; 5、模型的评价与改进; 6、模型应用。 试题 2.2 多项式插值: 由函数 y=sin x 在三点 0, π/4, π/2 处的函数值, 构造二次插值多项式 P2(x), 计算 sin(π/8)
的近似值,并估计截断误差。

解由题得 x0=0

x1=π/4

x2=π/2

y0=0

y1=

2 /2

y2=1

A0=y0/(x0-x1)(x0-x2)

A1=y1/(x1-x0)(x1-x2)

A2=y2/(x2-x0)(x2-x1)

P2(x)=A0(x-x1)(x-x2)+A1(x-x0)(x-x2)+A2(x-x0)(x-x1)
=

?
j ?0

2

(

i ? 0 ,i ? j

C

2

X ? Xi )Yj Xj ? Xi

注: ( ? 打出来变成 C 了) x=π/8 代入 P2(x)得 sin(π/8)=( R2(x)=
2 -1)/8 ? 0.05177

f ' ' ' (u ) (x-x0)(x-x1)(x-x2) ? 1 *1*(π /8)* (π /8)*( π *3/8)=0.032796 3 * 2 *1 6

试题 2.3 数值积分: 轮船的甲板成近似半椭圆面形, 为了得到甲板的面积, 首先测得横向最大相间 8.534 米, 然后等距离的测得纵向高度,自左向右分别为 0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073(单位: 米) 计算甲板的面积。


横向最大相间为 8.534 米, 然后等间距地测得纵向高度,共有 11 个值, 所以应该是吧 8.534 米分成 12 分, 对应的值为纵向高度

以左边零点位坐标原点,建立坐标系。线性插值得到图形,再用数值积分可求面积。 程序见 m 文件 2.3.m s= 54.3618 s= 54.3618

试题 2.4 多项式拟合: 对于以下实验数据
x = (1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 7 8 9 10 11)

y =(4 4.6 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86 10 10.2 10.32 10.30 10.24 10.18 10.00 9.40) 给出拟合多项式,计算 x=6.5, 12 处的值,并绘制相应曲线图。



(7086530370445221*x^5)/18446744073709551616-

(4920086407979283*x^4)/28823037615171174+ (2546402718499231*x^3)/9007199254740992(5044749170451649*x^2)/2251799813685248+ (4879932297385103*x)/562949953421312 6991285309685725/2251799813685248 x=6.5 时 x=12 时 10.2120 8.4585

程序见 m 文件 2.4.m
2.5 常微分方程数值解: 用预估校正 Euler 法,求解定解问题
2x ? ? 2 ? y ? y ? , x ? [0,10] y ? ? y(0) ? 1, ?

求出步长为 1 的所有点的值,并绘制图形。

解 clc;

程序为

clear;

fun=@(x,y)y^2-2*x/y; n=10; x0=0; xfina=1; h=(xfina-x0)/n; y(1)=1; x=0:h:xfina; for i=1:n k1=fun(x(i),y(i)); k2=fun(x(i)+h,y(i)+h*k1); y(i+1)=y(i)+h*(k1+k2)/2; end plot(x,y)

y 结果 y= Columns 1 through 5 1.0000 1.6612 Column 11 5.9673 1.1014 1.9132 1.2089 2.2789 1.3302 2.8532 1.4756 3.8592 Columns 6 through 10

作业三
3.1 A 题 人口增长模型:下表列出了中国 1982~1998 年的人口统计数据,取 1982 年为起始年(t=0),1982 年的人口 101654 万人,人口自然增长率为 14‰,以 36 亿作为我国人口的容纳量,试建立一个较好的人口 数学模型并给出相应的算法和程序,并与实际人口进行比较。 时间(年) 人口(万 人) 时间(年) 1982 1983 1984 104357 1985 105851 1986 107507 1987 109300

10165 103008 4 1988 1989

1990

1991

1992

1993

人口(万 人) 时间(年) 人口(万 人)

11102 112704 6 1994 1995

114333

115823

117171

118517

1996 122389

1997 123626

1998 124810

11985 121121 0

解一、问题的重述
下表列出了中国 1982—1998 年的人口统计数据,取 1982 年为起始年(t=0) ,人口自然增长率 14%,以 36 亿作 为我国的人口容纳量,试建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序,并与实际人口相比较。
时间(年) 人口(万人) 时间(年) 人口(万人) 时间(年) 人口(万人) 1982 101654 1988 111026 1994 119850 1983 103008 1989 112704 1995 121121 1984 104357 1990 114333 1996 122389 1985 105851 1991 115823 1997 123626 1986 107507 1992 117171 1998 124810 1987 109300 1993 118517

二、问题分析

从图中我们可以看到人口数在 1982—1998 年是呈增长趋势的,而且我们很容易发 现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性,所以我们很自然想到建立指数模型,但是指数模型有 个不妥之处就是没有考虑社会因素的,即资源的有限性,也就是人口不可能无限制的增长,所以有必要改进模型, 这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减,从而建立起比较优越阻滞增长模型

三、问题的假设

四、符号定义与说明 t 表示年份(选定初始年份的 t=0) r 表示人口增长率 x 表示人口数量

五、模型的建立 记时刻 t 的人口为 x(t), x(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具,将 x(t)视为连续、可微函数。记

初始时刻(t=0)的人口为 x0,人口增长率为 r,r 是单位时间内 x(t)的增量与 x(t)的比例系数。根据 r 是常数的基本假 设,t 到 t+Δ 时间内人口的增量为 (1)

x(x+Δ t)-x(t)=rx(t) Δ t

于是 x(t)满足如下的微分方程:
Dx =rx, Dt

x(0)=x0

(2)

六、模型求解 由这个线性常系数微分方程容易解出 x(t)=x0e n 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。 将 t 以年为单位离散化, (3) 式表明, 人口以 e r 为公比的等比数列增长。 因为这时 r 表示年增长率, 通常 r<<1, 所以可用近似关系 e r ? r+1 可得出 x(t) ? x0(1+r) t (4) (3)

由(3)或(4)式给出的模型可以很好地吻合一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区进行预报,结果也十分

可观。 红线为预测人口增长曲线,圆圈为实际人口 程序见 m 文件 指数增长模型.m

七、模型的检验
1998 年由指数增长模型预测出的人口数与实际人口数相差最小, 而其他年份的真实值与预测值之间有差别如下表所示: 预测出的人口数与实际人口数相差比较 年份 实际人口 (万人) 指数增长模型 (万人) 误差

1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850

101654.0 103087.2 104540.5 106014.4 107509.0 109024.7 110561.8 112120.6 113701.3 115304.3 116929.9 118578.5 120250.2

0 79 184 163 2 275 464 583 632 519 241 62 400

1995 1996 1997 1998

121121 122389 123626 124810

121945.6 123664.8 125408.3 127176.4

8255 1276 1782 2366

其中人口的自然增长率为这几年的平均增长率 r=0.014,指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此 模型预测现在中国人口已超过 13 亿,到 2016 年中国人口将超过 15 亿。我们看到,尽管中国人口调控政策比较得 力,但中国近几年处于高生育期,按指数增长模型预测的结果均比实际人口要少。同时由于中国人口调控政策比较 得力,中国人口的自然增长率在逐年下降,已经从 1991 年的千分之十五降到 1998 年的千分之十左右。而按照近几 年的平均增长率 r=0.014 预测,肯定和实际之间有一定的误差。

八、 参考文献
[1] 姜启源.数学模型[M].北京: 高等教育出版社.1987 年 4 月第一版; [2] 胡守信,李柏年.基于 MATLAB 的数学实验[M].北京:科学出版社.2004 年 6 月;

[3] 扬启帆,康旭升,等.数学建模[M].北京: 高等教育出版社.2006 年 5 月;



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