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高中数学 1.1.2《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》 课件一 新人教B版必修2



1.1.2 棱柱、棱锥和棱台 的结构特征(二)

三. 棱锥及相关概念
1.定义:有一个面是多边形,而其余各 面都是有一个公共顶点的三角形,由这些 面围 成的几何体叫做棱锥,如下图所示。

2.相关概念: (1)棱锥中有公共顶点的各三角形叫做 棱锥的侧面,如侧面 SAB、SAE 等; S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱 棱锥

的高

D
E A O B

棱锥的侧面

C
棱锥的底面

(2)各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点, 如顶点S、A、B、C 等; (3)相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧 棱,如侧棱SA、SB等; (4)棱锥中的多边形叫做棱锥的底面, 如底面ABC、ABCDE等; (5)如果棱锥的底面水平放置,则顶点 与过顶点的铅垂线与底面的交点之间的线 段或距离,叫做棱锥的高,如SO.

3. 如何理解棱锥? (1) 棱锥是多面体中的重要一种,它有 两个本质的特征: ①有一个面是多边形; ②其余各面是有一个公共顶 点的三角形,二者缺一不可。 (2)棱锥有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 是棱锥?

4.棱锥的分类: (1)按底面多边形的边数分为三棱锥、 四棱锥、五棱锥等,其中三棱锥又叫四面 体!

三棱锥 (四面体)

四棱锥

五棱锥

(2)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边 形,并且水平放置, 它的顶点又在过正 多边形中心的铅垂线上,则这个棱锥叫做 S 正棱锥!

D

E
A

O
B

C

5.正棱锥的性质: (1)正棱锥的各侧面都是全等的等腰三 角形; (2)等腰三角形底边上的高都相等,叫 做棱锥的斜高! 6.棱锥的表示: (1)用顶点和底面各顶点的字母表示棱 锥:如三棱锥P-ABC,四棱锥S-ABCD. (2)用对角面表示:如四棱锥可以用P- AC表示.

四.棱台及相关概念
1.定义:棱锥被平行于底面的平面所截, 截面和底面间的部分叫做棱台.
上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面

2.相关概念: (1)棱台的下底面、上底面:原棱锥的底 面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面; (2)棱台的侧面:棱台中除上、下底面以 外的面叫做棱台的侧面; (3)棱台的侧棱:相邻两侧面的公共边叫 做棱台的侧棱; (4)棱台的高:当棱台的底面水平放置时, 铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱 台的高。

3.棱台的分类: (1)按底面多边形的边数分为三棱台、 四棱台、五棱台等;

(2)正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做 正棱台。

正棱锥

正四棱台

4.正棱台的性质: (1)各侧棱相等; (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形; (3)正棱台的斜高相等。

5.棱台的表示: 棱台可用表示上、下底面的字母来命名, 如可以记 作 棱 台ABCD-A’B’C’D’, 或 记 作 棱 台AC’.

2.右图中 的几 何体是不是棱台? 为什么?

棱柱、棱锥、棱台之间的关系 棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个 点时形成的空间图形, 棱台则可以看成是用 一个平行于棱锥 底面的平面截棱锥所得到的图形,

要注意的是棱台的各条侧棱延长后,
将会交于一点,即棱台可以还原成棱锥.

例1.有四个命题:① 各侧面是全等的等 腰三角形的四棱锥是正四棱锥;② 底面

是正多边形的棱锥是正棱锥;③ 棱锥的
所有侧面可能都是直角三角形;④ 四棱

锥的四个侧面中可能四个都是直角三角
形。其中正确的命题有 ③④ .

例2. 已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为 16,一条侧棱长为2 11 ,计算它的高和斜 高。 解:设VO为正四棱锥V- ABCD的高,作OM⊥BC于 点M,则M为BC中点, 连接OM、OB,则 VO⊥OM,VO⊥OB.

因为底面正方形ABCD的面积是16,所以 BC=4,MB=OM=2,

OB ? BM ? OM ? 2 2
2 2

又因为VB= 2 11 ,在Rt△VOB 中,由勾股定理得

VO ? VB ? OB
2 2

2 2

? (2 11) ? (2 2) ? 6

在Rt△VOM中,由勾股定理得
VM ? 6 ? 2 ? 2 10
2 2

即正四棱锥的高为6,斜高为 2 10

练习题:
1.能保证棱锥是正棱锥的一个条件是
( C ) (A)底面为正多边形 (B)各侧棱都相等 (C)各侧面与底面都是全等的正三角形 (D)各侧面都是等腰三角形

2.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等, 则该棱锥一定不是( D ) (A)三棱锥 (B)四棱锥

(C)五棱锥 (D)六棱锥

3.过正方体三个顶点的截面截得一个正
三棱锥,若正方体棱长为 a,则截得的正

三棱锥的高为

3 a 3



4.正四面体棱长为 a,M,N为其两条相 对棱的中点,则MN的长是
2 a 2





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