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高中数学


(数学选修 2--3) 第一章 [基础训练 A 组] 一、选择题

计数原理

1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机 各 1 台,则不同的取法共有( ) A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种 3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
3 A. A3 3 B. 4A3 5 2 3 C. A5 ? A3 A3 2 3 1 1 3 D. A2 A3 ? A2 A3 A3

4. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长, 不同的选法总数是( ) A. 20 B. 16 C. 10 D. 6 5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A.男生 2 人,女生 6 人 B.男生 3 人,女生 5 人 C.男生 5 人,女生 3 人 D.男生 6 人,女生 2 人.

?x 1 ? 6.在 ? ? 3 ? 的展开式中的常数项是( x? ?2
A. 7 B. ?7
5

8



C. 28

D. ?28
3

7. (1 ? 2 x) (2 ? x) 的展开式中 x 的项的系数是( A. 120 B. ?120
n



C. 100

D. ?100 )

2? ? 8. ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x ? ?
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360

二、填空题
1.从甲、乙,……,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 法. 甲一定不入选, (2) 共有 种选法. (3) 乙二人至少有一人当选, 甲、 共有 选法. 2. 4 名男生, 4 名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. 3.由 0,1,3,5,7,9 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数. 4.在 ( x ? 3)10 的展开式中, x 的系数是
6

种选 种

.

用心

爱心

专心

-1-

5.在 (1 ? x 2 )20 展开式中,如果第 4r 项和第 r ? 2 项的二项式系数相等, 则r ? , T4r ? .

6.在 1, 2,3,...,9 的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样 的四位数有_________________个?

,4,5 7.用 1 ,
8. 1,5 ,9 从 ,3 ,7

x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x

.

中任取三个数字, 0, 2, 4,6,8 中任取两个数字, 从 组成没有重复数字的五位数,

共有________________个? 三、解答题 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次 手,共握了多少次手?

(2)高二年级数学课外小组 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选 法?②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

(3)有 2, 3, 5, 7,11,13,17,19 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的 商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

2. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头,

(2)甲不排头,也不排尾,

(3)甲、乙、丙三人必须在一起,
用心 爱心 专心

-2-

(4)甲、乙之间有且只有两人,

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,

(6)甲在乙的左边(不一定相邻) ,

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序,

(8)甲不排头,乙不排当中。

4 3 3.解方程 (1) A2 x ? 140 Ax ;

n?1 n?1 n n (2)Cn?3 ? Cn?1 ? Cn?1 ? Cn ?2

4.已知 ? x 2 ?
n

? ?

1? 7 ? 展开式中的二项式系数的和比 (3a ? 2b) 展开式的二项式系数的和大 128 , x?

n

1? ? 求 ? x 2 ? ? 展开式中的系数最大的项和系数量小的项. x? ?

用心

爱心

专心

-3-

(1+x)的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,且 n 等于多少? 5. (1)在

n

(2) ? x x ?

? ?

1 ? ? 的展开式奇数项的二项式系数之和为128 , 3 x?

n

则求展开式中二项式系数最大项。

6 . 已 知 ( 2?

3 5 )0 ? a ? a x ? a 2x? x ? 0 1 2

0 ? 5a 5 x, 中 a0 , a1, a? , a5是 常 数 , 计 算 2 0 0 其

(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a49 )2

数学选修 2-3 第一章

计数原理

[基础训练 A 组]

一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 ? 4 ? 4 ? 64 2.C
1 2 2 1 分两类: (1)甲型 1 台,乙型 2 台: C4C5 ; (2)甲型 2 台,乙型1 台: C4 C5 1 2 2 1 C4C5 ? C4 C5 ? 70

3.C

5 2 3 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A3 A3 , A5 ? A3 A3 为所求 5 2 3

用心

爱心

专心

-4-

4.B 5.B

2 1 2 1 不考虑限制条件有 A5 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A5 ? A4 ? 16 为所求 2 1 3 设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 Cx C8? x A3 ? 90,

即 x( x ? 1)(8 ? x) ? 30 ? 2 ? 3 ? 5, x ? 3
1 4 8? r ? r 8? r x 8? r 1 r r 1 8? r r r 1 8? r r 3 Tr ?1 ? C ( ) (? 3 ) ? (?1) ( ) C8 x ? (?1) ( ) C8 x 3 2 2 2 x r 8

6.A

令8 ? 7.B

4 1 r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1)6 ( )8?6 C86 ? 7 3 2

3 2 (1 ? 2x)5 (2 ? x) ? 2(1 ? 2x)5 ? x(1 ? 2x)5 ? ... ? 2C5 (?2x)3 ? xC5 (?2x)2 ? ... 2 3 ? (4C5 ?16C5 ) x3 ? ... ? ?120x3 ? ...

8.A

只有第六项二项式系数最大,则 n ? 10 ,
r Tr ?1 ? C10 ( x )10?r ( 5 5? r 5 2 r 2 r ) ? 2r C10 x 2 ,令 5 ? r ? 0, r ? 2, T3 ? 4C10 ? 180 2 2 x

二、填空题 1. (1) 10 2. 8640 3. 480 4. 1890
3 (2) 5 C5 ? 10 ;

(3) 14 C54 ? 5 ;

4 4 C6 ? C4 ? 14

4 4 4 4 先排女生有 A6 ,再排男生有 A4 ,共有 A6 ? A4 ? 8640 1 5 1 5 0 既不能排首位,也不能排在末尾,即有 A4 ,其余的有 A5 ,共有 A4 ? A5 ? 480
4 r Tr ?1 ? C10 x10?r (? 3)r ,令 10 ? r ? 6, r ? 4, T5 ? 9C10 x6 ? 1890x6

15 5. 4, ?C20 x30

4 r? 15 15 C20r ?1 ? C20 1, 4r ?1 ? r ? 1 ? 20, r ? 4, T16 ? C20 (? x2 )15 ? ?C20 x30

6. 840 7. 2

2 2 2 2 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有 A5 ,其余的 A7 ,共有 A5 ? A7 ? 840 4 当 x ? 0 时,有 A4 ? 24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1 ? 4 ? 5 ? x

24(1 ? 4 ? 5 ? x) ? 288, x ? 2 ;当 x ? 0 时, 288 不能被10 整除,即无解
8. 11040
3 2 5 不考虑 0 的特殊情况,有 C5 C5 A5 ? 12000, 若 0 在首位,则 C5 C4 A4 ? 960, 3 1 4 3 2 5 3 1 4 C5 C5 A5 ? C5 C4 A4 ? 12000 ? 960 ? 11040

三、解答题
2 1.解: (1)①是排列问题,共通了 A ? 110 封信;②是组合问题,共握手 C11 ? 55 次。 11 2 2 (2)①是排列问题,共有 A2 ? 90 种选法;②是组合问题,共有 C10 ? 45 种选法。 10

用心

爱心

专心

-5-

2 2 (3)①是排列问题,共有 A8 ? 56 个商;②是组合问题,共有 C8 ? 28 个积。 6 6 2.解: (1)甲固定不动,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A6 ? 720 种; 6 1 1 6 (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A5 A6 ? 3600 种; 3 (3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于 5 3 5 5 人的全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 ? 720 种; 2 2 (4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A5 ,甲、乙可以交换有 A2 ,

把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列,
2 2 4 则共有 A5 A2 A4 ? 960 种; 4 (5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排 3 3 4 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 ? 1440 种; 7 (6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) ,占总数的一半,



1 7 A7 ? 2520 种; 2

4 (7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A7 ,留下三个空位,甲、乙、丙三 4 人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 ? 840 7 6 6 (8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A6 ,乙排当中有 A6 ,这样重复了甲排头, 7 6 5 5 乙排当中 A5 一次,即 A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720

?2 x ? 1 ? 4 ?x ? 3 ? 4 3 3.解: (1) A2 x ?1 ? 140 Ax ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)2 x(2 x ? 1)(2 x ? 2) ? 140 x( x ? 1)( x ? 2) ?
?x ? 3 ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 35( x ? 2) ? ?x ? 3 ? ? ?x ? N ?4 x 2 ? 35 x ? 69 ? 0 ?
用心 爱心 专心

-6-

得x ?3
2 2 1 2 2 1 2 2 (2)Cn ?3 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn , Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn 1 2 Cn ? 2 ? Cn , n ? 2 ?

n(n ? 1) ,n ? 4 2
8

1 r 1? ? r 2 8? r r r 16 ?3 r 4.解: 2 ? 2 ? 128, n ? 8 , ? x 2 ? ? 的通项 Tr ?1 ? C8 ( x ) (? ) ? (?1) C8 x x x? ?
n 7

当 r ? 4 时,展开式中的系数最大,即 T5 ? 70x4 为展开式中的系数最大的项; 当 r ? 3, 或5 时,展开式中的系数最小,即 T2 ? ?56x7 , T6 ? ?56x 为展开式中 的系数最小的项。
2 5 5.解: (1)由已知得 Cn ? Cn ? n ? 7 1 3 5 (2)由已知得 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 128, 2n?1 ? 128, n ? 8 ,而展开式中二项式

系数最大项是 T4?1 ? C8 ( x x ) (
4 4

1 4 ) ? 70 x 4 3 x 2 。 3 x

6.解:设 f ( x) ? (2 ? 3x)50 ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ?? a50 ? (2 ? 3)50 令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ??? a50 ? (2 ? 3)50

(a0 ? a2 ? a4 ? ?? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ?? a49 )2 ?

(a0 ? a1 ? a2 ??? a50 )(a0 ? a1 ? a2 ??? a50 ) ? (2 ? 3)50 (2 ? 3)50 ? 1

用心

爱心

专心

-7-


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