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高中数学数列易错题与数列求通项九大类型



小小亲清辅导班

易错题
1.已知 S n 是数列 又 a1

?an ?的前 n 项和,且满足 Sn 2 ? 3n 2 an ? S n?12 ,其中 an ? 0, n ? 2,3,4?,

? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

2.若数列

?an ?是等差

数列,数列 ?bn ?满足

,?bn ? 的前 n 项和为 S n ,已知 3a5 ? 8a12 ? 0 ,试问 n 为何值 bn ? an ? an?1 ? an?2 ( n ? N ? )
时, S n 取得最大值?并证明你的结论。

3.已知等差数列

?an ?的首项 a1 =1,公差 d >0,且第 2 项,第 5 项,第 14 项分别是等比数列 ?bn ?

的第 2 项,第 3 项,第 4 项。 ①求数列 ②设数列

?an ?与 ?bn ?的通项公式; ?an ?对 n ? N ? 均有

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1成立 b1 b2 bn 求:c1 ? c2 ? ? ? c2010

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易错题答案
1.错解:当 n ? 2 时,由已知得 S n 又 an
2

? S n?1 ? 3n 2 an,

2

? S n ? S n?1 ? 0 ,所以 S n ? S n?1 ? 3n 2

于是 S n?2

? S n?1 ? 3(n ? 1) 2 两式相减得,

S n?1 ? S n?1 ? 6n ? 3 ,即 an?1 ? an ? 6n ? 3
于是 an? 2

? an?1 ? 6n ? 9 所以两式相减得 an?2 ? an ? 6 a2 , a4 , a6 ,?, 也成等差数列,公差为 6 ,从而

所以 a1 , a3 , a5 ,? 成等差数列,公差为 6 ,

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,? 成等差数列,公差为 6,
所以, an

? 2 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4
2 2 ? S n?1 ? 3n 2 an, 又 an ? S n ? S n?1 ? 0 ,

正解:当 n ? 2 时,由已知得 S n 所以 S n

? S n?1 ? 3n 2

于是 S n?1 于是 an? 2 又 a3

? S n ? 3(n ? 1) 2 ,两式相减得: S n?1 ? S n?1 ? 6n ? 3 ,即 an?1 ? an ? 6n ? 3
? an?1 ? 6n ? 9 ,所以 an?2 ? an ? 6 ,又 S 2 ? S1 ? 12,所以a2 ? 8

? a2 ? 15,所以 a3 ? 7

则 n ? 2k 时

an ? a2k ? a2 ? (k ? 1) ? 6 ? 6k ? 2
? 6? n ? 2 ? 3n ? 2 2

n ? 2k ? 1时,an ? a2k ?1 ? a3 ? (k ? 1 ) ?6

? 6k ? 1 ? 6 ? ? 3n ? 2

n ?1 ?1 2

? 2 ? a n ? ?3n ? 2 ?3n ? 2 ?

(n ? 1 ) (n为偶数) (n为大于1的奇数)
56 d ?0 5

2.错解:因为 3a5

? 8a12 ? 0 ,

所以3a5 ? 8(a5 ? 7 d ),a5 ? ? 所以d ? 0,,所以a1 ? ?

76 d ?0 5

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可知

?an ?是首项为正数的递减数列。

? ? 76 (n ? 1 )d ?0 ? a ? 0 ?? d ? ? 由? n 即? 5 76 ?a n ?1 ? 0, ? ? d ? nd ? 0 ? 5 ? ? 76 81 ? ? n ? ,又n ? N ? 5 5 ? n ? 16,所以S16 最大.
正解: 当n ? 16 时,a16

? 0,a17 ? 0

所以a1 ? a 2 ? ? ? a16 ? 0 ? a17 ? a18 ? ? 而b15 ? a15 ? a16 ? a17 ? 0,b16 ? a16 ? a17 ? a18 ? 0 所以S14 ? S13 ? ? ? S1,S14 ? S15,S15 ? S16 6 9 又a15 ? ? d ? 0,a18 ? d ? 0, 5 5 且a15 ? a18 所以 b15 ? b16,即b15 ? b16 ? 0, ? S16 ? S14 故S n中S16 最大。
3.解:①由已知有:
a 2 ? 1 ? d,a5 ? 1 ? 4d,a14 ? 1 ? 13d 所以(1 ? 4d ) 2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) 解得:d ? 2 所以 (? d ? 0) a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 q? b3 9 ? ?3 b2 3

又b2 ? a 2 ? 3,b3 ? a5 ? 9 所以公比 所以

bn ? b1 ? q n ?1 ? b2 ? q n ? 2 ? 3 ? 3 n ? 2 ? 3 n ?1

②错解:



c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1 b1 b2 bn c c1 c 2 ? ? ? ? n ?1 ? a n b1 b2 bn ?1



两式相减得: cn ? a n ?1 ? a n ? 2, bn 所以 所以 c n ? 2bn ? 2 ? 3 n ?1 c1 ? c 2 ? ? ? c 2010 ? ? 3 2010 ? 1 2(1 ? 3 2010 ) 1? 3

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②正解:



c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1得 b1 b2 bn

c c c 当n ? 2时,1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? a n b1 b2 bn ?1 两式相减得: n ? 2时, cn ? a n ?1 ? a n ? 2,所以 bn c n ? 2bn ? 2 ? 3 n ?1 c 又n ? 1时,1 ? a 2 b1 所以 从而 所以 c1 ? 3 (n ? 1) ? 3 cn ? ? n ?1 2 ? 3 ( n ? 2) ? c1 ? c 2 ? ? ? c 2010 6(1 ? 3 2009 ) 1? 3 ? 3 ? 3(3 2009 ? 1) ? 3 2010 ? 3? ( n ? 2) 即 c1 ?3 1

总结提高
1. 给出数列的前几项求通项时,常用特征分析法与化归法,所求通项不唯一 2. 由 S n 求 an 时,要分 n =1 和 n ? 2 两种情况 3. 数列是一种特殊函数,因此通过研究数列的函数性质(单调性)来解决数列中的“最大 项”与“和最小”等问题十分有效。 4. 给出 S n 与 an 的递推关系, 要求 an , 常用思路是: 一是利用 S n

? S n?1 ? an ( n ? 2 )

转化为 an 的递推关系, 再求其通项公式; 二是转化为 S n 的递推关系, 先求出 S n 与 n 之 间的关系,再求 an 。

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数列求通项的九种类型
1.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 f(n)为常数,即: a n?1 ? an ? d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 ? (n ? 1)d . (2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 an?1 ? an ? f (n) 得:

n ? 2 时, an ? an?1 ? f (n ? 1) ,

an?1 ? an?2 ? f (n ? 2) ,
??

a3 ? a2 ? f (2)
a 2 ? a1 ? f (1)
所以各式相加得 an ? a1 ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) 即: a n ? a1 ?

? f (k ) .
k ?1

n ?1

为了书写方便,也可用横式来写:

? n ? 2 时, an ? an?1 ? f (n ? 1) , ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
= f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 . 例 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

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例 2.已知数列{an}满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) ,证明 a n ? 证明:由已知得: an ? an?1 ? 3n?1 , 故

3n ? 1 2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
=3
n ?1

? 3n?2 ? ? ? 3 ? 1 ?

3n ? 1 . 2

? an ?

3n ? 1 . 2

例 3 .已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) 写出数列 ?an ? 的通项公式 . 答案: n ? n ? 1
2

例 4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a n ? a n ?1 ? 答案: a n ? 2 ?

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n(n ? 1)

1 n

评注:已知 a1 ? a , an?1 ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指 数函数、分式函数,求通项 a n . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 例 5、已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ?

1 n (a n ? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 2 an

解:由已知 S n ?

1 n 1 n (a n ? ) 得 S n ? ( S n ? S n ?1 ? ), 2 an 2 S n ? S n ?1

2 2 2 2 化简有 S n ? Sn ?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以 S n ?
2

n(n ? 1) ,又 a n ? 0 , s n ? 2

2n(n ? 1) , 2

则 an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

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2.形如

a n ?1 ? f ( n) 型 an a n ?1 ,此时数列为等比数列, ? q (其中 q 是不为 0 的常数) an

(1)当 f(n)为常数,即:

a n = a1 ? q n?1 .
(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n ?1 ? f ( n) 得 an

n ? 2 时,

an ? f (n ? 1) , a n ?1

? an ?

a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 =f(n)f(n-1) ? ? f (1) ? a1 . a n ?1 a n ?2 a1

2 2 例 1.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an 2, 3,?) , ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0( n =1,

则它的通项公式是 an =________. 解:已知等式可化为: (an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0

? a n ? 0 ( n ? N * )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 , ? n ? 2 时,
an n ?1 ? a n ?1 n



a n ?1 n ? an n ?1

? an ?

a n a n ?1 a n ?1 n ? 2 1 1 ? ?? ?1= . ? ? ? ? 2 ? a1 = n n ?1 2 n a n ?1 a n ?2 a1

评注:本题是关于 a n 和 a n ?1 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式) 得到 a n 与 a n ?1 的更为明显的关系式,从而求出 a n . 例 2.已知 an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式. 解: 因为 an?1 ? nan ? n ? 1, 所以 an?1 ? 1 ? nan ? n, 故 a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 又因为 a1 ? ?1 , 即 a1 ? 1 ? 0 , 所 以 由 上 式 可 知 an ? 1 ? 0 , 所 以

a n ?1 ? 1 ?n , 故 由 累 乘 法 得 an ? 1

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an ? 1 ?

a n ? 1 a n ?1 ? 1 a ? 1 a2 ? 1 ? ??? 3 ? ? (a1 ? 1) a n ?1 ? 1 a n ?2 ? 1 a 2 ? 1 a1 ? 1

= (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1 ? (a1 ? 1) ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) 所以 a n ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) -1. 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 a n ?1 ? nan ? n ? 1, 转化为

a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 若令 bn ? a n ? 1,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式,进而应用累乘
法求出数列的通项公式. 3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周 期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加 来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通 项. 例 1. 数列{ a n }满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列{an}的通项公式. 分析 1:构造 转化为 an?1 ? an ? f (n) 型 解法 1:令 bn ? (?1) n an 则 bn?1 ? bn ? (?1) n?1 an?1 ? (?1) n an ? (?1) n?1 (an?1 ? an ) ? (?1) n?1 ? 2n .

n?2



,

?bn ? bn ?1 ? (?1) n ? 2(n ? 1) ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2 ? (?1) ? 2(n ? 2) ? ??? ?b ? b ? (?1) 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ?b1 ? ?a1 ? 0 ?
n?1







加: bn ? 2 (?1) (n ? 1) ? (?1)
n

?

(n ? 2) ? ? ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 2 ? 1

?

当 n 为偶数时, bn ? 2?(n ? 1) ? (?1) ?

? ?

n ? 2? ? n . 此时 an ? bn ? n 当 n 为奇数时, 2 ? ?

bn ? 2(?

n ?1 ) ? ?n ? 1 2

此 时 bn ? ?a n , 所 以 a n ? n ? 1 . 故

?n ? 1, n为奇数, 解 法 2 : an ? ? ?n, n为偶数.

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? an?1 ? an ? 2n ? n ? 2 时, a n ? a n?1 ? 2(n ? 1) ,两式相减得: an?1 ? an?1 ? 2 . ? a1 , a3 , a5 , ?, 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列;
a2 , a4 , a6 , ?, 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列

? a2k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2
?n ? 1, n为奇数, ? an ? ? ?n, n为偶数.
1 2

a2k ? a2 ? (k ?1)d ? 2k .
评注:结果要还原成 n 的表达式.

例 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足
n ?1 Sn-Sn-2=3 (? ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ?

解:方法一:因为 S n ? S n ?2 以下同例 1,略

3 , 求数列{an}的通项公式. 2 1 ? an ? an?1所以 an ? an?1 ? 3 ? (? ) n?1 (n ? 3), 2

答案

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数, ? ? 2 an ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?

4.形如 a n?1 ? a n ? f (n) 型 (1)若 a n ?1 ? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期 为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 an ? an?1 ? f (n ?1) ,两式相除后, 分奇偶项来分求通项. 例 1. 已知数列 {an }满足 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) , ( n ? N ) ,求此数列的通项公式.
n *

1 2

注:同上例类似,略. 5.形如 a n?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型 (1)若 c=1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数 列来求.

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方法如下:设 an?1 ? ? ? c(an ? ? ) , 得 an?1 ? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得

(c ? 1)? ? d ,所以 ? ?
因此数列 ?a n ? 所以 a n ?

d d d , (c ? 0) 所以有: a n ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1

? ?

d d ? 为首项,以 c 为公比的等比数列, ? 构成以 a1 ? c ?1 c ? 1?
即: a n ? (a1 ?

d d ) ? c n ?1 ? . c ?1 c ?1 d d ? c(a n ? ) ,构造成公比为 c 的等比 规律: 将递推关系 a n?1 ? can ? d 化为 a n ?1 ? c ?1 c ?1 d d d } 从而求得通项公式 a n ?1 ? ? c n ?1 (a1 ? ) 数列 {a n ? c ?1 1? c c ?1
有时我们从递推关系 a n?1 ? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 a n ? can?1 ? d ,两式相减有

d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1

an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列 {an?1 ? an } ,进而求得通项公式.

an?1 ? an ? c n (a2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例 1.已知数列 {an } 中, a1 ? 2, a n ?1 ? 构造新的等比数列。

1 1 d a n ? , 求通项 a n .分析:两边直接加上 , 2 2 c ?1

1 1 1 a n ? , 得 a n ?1 ? 1 ? (a n ? 1) , 2 2 2 1 所以数列 {a n ? 1} 构成以 a1 ? 1 ? 1 为首项,以 为公比的等比数列 2 1 n ?1 1 n ?1 ?1. 所以 a n ? 1 ? ( ) ,即 a n ? ( ) 2 2
解:由 a n ?1 ? 方法二:由 an?1 ? can ? d ,

? n ? 2 时, an ? can?1 ? d ,
a n ?1 ? a n ?c, a n ? a n ?1

两式相减得 an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) ?

数列 {an ? an?1 } 是以 a 2 ? a1 = (c ? 1)a1 ? d 为首项,以 c 为公比的等比数列.

a n ? a n ?1 ? (a 2 ? a1 ) ? c n ? 2 ? ? a n ?1 ? a n ? 2 ? (a 2 ? a1 ) ? c n ?3 ? ? ? ?? ? ? an ? a1 ? (a2 ? a1 )(1 ? c ? ? ? cn?2 ) ? a 3 ? a 2 ? (a 2 ? a1 ) ? c ? a 2 ? a1 ? a 2 ? a1 ? ?

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=( a 2 ? a1 ) ?

1 ? c n ?1 1? c

? a n ? (a ?

d d )c n ?1 ? . c ?1 c ?1

方法三:迭代法 由 递推式 an?1 ? can ? d , 直接迭代得 an ? can?1 ? d ? c(can?2 ? d ) ? d ? c 2 an?2 ? d (c ? 1) = =

c 3 an?3 ? d (1 ? c ? c 2 ) ? ?
(a ?

=

c n?1a1 ? d (1 ? c ? c 2 ? ? ? c n?2 )
.

d d )c n ?1 ? c ?1 c ?1

方法四:归纳、猜想、证明. 先计算出 a1 , a 2 , a3 ,再猜想出通项 a n ,最后用数学归纳法证明. 注:请用这三种方法来解例题,体会并比较它们的不同. 6.形如 a n?1 ? pan ? f (n) 型 (1)若 f (n) ? kn ? b (其中 k,b 是常数,且 k ? 0 ) 方法:相减法 例1. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a n?1 ? 3a n ? 2n, 求通项 a n . ①

解:? , a n ?1 ? 3a n ? 2n,

? n ? 2 时, an ? 3an?1 ? 2(n ?1) ,
两式相减得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 .令 bn ? a n?1 ? a n ,则 bn ? 3bn?1 ? 2 利用类型 5 的方法知 bn ? 5 ? 3n?1 ? 2 再由累加法可得 a n ? 即

an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ? 1



5 n ?1 1 5 1 ? 3 ? n ? . 亦可联立 ① ②解出 a n ? ? 3 n ?1 ? n ? . 2 2 2 2 3 例 2. 在数列 { an } 中, a1 ? ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 ,求通项 an . 2
解:原递推式可化为 2(an ? xn ? y) ? an?1 ? x(n ? 1) ? ? y 比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2bn ? bn?1

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所以 ?bn ?是一个等比数列, 首项 b1 ? a1 ? 6n ? 9 ?

9 1 9 1 n ?1 ,公比为 . ? bn ? ( ) 2 2 2 2

即:

1 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) n 2 1 n 故 a n ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 . 2
(2)若 f (n) ? q n (其中 q 是常数,且 n ? 0,1) ①若 p=1 时,即: a n?1 ? an ? q n ,累加即可. ②若 p ? 1 时,即: a n?1 ? p ? an ? q n , 求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p n ?1 . 即: 通项. ii.两边同除以 q n?1 . 即:

a n ?1 p
n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n 1 p n ,则 bn ?1 ? bn ? ? ( ) ,然后类型 1,累加求 ? ( ) ,令 bn ? n p q p q p

a n ?1 q
n ?1

?

p an 1 ? ? , q qn q

令 bn ?

an q
n

,则可化为 bn ?1 ?

p 1 ? bn ? .然后转化为类型 5 来解, q q

iii.待定系数法: 设 a n?1 ?? ? q n?1 ? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项. 例 1. 设 a0 为 常 数 , 且 an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? N ) . 证 明 对 任 意 n ≥ 1 ,

1 an ? [3n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 ; 5
证 法 1 : 两 边 同 除 以 ( -2 )
n

,得

an (?2)
n

?

a n ?1 (?2)
n ?1

?

a 1 3 ? (? ) n 令 bn ? n n , 则 3 2 (?2)

bn ? bn ?1 ?

1 3 ? (? ) n 3 2

? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
1? 3 n 3 n ?1 3 ? a 1 = ?(? ) ? (? ) ? ? ? (? ) 2 ? ? 1 = ? 3? 2 2 2 ? ?2 3
=? ?

3 3 (? ) 2 [1 ? (? ) n ?1 ] 1 2 2 ? (1 ? 2a 0 ) 3 2 1 ? (? ) 2

1 3 [( ? ) n ? 1] ? a 0 5 2

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1 ? an ? (?2) n bn ? ? ? [3 n ? (?1) n ?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a 0 . 5
证 法 2 : 由 an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? N ) 得 bn? ? 所以 ?bn ? 则

an 3
n

?

an 1 2 a n ?1 ? ? n ?1 . 设 bn ? n ,则 3 3 3 3

2 1 1 2 1 bn ?1 ? . 即: bn ? ? ? (bn ?1 ? ) , 3 3 5 3 5
1 2 1 2 1? ? 是以 b1 ? ? ( ? a 0 ) 为首项, ? 为公比的等比数列. 5 3 5 3 5?

? ?

bn ?

1 2 1 2 ? ( ? a 0 )( ? ) n ?1 5 3 5 3

=

(

1 2 ? a 0 )( ?1) n ?1 ( ) n 5 3

,





1 2 1 ? bn ? ( ? a 0 )(?1) n ?1 ( ) n ? , 5 3 5 3
n

an

故 an ? [3n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 . 评注:本题的关键是两边同除以 3 ,进而转化为类型 5,构造出新的等比数列,从而将求 一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 证法 3:用待定系数法 设 an ? ? ? 3n ? ?2(an?1 ? ? ? 3n?1 ) , 即: an ? ?2an?1 ? 5? ? 3n?1 , 比较系数得: ? 5? ? 1 ,所以 ? ? ?
n

1 5

1 5

所以 a n ?

1 n 1 ? 3 ? ?2(a n ?1 ? ? 3 n ?1 ) , 5 5

3n ? 3 所以数列 ? ?a n ? ? 是公比为-2,首项为 a1 ? 的等比数列. ? 5?
5

? an ?

3n 3 ? (1 ? 2a0 ? )(?2) n ?1 (n ? N ). 5 5 方法 4:本题也可用数学归纳法证.

即 an ? [3n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 .

1 5

(i)当 n=1 时,由已知 a1=1-2a0,等式成立; ( ii)假设当 n=k(k≥1)等式成立,则 a k ? 那么 a k ?1 ? 3 ? 2a k ? 3 ?
k k

1 k [3 ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2a 0 , 5

2 k [3 ? (?1) k ?1 2 k ] ? (?1) k 2 k ?1 a0 5

1 ? [3 k ?1 ? (?1) k 2 k ?1 ] ? (?1) k ?1 2 k ?1 a 0 . 5
也就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 根据(i)和(ii) ,可知等式对任何 n∈N,成 立. 规律: a n?1 ? pan ? f (n) 方法不同. 类型共同的规律为:两边同除以 p
n ?1

,累加求和,只是求和的

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7.形如 a n ?1 ?

pan ? q 型 ra n ? s pan ?1 ra n ?1 ? s
取倒数法.

(1) p, r , s ? 0, q ? 0 即 a n ?

例 1. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a n ?

a n ?1 (n ? 2) ,求通项公式 an 。 2a n ?1 ? 1
? 1 1 3 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? a n a1 2 2 . 4n ? 3

解:取倒数:

1 1 1 1 ? ?2? ? ?2 a n a n?1 a n a n ?1

? an ?

例 2.(湖北卷)已知不等式

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中 n 为大于 2 的整数,[log2 n] 2 3 n 2

n 的 最 大 整 数 . 设 数 列 {an } 的 各 项 为 正 , 且 满 足 表 示 不 超 过 l o 2g
a1 ? b(b ? 0), an ?


nan?1 , n ? 2,3,4,? n ? an?1
Ⅰ ) 证 明

an ?

2b , n ? 3,4,5,? 2 ? b[log2 n]

分析:本题看似是不等式问题,实质就是求通项问题. 证:∵当 n ? 2时,0 ? an ?

nan?1 1 n ? an?1 1 1 ,? ? ? ? , n ? an?1 an nan?1 an?1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . a2 a1 2 a3 a2 3 an an?1 n 1 1 1 1 1 当 n≥3 时有, ? ? ? ? ? ? . 由已知不等式知, an a1 2 3 n



1 1 1 ? ? , a n a n?1 n

于是有

所有不等式两边相加可得

1 1 1 ? ? [log2 n]. a n a1 2
∵ a1 ? b,?

2 ? b[log2 n] 1 1 1 ? ? [log2 n] ? . an b 2 2b

an ?

2b . 2 ? b[log2 n]

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评注:本题结合不等式的性质,从两边取倒数入手,再通过裂项求和即可证得. 2.形如 a n ?1 ?

m an ? p (m, p, q为定值) 型 an ? q

方法:不动点法:

我 们 设 f ( x) ?

m an ? p m x? p , 由 方 程 f ( x) ? x 求 得 二 根 x,y, 由 a n ?1 ? 有 x?q an ? q
同 理

an?1 ? x ?

m an ? p m x ? p m q ? p an ? x ? ? ? an ? q x?q x ? q an ? q

an?1 ? y ?

m an ? p m y ? p m q ? p an ? y a ? x y ? q an ? x ,两式相除有 n ?1 , ? ? ? ? ? an ? q y?q y ? q an ? q an?1? y x ? q an ? y

从而得

a n ?1 ? x y ? q n ?1 a1 ? x ,再解出 an 即可. ?( ) ? a n ?1 ? y x?q a1 ? y 5a n ? 4 ,求{an}的通项公式. 2a n ? 7

例 1. 设数列{an}满足 a1 ? 2, a n ?1 ?

分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数 t,得:

a n ?1

7t ? 4 5a ? 4 (2t ? 5)a n ? 7t 2t ? 5 , ?t ? n ?t ? ? (2t ? 5) 2a n ? 7 2a n ? 7 2a n ? 7 an ?
7t ? 4 , 解之得 t=1,-2 2t ? 5
代入 a n ?1 ? t ? (2t ? 5)

令t ?

an ? t 得 2a n ? 7

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 a ?2 , a n ?1 ? 2 ? 9 n , 2a n ? 7 2a n ? 7

相除得

a n ?1 ? 1 1 a n ? 1 a ?1 a ?1 1 ,即{ n }是首项为 1 ? ? ? , a n ?1 ? 2 3 a n ? 2 an ? 2 a1 ? 2 4

a n ? 1 1 1? n 1 4 ? 3 n ?1 ? 2 公比为 的等比数列, = ? 3 , 解得 a n ? . 3 an ? 2 4 4 ? 3 n ?1 ? 1
方法 2: ?,

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 , 2a n ? 7 1 a n ?1 ? 1 ? 2a n ? 7 2(a n ? 1) ? 9 2 3 , ? ? ? 3(a n ? 1) 3(a n ? 1) 3 an ? 1

两边取倒数得

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令 bn?

1 ,则 b n ? an ? 1

2 ? 3bn , ?, 转化为类型 5 来求. 3

8.形如 an?1 ? pan ? qan?1 (其中 p,q 为常数)型 (1)当 p+q=1 时 用转化法

例 1.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 解:把 an? 2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 变形为 an? 2 ? an?1 ? 3(an?1 ? an ) . 则数列 ?a n ?1 ? a n ?是以 a 2 ? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则

an?1 ? an ? ?6 ? 3n?1
(2)当 p 2 ? 4q ? 0 时

利用类型 6 的方法可得 用待定系数法.

an ? 11 ? 3n .

例 2. 已知数列 { an } 满足 an? 2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 ,且 a1 ? 1, a 2 ? 5 ,且满足,求 an . 解:令 a n? 2 ? xan?1 ? y(a n?1 ? xan ) ,即 an? 2 ? ( x ? y)an?1 ? xyan ? 0 ,与已知

?x ? y ? 5 ?x ? 2 ?x ? 3 ,故 ? 或? an?2 ? 5an?1 ? 6an ? 0 比较,则有 ? ? xy ? 6 ?y ? 3 ?y ? 2
下面我们取其中一组 ?

?x ? 2 来运算,即有 a n? 2 ?2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) , ?y ? 3

则数列 ?a n?1 ? 2a n ?是以 a 2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,故

an?1 ? 2an ? 3 ? 3n?1 ? 3n ,即 an?1 ? 2an ? 3n ,利用类型

的方法,可得 a n ? 3n ? 2 n .

评注: 形如 an?2 ? aan?1 ? ban 的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种 方 法 比 较 复 杂 , 我 们 采 用 特 征 根 的 方 法 : 设 方 程 ( x ? a) x ? b 的 二 根 为 ? , ? , 设

an ? p ? ? n ? q ? ? n ,再利用 a1 , a 2 的值求得 p,q 的值即可.
r 9. 形如 a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

(1)p>0, a n ? 0

用对数法.
2 a a a a

例 1. 设正项数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n?1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式. 解:两边取对数得: log2n ? 1 ? 2 log2n?1 , log2n ? 1 ? 2(log2n?1 ? 1) ,设 bn ? log2n ? 1 ,
a

则 bn ? 2bn?1

?bn ? 是 以

2 为 公 比 的 等 比 数 列 , b1 ? log2 ? 1 ? 1
1
n ?1

a n?1 n , log2n ? 2 n?1 ? 1 ,∴ a n ? 2 2 bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 , loga 2 ?1? 2

?1

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练 习 数 列 ?a n ? 中 , a1 ? 1 , a n ? 2 a n ?1 ( n ≥ 2 ) , 求 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式 . 答案: a n ? 2 2? 2 (2)p<0 时
2?n

用迭代法.

例 1.已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; 解: (1)略(2)a n ?1 ?

1 a n (4 ? a n ), n ? N , 2

(2)求数列 {an } 的通项公式 an.

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2 ??? 2 2 2 又 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ( ? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 n ?1 1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 . bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2 2 1 2 方法 2: 本题用归纳-猜想-证明, 也很简捷, 请试一试.解法 3: 设 c n ? ?bn , 则 c n ? c n ?1 , 2
2 n ?1 n

转化为上面类型(1)来解.



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