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高中数学数列易错题与数列求通项九大类型



小小亲清辅导班

易错题
1.已知 S n 是数列 又 a1

?an ?的前 n 项和,且满足 Sn 2 ? 3n 2 an ? S n?12 ,其中 an ? 0, n ? 2,3,4?,

? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

2.若数列

?an ?是等差

数列,数列 ?bn ?满足

,?bn ? 的前 n 项和为 S n ,已知 3a5 ? 8a12 ? 0 ,试问 n 为何值 bn ? an ? an?1 ? an?2 ( n ? N ? )
时, S n 取得最大值?并证明你的结论。

3.已知等差数列

?an ?的首项 a1 =1,公差 d >0,且第 2 项,第 5 项,第 14 项分别是等比数列 ?bn ?

的第 2 项,第 3 项,第 4 项。 ①求数列 ②设数列

?an ?与 ?bn ?的通项公式; ?an ?对 n ? N ? 均有

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1成立 b1 b2 bn 求:c1 ? c2 ? ? ? c2010

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易错题答案
1.错解:当 n ? 2 时,由已知得 S n 又 an
2

? S n?1 ? 3n 2 an,

2

? S n ? S n?1 ? 0 ,所以 S n ? S n?1 ? 3n 2

于是 S n?2

? S n?1 ? 3(n ? 1) 2 两式相减得,

S n?1 ? S n?1 ? 6n ? 3 ,即 an?1 ? an ? 6n ? 3
于是 an? 2

? an?1 ? 6n ? 9 所以两式相减得 an?2 ? an ? 6 a2 , a4 , a6 ,?, 也成等差数列,公差为 6 ,从而

所以 a1 , a3 , a5 ,? 成等差数列,公差为 6 ,

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,? 成等差数列,公差为 6,
所以, an

? 2 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4
2 2 ? S n?1 ? 3n 2 an, 又 an ? S n ? S n?1 ? 0 ,

正解:当 n ? 2 时,由已知得 S n 所以 S n

? S n?1 ? 3n 2

于是 S n?1 于是 an? 2 又 a3

? S n ? 3(n ? 1) 2 ,两式相减得: S n?1 ? S n?1 ? 6n ? 3 ,即 an?1 ? an ? 6n ? 3
? an?1 ? 6n ? 9 ,所以 an?2 ? an ? 6 ,又 S 2 ? S1 ? 12,所以a2 ? 8

? a2 ? 15,所以 a3 ? 7

则 n ? 2k 时

an ? a2k ? a2 ? (k ? 1) ? 6 ? 6k ? 2
? 6? n ? 2 ? 3n ? 2 2

n ? 2k ? 1时,an ? a2k ?1 ? a3 ? (k ? 1 ) ?6

? 6k ? 1 ? 6 ? ? 3n ? 2

n ?1 ?1 2

? 2 ? a n ? ?3n ? 2 ?3n ? 2 ?

(n ? 1 ) (n为偶数) (n为大于1的奇数)
56 d ?0 5

2.错解:因为 3a5

? 8a12 ? 0 ,

所以3a5 ? 8(a5 ? 7 d ),a5 ? ? 所以d ? 0,,所以a1 ? ?

76 d ?0 5

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可知

?an ?是首项为正数的递减数列。

? ? 76 (n ? 1 )d ?0 ? a ? 0 ?? d ? ? 由? n 即? 5 76 ?a n ?1 ? 0, ? ? d ? nd ? 0 ? 5 ? ? 76 81 ? ? n ? ,又n ? N ? 5 5 ? n ? 16,所以S16 最大.
正解: 当n ? 16 时,a16

? 0,a17 ? 0

所以a1 ? a 2 ? ? ? a16 ? 0 ? a17 ? a18 ? ? 而b15 ? a15 ? a16 ? a17 ? 0,b16 ? a16 ? a17 ? a18 ? 0 所以S14 ? S13 ? ? ? S1,S14 ? S15,S15 ? S16 6 9 又a15 ? ? d ? 0,a18 ? d ? 0, 5 5 且a15 ? a18 所以 b15 ? b16,即b15 ? b16 ? 0, ? S16 ? S14 故S n中S16 最大。
3.解:①由已知有:
a 2 ? 1 ? d,a5 ? 1 ? 4d,a14 ? 1 ? 13d 所以(1 ? 4d ) 2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) 解得:d ? 2 所以 (? d ? 0) a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 q? b3 9 ? ?3 b2 3

又b2 ? a 2 ? 3,b3 ? a5 ? 9 所以公比 所以

bn ? b1 ? q n ?1 ? b2 ? q n ? 2 ? 3 ? 3 n ? 2 ? 3 n ?1

②错解:



c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1 b1 b2 bn c c1 c 2 ? ? ? ? n ?1 ? a n b1 b2 bn ?1



两式相减得: cn ? a n ?1 ? a n ? 2, bn 所以 所以 c n ? 2bn ? 2 ? 3 n ?1 c1 ? c 2 ? ? ? c 2010 ? ? 3 2010 ? 1 2(1 ? 3 2010 ) 1? 3

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②正解:



c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1得 b1 b2 bn

c c c 当n ? 2时,1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? a n b1 b2 bn ?1 两式相减得: n ? 2时, cn ? a n ?1 ? a n ? 2,所以 bn c n ? 2bn ? 2 ? 3 n ?1 c 又n ? 1时,1 ? a 2 b1 所以 从而 所以 c1 ? 3 (n ? 1) ? 3 cn ? ? n ?1 2 ? 3 ( n ? 2) ? c1 ? c 2 ? ? ? c 2010 6(1 ? 3 2009 ) 1? 3 ? 3 ? 3(3 2009 ? 1) ? 3 2010 ? 3? ( n ? 2) 即 c1 ?3 1

总结提高
1. 给出数列的前几项求通项时,常用特征分析法与化归法,所求通项不唯一 2. 由 S n 求 an 时,要分 n =1 和 n ? 2 两种情况 3. 数列是一种特殊函数,因此通过研究数列的函数性质(单调性)来解决数列中的“最大 项”与“和最小”等问题十分有效。 4. 给出 S n 与 an 的递推关系, 要求 an , 常用思路是: 一是利用 S n

? S n?1 ? an ( n ? 2 )

转化为 an 的递推关系, 再求其通项公式; 二是转化为 S n 的递推关系, 先求出 S n 与 n 之 间的关系,再求 an 。

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数列求通项的九种类型
1.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 f(n)为常数,即: a n?1 ? an ? d ,此时数列为等差数列,则 a n = a1 ? (n ? 1)d . (2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 an?1 ? an ? f (n) 得:

n ? 2 时, an ? an?1 ? f (n ? 1) ,

an?1 ? an?2 ? f (n ? 2) ,
??

a3 ? a2 ? f (2)
a 2 ? a1 ? f (1)
所以各式相加得 an ? a1 ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) 即: a n ? a1 ?

? f (k ) .
k ?1

n ?1

为了书写方便,也可用横式来写:

? n ? 2 时, an ? an?1 ? f (n ? 1) , ? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
= f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 . 例 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。

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例 2.已知数列{an}满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 (n ? 2) ,证明 a n ? 证明:由已知得: an ? an?1 ? 3n?1 , 故

3n ? 1 2

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1
=3
n ?1

? 3n?2 ? ? ? 3 ? 1 ?

3n ? 1 . 2

? an ?

3n ? 1 . 2

例 3 .已知数列 ?an ? 的首项为 1 ,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N * ) 写出数列 ?an ? 的通项公式 . 答案: n ? n ? 1
2

例 4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a n ? a n ?1 ? 答案: a n ? 2 ?

1 (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n(n ? 1)

1 n

评注:已知 a1 ? a , an?1 ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指 数函数、分式函数,求通项 a n . ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 例 5、已知数列 {an } 中, an ? 0 且 S n ?

1 n (a n ? ) ,求数列 {an } 的通项公式. 2 an

解:由已知 S n ?

1 n 1 n (a n ? ) 得 S n ? ( S n ? S n ?1 ? ), 2 an 2 S n ? S n ?1

2 2 2 2 化简有 S n ? Sn ?1 ? n ,由类型(1)有 S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,

又 S1 ? a1 得 a1 ? 1 ,所以 S n ?
2

n(n ? 1) ,又 a n ? 0 , s n ? 2

2n(n ? 1) , 2

则 an ?

2n(n ? 1) ? 2n(n ? 1) 2

此题也可以用数学归纳法来求解.

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2.形如

a n ?1 ? f ( n) 型 an a n ?1 ,此时数列为等比数列, ? q (其中 q 是不为 0 的常数) an

(1)当 f(n)为常数,即:

a n = a1 ? q n?1 .
(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由

a n ?1 ? f ( n) 得 an

n ? 2 时,

an ? f (n ? 1) , a n ?1

? an ?

a n a n ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 =f(n)f(n-1) ? ? f (1) ? a1 . a n ?1 a n ?2 a1

2 2 例 1.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an 2, 3,?) , ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0( n =1,

则它的通项公式是 an =________. 解:已知等式可化为: (an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0

? a n ? 0 ( n ? N * )? (n+1) a n?1 ? nan ? 0 , ? n ? 2 时,
an n ?1 ? a n ?1 n



a n ?1 n ? an n ?1

? an ?

a n a n ?1 a n ?1 n ? 2 1 1 ? ?? ?1= . ? ? ? ? 2 ? a1 = n n ?1 2 n a n ?1 a n ?2 a1

评注:本题是关于 a n 和 a n ?1 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式) 得到 a n 与 a n ?1 的更为明显的关系式,从而求出 a n . 例 2.已知 an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式. 解: 因为 an?1 ? nan ? n ? 1, 所以 an?1 ? 1 ? nan ? n, 故 a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 又因为 a1 ? ?1 , 即 a1 ? 1 ? 0 , 所 以 由 上 式 可 知 an ? 1 ? 0 , 所 以

a n ?1 ? 1 ?n , 故 由 累 乘 法 得 an ? 1

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an ? 1 ?

a n ? 1 a n ?1 ? 1 a ? 1 a2 ? 1 ? ??? 3 ? ? (a1 ? 1) a n ?1 ? 1 a n ?2 ? 1 a 2 ? 1 a1 ? 1

= (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1 ? (a1 ? 1) ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) 所以 a n ? (n ? 1)! ?(a1 ? 1) -1. 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 a n ?1 ? nan ? n ? 1, 转化为

a n?1 ? 1 ? n(a n ? 1), 若令 bn ? a n ? 1,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式,进而应用累乘
法求出数列的通项公式. 3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周 期为 2,其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加 来求出通项;或用逐差法(两式相减)得 an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通 项. 例 1. 数列{ a n }满足 a1 ? 0 , a n?1 ? a n ? 2n ,求数列{an}的通项公式. 分析 1:构造 转化为 an?1 ? an ? f (n) 型 解法 1:令 bn ? (?1) n an 则 bn?1 ? bn ? (?1) n?1 an?1 ? (?1) n an ? (?1) n?1 (an?1 ? an ) ? (?1) n?1 ? 2n .

n?2



,

?bn ? bn ?1 ? (?1) n ? 2(n ? 1) ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2 ? (?1) ? 2(n ? 2) ? ??? ?b ? b ? (?1) 2 ? 2 ? 1 1 ? 2 ?b1 ? ?a1 ? 0 ?
n?1







加: bn ? 2 (?1) (n ? 1) ? (?1)
n

?

(n ? 2) ? ? ? (?1) 3 ? 2 ? (?1) 2 ? 1

?

当 n 为偶数时, bn ? 2?(n ? 1) ? (?1) ?

? ?

n ? 2? ? n . 此时 an ? bn ? n 当 n 为奇数时, 2 ? ?

bn ? 2(?

n ?1 ) ? ?n ? 1 2

此 时 bn ? ?a n , 所 以 a n ? n ? 1 . 故

?n ? 1, n为奇数, 解 法 2 : an ? ? ?n, n为偶数.

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? an?1 ? an ? 2n ? n ? 2 时, a n ? a n?1 ? 2(n ? 1) ,两式相减得: an?1 ? an?1 ? 2 . ? a1 , a3 , a5 , ?, 构成以 a1 ,为首项,以 2 为公差的等差数列;
a2 , a4 , a6 , ?, 构成以 a 2 ,为首项,以 2 为公差的等差数列

? a2k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2
?n ? 1, n为奇数, ? an ? ? ?n, n为偶数.
1 2

a2k ? a2 ? (k ?1)d ? 2k .
评注:结果要还原成 n 的表达式.

例 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足
n ?1 Sn-Sn-2=3 (? ) (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ?

解:方法一:因为 S n ? S n ?2 以下同例 1,略

3 , 求数列{an}的通项公式. 2 1 ? an ? an?1所以 an ? an?1 ? 3 ? (? ) n?1 (n ? 3), 2

答案

1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数,