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2014高三数学总复习3-3导数的实际应用 57张(人教A版) 2



第三章

导数及其应用

第三章
第三节 导数的实际应用

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业
<

br /> 基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:利用导数解决实际问题中的优化问题. 难点:如何建立数学模型,借助导数求最值.

夯实基础

稳固根基

利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数 学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f ′(x),解方程 f ′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小, 最大(小) 者为最大(小)值.

疑难误区

点拨警示

(1)在求实际问题的最大(小)值时, 一定要注意考虑实际问 题的意义,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点 使 f ′(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不 与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.

(3)生活中,经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 等问题, 这些问题通常称为优化问题. 在解决实际优化问题中, 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示, 还应确定函数关系式中自变量的定义区间.

思想方法技巧

1.运用导数可以求曲线的切线的斜率、切线方程,研究 函数的单调性,确定函数的极值与最值.讨论方程根的分布, 证明不等式等等.其中讨论参数的取值范围,确定根的个数、 证明不等式等问题, 其实质都是要转化成函数的单调性、 极(最) 值,其关键环节都是“求导→解不等式→找出单调区间”.

2.注意极值与最值的区别,极值是局部性质,最值是整 个定义域上的性质,最值点通常是极值点、区间端点和不可 导点;极大值不一定是最大值,极大值也不一定比极小值 大. 3.实际问题中,若存在极值点,一般都是最值点.

考点典例讲练

用料、费用最省问题

[例1]

统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小

时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为 1 3 3 y= 128000 x - 80 x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100km. (1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 要耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗 油最少?最少为多少升?

100 解析:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了 = 40
? ? 1 3 3 2.5(h),耗油?128000×40 -80×40+8?×2.5=17.5(L). ? ?

答:当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 耗油17.5L.

100 (2)当速度为xkm/h时,汽车从甲地到乙地行驶了 h, x 设耗油量为f(x)L.
? ? 100 1 3 3 依题意得f(x)=?128000x -80x+8?·x ? ?

1 2 800 15 =1280x + x - 4 (0<x≤120),
3 3 x 800 x -80 f ′(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120).

令f ′(x)=0,得x=80. 当x∈(0,80)时,f ′(x)<0,f(x)是减函数;

当x∈(80,120]时,f ′(x)>0,f(x)是增函数. ∴当x=80时,f(x)取到极小值f(80)=11.25(L). 因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值. 答:当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地 耗油最少,最少为11.25L.

某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一 栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建 为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位: 元).

(1)写出楼房每平方米平均综合费用y关于建造层数x的函数 关系式; (2)该楼房建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费 用最少?最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均 购地总费用 购地费用= ) 建筑总面积

2160×10000 解析:(1)依题意得y=(560+48x)+ =560+ 2000x 10800 48x+ x (x≥10,x∈N*). (2)解法1:∵x>0, 10800 ∴48x+ ≥2 48×10800=1440, x 10800 当且仅当48x= x ,即x=15时取到“=”, ∴当x=15时,平均综合费用最少,最小值为560+1440 =2000元.

10800 解法2:先考虑函数y=560+48x+ (x≥10,x∈ x R). 10800 10800 y′=48- .令y′=0,即48- =0,解得x= x2 x2 15, 当0<x<15时,y′<0;当x>15时,y′>0.又15∈N*, ∴当x=15时,y取得最小值,ymin=2000元.

利润最大问题

[例2]

已知某厂生产x件产品的成本为c=25000+200x

1 2 + x (元). 40 (1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多 少件产品?

解析:(1)设平均成本为y元,则 1 2 25000+200x+40x 25000 x y= = x +200+40(x>0), x
?25000 x? 25000 1 y′=? x +200+40?′=- x2 +40. ? ?

令y′=0,得x1=1000,x2=-1000(舍去). 当在x=1000附近左侧时,y′<0; 在x=1000附近右侧时,y′>0; 故当x=1000时,y取得极小值.

由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小 值,因此要使平均成本最低,应生产1000件产品. x2 (2)利润函数为L=500x-(25000+200x+40) x2 =300x-25000- . 40 x ∴L′=300-20.

令L′=0,得x=6000,当x在6000附近左侧时,L′>0; 当x在6000附近右侧时,L′<0,故当x=6000时,L取得极大 值. 由于函数只有一个使L′=0的点,且函数在该点有极大 值,那么函数在该点取得最大值.因此,要使利润最大,应 生产6000件产品.

(文)某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并 且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品 的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件. (1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的 函数关系式L(x)(销售一件商品获得的利润l=x-(a+4)); (2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大?并求出L的最大值M(a).

解析:(1)由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x 的函数关系式为L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9]. (2)L′(x)=[(x-4-a)(x2-20x+100)]′ =(10-x)(18+2a-3x), 2 令L′(x)=0,得x=6+3a或x=10(舍去). 20 2 ∵1≤a≤3,∴ ≤6+ a≤8. 3 3

∴L(x)在x∈[8,9]上单调递减,故L(x)max=L(8)=(8-4- a)· (10-8)2=16-4a,即M(a)=16-4a. 答:当每件商品的售价为8元时,该连锁分店一年的利润 L最大,最大值为16-4a万元.

(理)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件,并且在 生产过程中产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的关系为 4200-x2 P= 4500 ,每生产一件正品盈利4000元,每出现一件次品 亏损2000元.(注:正品率=产品中的正品件数÷ 产品总件数) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数; (2)问该厂的日产量为多少件时,日利润最大?并求出日 利润的最大值.

4200-x2 4200-x2 解析:(1)∵y=4000× ×x-2000(1- )· x 4500 4500 4 3 =3600x-3x . 4 3 ∴所求的函数关系式是y=- x +3600x(x∈ 3 N*,1≤x≤40). (2)由(1)知y′=3600-4x2.令y′=0,解得x=30. ∴当1≤x<30时,y′>0;当30<x≤40时,y′<0.

4 3 ∴函数y=- x +3600x(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30]上是单 3 调递增函数,在[30,40]上是单调递减函数. 4 3 ∴当x=30时,函数y=- x +3600x(x∈N*,1≤x≤40)取 3 4 得最大值,最大值为-3×303+3600×30=72000(元). ∴该厂的日产量为30件时,日利润最大,最大值为72000 元.

面积、体积(容积)最大问题

[例 3]

已知矩形的两个顶点位于 x 轴上, 另两个顶点位

于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,则矩形的面积最大 时,矩形的边长为________.

解析:设矩形边长 AD=2x,则|AB|=y=4-x2. 则矩形面积为 S=2x(4-x2) 所以 S′=8-6x2, 2 2 令 S′=0,解得 x1= ,x2=- (舍去). 3 3 2 2 当 x< ,S′>0;当 x> 时,S′<0, 3 3 (0<x<2).即 S=8x-2x3,

2 32 3 所以当 x= 时,S 取得最大值,此时,S 最大值= ,y 9 3 8 4 3 8 = ,即矩形的边长分别为 和 时,矩形的面积最大. 3 3 3

4 3 8 答案: 3 和3

如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花 坛AMPN,要求M在AB的延长线上,N在AD的延长线上,且对 角线MN过C点.已知AB=3m,AD=2m.

(1)设AN=x(单位:m),要使花坛AMPN的面积大于 32m2,求x的取值范围; (2)若x∈[3,4)(单位:m),则当AM,AN的长度分别是多 少时,花坛AMPN的面积最大?并求出最大面积.

DN DC 3x 解析:由于 = ,则 AM= , AN AM x-2 3x2 故 S 矩形 AMPN=AN· AM= . x-2 3x2 (1)由 S 矩形 AMPN>32 得 >32, x-2 因为 x>2,所以 3x2-32x+64>0, 即(3x-8)(x-8)>0, 8 从而 2<x< 或 x>8, 3 8 即 x 的取值范围是(2, )∪(8,+∞). 3

6x?x-2?-3x2 3x?x-4? 3x2 (2)令 y= ,则 y′= = , x-2 ?x-2?2 ?x-2?2 3x2 因为当 x∈[3,4)时,y′<0,所以函数 y= 在[3,4)上为 x-2 单调递减函数, 3x2 从而当 x=3 时, y= 取得最大值, 即花坛 AMPN 的面 x-2 积最大为 27m2,此时 AN=3m,AM=9m.

用时最短问题

[例 4]

(理)一艘渔艇停泊在距岸 9km 处, 今需派人送信

给距渔艇 3 34km 处的海岸渔站,如果送信人步行速度 5km/h,船行速度 4km/h,问应在何处登岸再步行可以使抵达 渔站的时间最省?

分析:如图,设 BC 为海岸线,A 为渔艇停泊处,设 D 为海岸线上一点,CD=x,只需将时间 T 表示为 x 的函数, 即可确定登岸的位置.

解析:∵AB=9,AC=3 34,BC= AC2-AB2=15,设 1 1 CD=x,由 A 到 C 所需时间为 T,则 T=5x+4 ?15-x?2+81 15-x 1 (0≤x≤15),T′=5- . 2 4 ?15-x? +81 令 T′=0,解得 x=3.在 x=3 附近,T′由负到正,因此 在 x=3 处取得极小值. 3 34 21 87 又 T(0)= 4 , T(15)= 4 , T(3)=20, 比较可知 T(3)最小. 答:在距渔站 3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省.

(理)某城市在发展过程中, 交通状况逐渐受到有关部门更多 的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 点到中午 12 点,车辆 通过该市某一路段的用时 y(min)与车辆进入该路段的时刻 t 之 间的关系可近似地用如下函数给出: 629 ? 13 32 ?6≤t<9?, ?-8t -4t +36t- 4 ? y=? t 59 ?8+ 4 ?9≤t≤10?, ? -3t2+66t-345 ?10<t≤12?. ? 求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻.

解析:(1)当 6≤t<9 时, 32 3 3 y′=-8t -2t+36=-8(t+12)(t-8). 令 y′=0 得,t=-12(舍去)或 t=8. 当 6≤t<8 时,y′>0,当 8<t<9 时,y′<0, ∴t=8 时,y 有最大值 ymax=18.75(min).

1 59 (2)当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 8 4 ∴当 t=10 时,ymax=16(min). (3)当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, ∴t=11 时,ymax=18(min). 综上所述,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点.

课堂巩固训练

一、选择题 1.如图,在等腰梯形 ABCD 中,CD=40,AD=40,梯形 ABCD 的面积最大时,AB 等于( )

A.40 C.80

B.60 D.120

[答案]

C

[解析] =40sinθ.

设∠BAD=θ,则 AB=40+2×40cosθ,梯形高 h

从而梯形面积 S=1600(1+cosθ)sinθ.故 S′=1600(cosθ+ cos2θ).

1 π 令 S′=0,得 cosθ= ,即 θ= ,此时 AB=80. 2 3 即当 AB=80 时,梯形有最大面积 1200 3.

二、填空题 2. 面积为 S 的矩形中, 其周长最小的矩形边长是______.

[答案]

S

[解析]

S 设矩形的一边边长为 x,则另一边边长为 , x

2S 2S 其周长为 l=2x+ x ,x>0,l′=2- x2 , 令 l′=0,解得 x= S,易知,当 x= S时,其周长最小.

三、解答题 3.(2011· 山东文)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚 度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均 80π 3 为半球形,按照设计要求容器的容积为 m ,且 l≥2r.假设 3 该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方 米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) 千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

[解析]

80π 3 4πr3 (1)因为容器的体积为 m ,所以 +πr2l= 3 3

80π 80 4r 80 4r 解得 l=3r2- 3 , 所以圆柱的侧面积为 2πrl=2πr(3r2- 3 ) 3 , 160π 8πr2 = - ,两端两个半球的表面积之和为 4πr2,所以 y= 3r 3 160π +4π(c-2)r2, r ∵l≥2r,∴0<r≤2,定义域为(0,2]. 160π 8π?c-2? 3 20 (2)y′=8π(c-2)r- 2 = (r - ),0<r<2. r r2 c-2

∵c>3,∴c-2>0, 3 20 20 当r = 时 r= , c-2 c-2
3



3

20 =m,则 m>0, c-2

8π?c-2? 此时 y′= (r-m)(r2+rm+m2). 2 r 9 ①当 0<m<2 时,即 c> 时,若 r=m,则 y′=0;若 r∈ 2 (0,m),则 y′<0;若 r∈(m,2),则 y′>0, ∴r=m 是函数的极小值点,也是最小值点.

9 ②当 m≥2 时,即 3<c≤2时, 若 r∈(0,2),则 y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数的最小值点. 9 综上所述:当 3<c≤2,建造费用最小时 r=2, 3 20 9 当 c>2,建造费用最小时 r= . c-2

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