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2013年济南市理科高考数学模拟试题及答案



2013 济南 3 月一模理科数学试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 x ? 1 , B ? x x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ? A. x x ? 0 2.已知复数 A.4

?

>
?

?

?

?

?

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

C. x x ? 4

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

2 ? 3i (是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是 1? i
B.6 C.2 D.3

3.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗, 用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高

x乙 和中位数 y甲、y乙 进行比较,下面 度的平均数 x甲、
结论正确的是 A. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 C. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 4.已知实数 x, y 满足 ? A. ?2 B. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 D. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙

?y ?1 ,则目标函数 z ? y ? 2x ?1 ?x ? y ? 8 ?

? x ? y 的最小值为
D.7

B.5

C.6

5.“ a ? 1”是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 ? 2, ?? ? 上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
1? 6.函数 f ? x ? ? ln ? ? x ? ? 的图象是 x? ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.

B.

C.

D.

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 B. 21 C. 8 13 13 x 1 8 8.二项式 ( ? ) 的展开式中常数项是 2 3x A.28 B.-7 C.7 A. 13 11 D. 13 8

D.-28

9.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于

A , B 两点,且 AB ? 3 , 则 OA ? OB 的值是
A. ?
1 2

第 7 题图

B.

1 2

C. ?

3 4

D.0

10.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 在区间 [? ? , 5? ] 6 6 上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点
A.向左平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 3
1 倍,纵坐标不变 2

缩短到原来的

B.向左平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3
? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6

C.向左平移

D.向左平移

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6

11.一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A.

20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40

12.设 a ?

?

2

1

1 dx, b ? x

?

3

1

1 dx, c ? x
B.

?

5

1

1 dx , x

则下列关系式成立的是

a b c ? ? 2 3 5 c a b C. ? ? 5 2 3
A.

b a c ? ? 3 2 5 a c b D. ? ? 2 5 3

第 11 题图

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0, 则 14.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 恰好是双曲线
2

1 1 ? 的最小值为 m n

.

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点,且渐 a 2 b2


近线方程为 y ? ? 3x ,则双曲线方程为

y
15.函数 y ? sin(

?
2

x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如

P

图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与

A O

B x

x 轴的交点,则 tan ?APB



第 15 题图

16.f ( x) ?| 2 x ? 1|, f1 ( x) ? f ? x ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? , ?, f n ? x ? ? f ? f n ?1 ? x ? ? 则函数

y ? f 4 ? x ? 的零点个数为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本题满分 12 分) 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x ,? y ) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调增区间; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 ,

??

?

A 2

b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB / /CD, 且 AC ? BD,

AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分别是 AB、 AP
的中点. (1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.

P

F D O A E
第 18 题图
*

C

B

19. (本题满分 12 分)

数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn ? 1 (n ? N ) ,等差数列 ?bn ? 满足

b3 ? 3, b5 ? 9 .
(1)分别求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

bn ? 2 1 (n ? N * ) ,求证 cn ?1 ? cn ? . a n?2 3

20.(本题满分 12 分) 某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一 定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试 不合格的概率均为

1 2 ,参加第五项不合格的概率为 2 3

(1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望.

21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? xe .
x

(1) 求 f ( x) 的单调区间与极值; (2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有

f ( x2 ) ? f (a ) f ( x1 ) ? f (a ) 成立.若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由. ? x2 ? a x1 ? a

22.(本题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 2 (2,2) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 . 2 2 a b

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ? (i) 求 OA ? OB 的最值. (ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;

b2 , a2

y
C B O D A

x

第 22 题图

2013 年 3 月济南市一模理科数学参考答案
一、选择题
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 A 10 A 11 B 12 C

二、填空题 13 . 2 三、解答题 17. 解 : ( 1 ) 由 14. x ?
2

y2 ?1 3

15. ?2

16. 8

?? ? m?n



m ? n ? 0 ,? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0


??.????.???.?2 分

y ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ?
?????4 分 ∴

?
6

) ? 1 ?????.?

?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,

???????????????????

?????5 分 ∴

?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z













[?


?
3

? k? ,
2

?
6


? k? ], k ? Z ?????????????6 分
因 为

sin( A ? ) ? 1 , ???????????????7 分 6


?

A f( )?3 2







2

s A? i 6

?

n? ( , ?

)

1

A?

?
6

? 2k? ?

?
2


, k ? Z ????????????????????????????

????8 分 因

A?


?
3

0? A??







. 余 弦

???????????????????????????9 分 定 理 得 :

a2 ?

b2 ? 2

c 2 ?c

, ob

即 sc

A

4 ? b2 ? c 2 ? bc

??????????10 分



4 ? (b ? c) 2 ? 3bc







b ?c ? 4







bc ? 4


????????????????11 分

1 S? ABC ? bc sin A ? 3 . ??????????????????????????? 2
????12 分 18. 证明: (1) E、F 分别是 AB、AP 的中点.

P

EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB, ---------------------------------2 分
由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC, -------------------------3 分

F D O C

? AC ? BD, ? AC ? 面POB, ----------------------------4 分
PB ? 面POB ? AC ? PB ----------------------------------5
----------------------------------------------------6 分 ? A C? E . F 分

A

E

B

(2)以 OB, OC, OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 {OB, OC , OP} 由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1,------------------------------7 分

??? ? ???? ??? ?

A ? 0, ?2, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , D ? ?1, 0, 0 ? , P(0, 0, 2)
??? ? ??? ? OE ? (1, ?1, 0), OF ? (0, ?1,1), ---------------------------------8 分
设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y, z )

z
P

??

?? ??? ? ?? ? m ? OE ?0 ? 可得 m ? (1,1,1) ,-----------------------------10 分 ? ? ?? ??? ? ? ?m ? OF ? 0 ? 平面 OAE 的法向量为 n ? (0, 0,1)
设二面角 F ? OE ? A 为 ? ,

F D O A E B C

y

x

?? ? m?n 3 ?? cos ? ? ?? ?? --------------------------------------------------------12 分 3 | m || n |
得 an ? 2Sn?1 ? 1 ----②,

19. 解: (1)由 an ?1 ? 2Sn ? 1 ----①

① ? ②得 an ?1 ? an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ,? an ?1 ? 3an ????????????????2 分

? an ? 3n?1 ; ??????????????????????????????3 分

?b5 ? b3 ? 2d ? 6,? d ? 3 ?????????????????????????4 分 ? bn ? 3n ? 6
????????????????????????????6 分 ?????????-?????????8 分 ?????????????????????9 分 ?????????????????????10 分 ?????????????????????11 分 ?????????????????????12 分

(2)因为 an ? 2 ? 3n ?1 , bn ? 2 ? 3n

3n n ? n n ?1 3 3 1 ? 2n 所以 c n ?1 ? c n ? n ?1 ? 0 3 1 cn ?1 ? cn ? ??? ? c1 ? 3 1 所以 cn ?1 ? cn ? 3
所以

cn ?

20.解: (1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格 记 A={前四项均合格} B={前四项中仅有一项不合格} 则 P(A)= ( ) 4 ? (1 ? ) ?

1 ??????????????????????2 分 24 11 1 2 1 P(B)= C ? (1 ? ) 3?(1 ? ) ? ??????????????????4 分 42 2 3 16
又 A、B 互斥,故所求概率为 P=P(A)+P(B)=

1 2

2 3

1 1 5 ???????????????????????? ? ? 24 16 48

???????5 分 (2)该生参加考试的项数 ? 可以是 2,3,4,5.

1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? ? ? P( X ? 3) ? C2 (1 ? ) ? ? ? 2 2 4, 2 2 2 4 1 1 1 3 1 P( X ? 4) ? C3 (1 ? ) ? ( ) 2 ? ? 2 2 2 16 1 1 3 5 P( X ? 5) ? 1 ? ? ? ? ?????????????9 分 4 4 16 16



X

2

3

4

5

p

1 4

1 4

3 16

5 16
???????

???????10 分

1 1 3 5 57 E( X ) ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 4 4 16 16 16
???????12 分

?????????

21





:

(1)

f ?( x) ? (1 ? x)e x

.



f ?( x) ? 0





x ? ?1 ;????????????????????1 分
列表如下

x
f ?( x)

(??,?1)
-

?1
0 极小值

(?1,??)
+

f ( x) ? f ( x)
的 单 调 递 减 区 间 是

(??,?1)

, 单 调 递 增 区 间 是

(?1,??) .??????????????????4 分 f ( x)
= f (?1) ? ? ??5 分 (2) 设 g ( x) ?
极 小 值

1 e

??????????????????

f ( x) ? f (a ) , 由 题 意 , 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有 x?a
, 即

g ( x2 ) ? g ( x1 )

y ? g ( x)



(a,??)













数.????????????????????????????????????7 分

? g ?( x) ?

f ?( x)( x ? a ) ? [ f ( x) ? f ( a )] (1 ? x)e x ( x ? a ) ? xe x ? ae a ? ( x ? a)2 ( x ? a) 2

( x 2 ? x ? ax ? a )e x ? xe x ? ae a x 2e x ? axe x ? ae x ? ae a ? ? ( x ? a)2 ( x ? a)2
????????8 分

????????

?x ? (a,??) , g ?( x) ? 0
令 h( x) ? x e ? axe ? ae ? ae ? 0
2 x x x a

h?( x) ? 2 xe x ? x 2e x ? a(1 ? x)e x ? ae x ? x( x ? 2)e x ? a( x ? 2)e x

? (x ? 2 ) x ( ? a x) e??????????????????????????????
????10 分 若 a ? ?2 ,当 x ? a 时, h?( x) ? 0 , h( x) 为 [a,??) 上的单调递增函数,

? h( x) ? h(a) ? 0

,









立.

??????????????????????11 分

若 a ? ?2 ,当 x ? (a,?2) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 为 [a,?2] 上的单调递减函数,

? ?x0 ? (a,?2)



h( x0 ) ? h(a) ? 0





?x ? (a,??)
值 范

,

h( x ) ? 0




盾????????????????12 分 所 以 , a 的





[-2, ??) .????????????????????????????????13 分
解 : 由 题 意

22.

(1)

e?

c 2 ? a 2



4 2 ? 2 ?1 2 a b





a 2 ? b 2 ? c 2 ,????????????????? 2 分
解 得

a 2 ? 8, b 2 ? 4

,

















x2 y2 ? ? 1 .???????????????????????4 分 8 4
(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx? m 2 2 2 ,得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 2 2 x ? 2 y ? 8 ?
----------①

2 ?? (4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0

? 4k m ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?
???????6 分

????????????????

? kOA ? kOB ? ?

b2 1 ?? 2 a 2

?

y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
???????7 分

????????????????

y1 y 2 ? (kx1 ? m)( kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
=k
2

2m 2 ? 8 ? 4km m 2 ? 8k 2 2 ? km ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?????????????

??????8 分

??

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ? ?(m2 ? 4) ? m2 ? 8k 2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
?????????????????

? 4k 2 ? 2 ? m2
?????9 分 (i) OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? ? ?? ? ? ?? ?? 2 ?2 ?4 O ?A O ?B ? 2
当 k=0(此时 m 2 ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA ? OB 的最小值为-2. 又 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 OA ? OB ? 2 , 所 以 OA ? OB 的 最 大 值 为 2. ?????????????11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

??? ? ??? ?

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4k m ? 2m 2 ? 8 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4 ? ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? | m | 64 k 2 16(m 2 ? 4) ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 m2 m2

? S四边形 ABCD ? 4S?AOB ? 8 2 .
即,四边形 ABCD 的面积为定值??????????????????????13 分

2013 年 4 月济南二模数学理科试题

参 考 公 式 : 统 计 中 ?2 的 公 式 : ?2 ?

n(n11n22 ? n12 n21 ) 2 , 其 中 n?1 ? n11 ? n21 , n1? n2? n?1n?2 n?2 ? n12 ? n22 , n1? ? n11 ? n12 , n2? ? n21 ? n22 , n ? n11 ? n21 ? n12 ? n22

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? {x x ? 1 ? 2}, B ? {x log 2 x ? 2} ,则 A ? B ? A. (?1,3) 2. 若复数 A. ? 2 B. (0, 4) C . (0,3) D. (?1, 4)

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i B. 4 C .?6 D. 6

3. 函数 y ? 2 sin(

?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

2

? 2 x) 是

? 的奇函数 2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

4. 等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ?12 , S13 ? 0 ,使得 an ? 0 的最小正整数 n 为 A.7 B.8 C.9 D.10

5. 为了解疾病 A 是否与性别有关, 在一医院随机的对入院 50 人进行了问卷调查得到了如下 的列联表: 患疾病 A 不患疾病 A 合计 20 5 25 男 10 15 25 女 30 20 50 合计 请计算出统计量 ? 2 ,你有多大的把握认为疾病 A 与性别有关 下面的临界值表供参考:

P( ? 2 ? k )

0.05 3.841

0.010

0.005

0.001 10.828 D. 99.9%

k
A. 95% B. 99%

6.635 7.879 C. 99.5%

6.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 asinA+csinC- 2 asinC=bsinB.

则 ?B ? ? A. 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

3? 4

7.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要求体育不排在第一节 课,数学不排在第四节课,则这天课表的不同排法种数为 A. 600 B. 288 C. 480 D. 504 8. 设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确 的是 ...

A.当 m ? ? 时,“ n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时,“ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 D.当 m ? ? 时,“ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件

9. 函数 y ? x 2 ?

ln | x | 的图象大致为 x

开始

10.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如图 所示.设 f ( x) ? 1 ? x . f ( x) 在 区间 [?2, 2] 上的最大值为. A -2 B -1 C 0 D 2

输入 a, b

a?b




??? ? ??? ? ???? ? 11. 已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,

S?b
输出 S

S ?a

???? ??? ? 则 OC ? AB 的值为
A

?

1 5

B

1 5
2

C

?

6 5

D

6 5
2

结束

12. 若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x2 a2

?

y2 b2
2

? 1 ( a 2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点;
2 2 2 2



a1 b1 ? ; a2 b2

③ a1 ? a 2 ? b1 ? b2 ; 其中,所有正确结论的序号是 A ①③ B①③④ C ①②④

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 . D ②③④

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)

?x ? 2 ? 0 ? 13.不等式组 ? x ? y ? 0 表示平面区域为 ? ,在区域 ? 内任取一点 P ? x, y ? ,则 P 点的坐标 ?x ? y ? 0 ?
满足不等式 x ? y ? 2 的概率为
2 2

. . .

14.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 15. 设

x? ? ? (2x ? 1)dx ,则二项式 ? x? ?
0

2

?

a?

4

的展开式中的常数项为

16.如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线与双曲 a 2 b2

线的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离心率 为 .

16 题图 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4sin ? x cos ? ? x ? 为? . ⑴求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 在区间 ??

? ?

??

? ? 3 ?? ? 0 ? 的最小正周期 3?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. ? 4 6?

18(本题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 3n (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足

bn ?

an . 3n

(1)证明数列 {bn } 是等差数列并求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n .

19. (本题满分 12 分) 某企业计划投资 A,B 两个项目, 根据市场分析,A,B 两个项目的 利润率分别为随机变量 X1 和 X2,X1 和 X2 的分布列分别为: X1 P 5% 0.8 10% 0.2 X2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3

(1)若在 A,B 两个项目上各投资 1000 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的 利润,求利润的期望 E ?Y1 ? , E ?Y2 ? 和方差 D ?Y1 ? , D ?Y2 ? ; (2)由于资金限制,企业只能将 x(0≤x≤1000)万元投资 A 项目,1000-x 万元投资 B 项 目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x) 的最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值.

20.(本题满分 12 分)已知四边形 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60

0

四边形 BDEF 是矩形 ,平面 BDEF ? 平面 ABCD , G、H 分别是 CE、CF 的中点. (1)求证 : 平面 AEF / / 平面 BDGH (2)若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 60 , 求直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的正弦值
0

20 题图

21.(本题满分 12 分) 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上相异两点, Q、P
2

到 y 轴的距离的积为 4 且 OP ? OQ ? 0 . (1)求该抛物线的标准方程. (2)过 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R,与 x 轴交点为 T,且 Q 为线段 RT 的中点,试求弦 PR 长度的最小值.

22.( 本题满分 14 分 ) 设 f ( x) ?

( x ? a) ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ?1

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直.
(1)求 a 的值; (2) 若 ?x ?[1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的范围. (3)求证: ln 4 2n ? 1 ?

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

.(n ? N * ).

2013 年 4 月济南二模数学理科试题参考答案
一、选择题: :(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 B 6 C 7 D 8 A 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 .

? 8

14.

16 ? 4? 3

15. 24

16.

13

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.解

? ?? ? f ? x ? ? 4sin ? x ? cos ? x cos ? sin ? x sin ? ? 3 ----------------------------1 分 3 3? ?
? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3


? sin 2? x ? 3 cos 2? x

---------------3

?? ? ? 2sin ? 2? x ? ? 3? ? 2? ?T ? ? ? ,?? ? 1 2?
(2)? ?

-----------------------------------------------------4 分 ----5 分? f ( x) ? 2 sin? 2 x ?

?
4

?x?

?
6

,??

?
6

? 2x ?

?
3

?

??

1 ?? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,即 ?1 ? f ? x ? ? 2 ,-------------------9 分 2 3? ?

2? 3

? ?

??
? 3?

-----6 分

当 2x ? 当 2x ?

?

?

3

??
?

?

?
2

6

,即 x ? ?

?

3

,即x ?

?
12

4

时, f ? x ?min ? ?1 ,

时, f ? x ?max ? 2 . ---------------------------------12 分

18.解(1)证明:由 bn ?

an an?1 an ?1 an 1 ,得 bn?1 ? n ,∴ bn ?1 ? bn ? n ? ? n ?1 3 3 3 ?1 3n 3
1 -----------4 分 3

------2 分

所以数列 ?bn ? 是等差数列,首项 b1 ? 1 ,公差为 ∴ bn ? 1 ?

1 n?2 (n ? 1) ? 3 3

------------------------6 分 -------------------------7 分

n n ?1 (2) an ? 3 bn ? (n ? 2) ? 3

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 ?1 ? 4 ? 3 ? ? ? (n ? 2) ? 3n?1 ----①
? 3S n ? 3 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? (n ? 2) ? 3n -------------------②----------9 分

①-②得 ? 2S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2

n?1

? (n ? 2) ? 3n

? 2 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n?1 ? (n ? 2) ? 3n

?


3n ? 3 3n ? 3 (n ? 2)3n --------12 ? (n ? 2) ? 3n -------11 分 ? S n ? ? ? 2 4 2

19. 解: (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为 Y1 P 50 0.8 100 0.2 Y2 P 20 0.2 80 0.5 120 0.3 --------------2 分 E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60,----------------------------------3 分 D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400,------------------------4 分 E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80,---------------------------------------5 分 D(Y2)=(20-80)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1200.-------------------6 分 (2) f ? x ? ? D ? =
2 ? x ? ? 1000 ? x ? 1 ? 2 Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 6 x D ?Y1 ? ? ?1000 ? x ? D ?Y2 ? ? ? ? ? 1000 ? ? 1000 ? 10

4 4 [x2+3(1000-x)2]= 4 (4x2-6000x+3×106).--------------------------------10 分 4 10 10 6000 ? 750 时,f(x)=300 为最小值.-------------------------------12 分 2? 4

当x?

20. 解: (1) G、H 分别是 CE、CF 的中点 所以 EF / /GH ------------① ---------------1 分 连接 AC 与 BD 交与 O ,因为四边形 ABCD 是菱形,所以 O 是 AC 的中 点 连 OG , OG 是三角形 ACE 的中位线 --------------3 分 OG / / AE ---------② 由①②知,平面 AEF / / 平面 BDGH --------------4 分 ( 2 ) BF ? BD, 平 面 B D E F , 所 以 BF ? 平 面 ? 平面 ABCD ----------------------------5 分 ABCD 取 EF 的中点 N , ON / / BF ?ON ? 平面 ABCD , ??? ? ???? ???? 建系 {OB,OC ,ON } 设 AB ? 2,BF ? t , 0, 0 ? , C 0,3, 0 , F ?1, 0,t ? 则 B ?1,

?

?

?1 3 t ? H? ?2, 2 ,2? ? ? ?

-----------------------------------------------------------6 分

??? ? ???? ? 1 3 t ? ?? OB ? ?1, 0, 0 ? , OH ? ? , , 设平面 BDGH 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ? ?2 2 2? ? ? ?? ??? ? ? n1 ? OB ? x ? 0 ?? ? ,所以 n1 ? 0, ?t , 3 ? ?? ???? 1 3 t y? z ?0 ? n1 ? OH ? x ? ? 2 2 2 ?? ? 平面 ABCD 的法向量 n2 ? ? 0, 0,1? ---------------------------9 分

?

?

?? ?? ? | cos ? n1 , n2 ?|?
??? ?

3 3 ? t2

?

所以 CF ? 1, ? 3,3 ,设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ?

?

?

1 2 ,所以 t ? 9, t ? 3 2

-------------------------------10 分

sin ? ?| cos?CF , n1 ? |?
21. 解: (1)∵

6 3 3 13 ? -------------------------------12 分 13 13 ? 2 3

→ → OP · OQ =0,则 x1x2+y1y2=0,--------------------------1 分

又 P、Q 在抛物线上,故 y12=2px1,y22=2px2,故得 y12 y22 · +y1y2=0, y1y2=-4p2 2p 2p

?| x1 x2 |?

( y1 y2 ) 2 ? 4 p 2 --------------------------3 分 4 p2

又|x1x2|=4,故得 4p2=4,p=1. 所以抛物线的方程为: y ? 2 x -------------4 分
2

(2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 x=my+a 联立方程组 ?

? x ? my ? a 2 ? y ? 2x

消去 x 得 y2-2my-2a=0 ∴

? y1 ? y2 ? 2m ? ? y1 y2 ? ?2a



--------------------------------6 分

设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0),则可设直线 PR 方程为 x=ny+b,并设 R(x3,y3), 同理可知,

? y1 ? y3 ? 2n ? ? y1 y3 ? ?2b
由①、②可得



--------------------------7 分

y3 b ? y2 a

由题意,Q 为线段 RT 的中点,∴ y3=2y2,∴b=2a 分 又由(Ⅰ)知, y1y2=-4,代入①,可得 -2a=-4 ∴ a=2.故 b=4.-----------------------9 分

∴ y1 y3 ? ?8
2 2 2 ∴ | PR |? 1 ? n | y1 ? y3 |? 1 ? n ? ( y1 ? y3 ) ? 4 y1 y3

? 2 1 ? n2 ? n2 ? 8 ? 4 2 .
当 n=0,即直线 PQ 垂直于 x 轴时|PR|取最小值 4 2 --------------------12 分

22.

x?a ? ln x)( x ? 1) ? ( x ? a) ln x x 解:(1) f ?( x) ? -----------------------2 分 ( x ? 1) 2 (

1 (1 ? a)2 1 ,? ? 2 4 2 -------------------------------4 分 ?1 ? a ? 1 ,? a ? 0 . 1 x ln x (2) f ( x) ? , ?x ? (1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 ln x ? m( x ? ) x ?1 x 1 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? (1,??), g ( x) ? 0 . x
由题设 f ?(1) ?

g ?( x) ?

1 1 ?mx 2 ? x ? m -------------------------------------6 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾.-----------------8 分 ②若 m ? 0 方程 ?mx ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m
2 2

当 ? ? 0 ,即 m ? 不等式成立.

1 时, g ?( x) ? 0 .? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,? g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 2
----------------------------------------------------------------------9 分

2 1? ? 1 m4 1 2 ?0 , 当 0?m? 时 , 方 程 ?m x ? x ? 0 , 其 根 x1 ? m? 2m 2

x1 ?

1 ? 1 ? 4m 2 ? 1 ,当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设 2m

矛盾.

1 .------------------------------------------------------------------------10 分 2 1? 1? 1 (3) 由(2)知,当 x ? 1 时, m ? 时, ln x ? ? x ? ? 成立. 2? x? 2 2k ? 1 不妨令 x ? , k ? N* 2k ? 1
综上所述, m ?

所以 ln

2k ? 1 1 ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? 4k , ? ? ? ?? 2 2k ? 1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k ? 1 1 k [ln ? 2k ? 1? ? ln ? 2k ? 1?] ? 2 , k ? N * ----------------------11 分 4 4k ? 1

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? 2 ? 4 4 ?1 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ??????? ? n ? 1 ln 2n ? 1 ? ln 2n ? 1 ? , ? ? ? ?? ? ? 4 ? n2 ? 1 ?4
累加可得
n 1 i ln(2n ? 1) ? ? 2 .(n ? N * ). 4 i ?1 4i ? 1
n

---------------------12 分

ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1

i 4i ? 1
2

.(n ? N * ). ------------------------14 分

2013 年 5 月济南市三模理科数学试题

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.
2 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x | x ? 1, x ? Z , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则图中的阴影部分

?

?

?

?

表示的集合为 A. ?? 1? B. ?2? C. ? 1,2? D. ?0,2?
(第 1 题图)

2.已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ?

???? ???? OP OP2 所成的角为 1、
A.

1 在复平面内对应的点分别为 P 1、P 2 , O 为坐标原点,则向量 1? i

?
6

B.

?
4

C.

? 3

D.

? 2

3.“ ? ?

?
4

”是“函数 y ? sin( x ? 2? ) 是偶函数”的 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ,则 f ( ) 的值为 D. ?1

A.充要条件 4.已知 f ( x ) ? ? A.

? 3 sin ? x ? ? ? f ( x ? 1) ? 1
B. ?

x?0 x?0

2 3

1 2

1 2

C. 1

2 5.已知 ? ~ N (3, ? ) ,若 P(? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于

A. 0.2

B. 0.3

C. 0.7

D. 0.8

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是 A.10 B.15 C.20 D.35

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? 7.变量 x,y 满足 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. [ , 6]

9 5

B. (??, ] ? [6, ??)

9 5

C. [ ,3]

9 5

D. [3, 6]
(第 6 题图)

8. 函数 y ?

? ? x , x ? (? , 0) ? (0, ) 的图象可能是下列图象中的 sin(2 x) 2 2

9.九个人排成三行三列的方阵,从中任选三人,则至少有两人位于同行或同列的概率为 A.

3 7

B.

4 7

C.

1 14

D.

13 14

10.已知实数 4, m ,1 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率为 m
D.

A.

2 2

B. 3

C.

2 或 3 2
?

1 或3 2

11. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 60 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上 变 动 . 若 OC ? xOA ? yOB, 其 中 x, y? R , 则

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

x ? 2 y 的最大值是
A.2 B.

2 3 3

C.1

D. 3

12. 给出定义:若 x ? (m ?

1 1 , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整数”, 记 2 2

作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题:①函数 y ? f ( x) 在

x ? (0,1) 上 是 增 函 数 ;② 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ?

k ( k ? Z ) 对 称 ;③ 函 数 2

函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1;④当 x ? (0, 2] 时, 零点. 其中正确命题的序号是____________. A. ②③④ B.②③ C.①②

D.②④

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 若 ?ABC 的面积为 3 , BC ? 2, C ? 60O ,则边长 AB 的长度等于 14.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为
? ?

. .

15. 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上, AB ? AA1 ? 2,

AC ? 1, ?BAC ? 600 ,则球的表面积为
16.已知 x ? 0 ,有下列不等式成立: x ?

.

1 1 4 x x 4 ? 2 x? ? 2,x ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 x x x 2 2 x
.

?x ?

a ? n ? 1 ,据此归纳,则 a ? xn

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? 6 cos 2

?x
2

A 为图像的最 ? 3 sin ?x ? 3?? ? 0 ? 在一个周期内的图像如图所示,

高点,B,C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间和对称中心.
x
B O C

y

A

18.(本题满分 12 分)

(第 17 题图)

某食品店每天以每瓶 2 元的价格从厂家购进一种酸奶若干 瓶,然后以每瓶 3 元的价格出售,如果当天卖不完,余下的酸奶变质作垃圾处理。 (1)若食品店一天购进 170 瓶,求当天销售酸奶的利润 y(单位:元)关于当天的需求量 n (单位:瓶, n ? N )的函数解析式; (2)根据市场调查,100 天的酸奶的日需求量(单位:瓶)数据整理如下表: 日需求量 n 天数 150 17 160 23 170 23 180 14 190 13 200 10

若以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。食品店一天购进 170 瓶酸奶,

X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

19.(本题满分 12 分)

a1 ? 1 , 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 且对任意正整数 n ,点 ?a n ?1 , S n ? 在 3x ? 2 y ? 3 ? 0
直线上. (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ? Sn ? ? ? n ? 值;若不存在,则说明理由. 20.(本题满分 12 分) 如图:四边形 ABCD 是梯形, AB / /CD , AD ? CD ,三角形 ADE 是等边三角形,且平面

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的 3n ?

??

??? ? 2 ??? ? EF / / AB , CD ? 2 AB ? 2 AD ? 2 EF ? 4 , CG ? CF 3 (1)求证: AF / / 平面 BDG ; (2)求二面角 C ? BD ? G 的余弦值.
21.(本题满分 13 分)
2 2

ABCD ? 平面 ADE ,

E D

F

G C

A

已知椭圆 C :

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边长 2 a b
?

(第 20 题图)

B

为 2 且∠F1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右顶 点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的 斜率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值. 22.(本题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? ln x ? 2 x (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)设 h ? x ? ? f ' ? x ? ?

1 ,若 h ? x ? ? k ? k ? z ? 恒成立,求 k 的最大值. ex

2013 年 5 月高三理科数学参考答案
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C 11.A 12.A

二、填空题(每题 4 分,满分 16 分) 13. 2 14. 1 15.

8?

16.

nn

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 解: f ? x ? ? 3 cos ?x ? 3 sin ?x ----------------------------------------------2 分

?? ? f ? x ? ? 2 3 sin ? ?x ? ? ------------------------------------------------------3 分 3? ?
又 ?ABC 为 正 三 角 形 , 且 高 为 2 3 , 则 BC=4. 所 以 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 为 8, 即
2?

?

? 8, ? ?

? --------------------------------------------------------------5 分
4

?? ?? f ? x ? ? 2 3 sin ? x ? ? .------------------------------------------------------6 分 3? ?4

(2) 由 2k? ?

,k ?Z , 2 4 3 2 10 2 解得 8k ? ………………………………………………8 分 ? x ? 8k ? , k ? Z . 3 3 10 2 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [k 8 ? ,8k ? ](k ? Z ) ---------------------9 分 3 3

?

?

?

x?

?

? 2k? ?

?



?
4

x?

?
3

? k? , k ? Z

,得 x ? 4k ?

4 ,k ?Z 3

--------------------11 分

所以对称中心为 (4k ?

4 , 0)k ? Z ---------------------------------------12 分 3

18.解: (1)

? ? n ? 2 ?170 ? n ? y?? ? ? 170

(0 ? n ? 170)

? n ? 170 ?

-

?3n ? 340 (0 ? n ? 170) y= ? 170 ? n ? 170 ? ?
(2)X 可取 110,140,170.

-------------------------------------------4 分

X
P

110 0.17

140 0.23

170 0.6

-----------------------------------------------9 分

EX ? 0.17 ?110 ? 0.23?140 ? 0.6 ?170 ? 152.9 ------------------------12 分
19.解:(1)由题意可得:

3an?1 ? 2Sn ? 3 ? 0

① ② ????????????1 分

n ? 2 时, 3an ? 2Sn?1 ? 3 ? 0
①─②得 3an ?1 ? 3an ? 2an ? 0 ,

an ?1 1 ? (n ? 2) , an 3

????????????4 分

a1 ? 1,3a2 ? a1 ? 3 ? 0,? a2 ?

1 3

???????????5 分 ???????? 6 分

1 1 ? ?a n ?是首项为 1 ,公比为 的等比数列,? an ? ( )n ?1 3 3

1 3[1 ? ( )n ] 3 (2)由(1)知 Sn ? 2
若 ? Sn ? ? ? n ?

??????????8 分

? ?

? 为等差数列, 3n ?

??

S1 ? ? ? ?

?
3

S2 ? ? ? 2 ?

?
3
2

S3 ? ? ? 3 ?

?
33

则成等差数列,

????????10 分

2( S2 ?
又? ?

19 4 82 ? ) ? S1 ? ? ? S3 ? ? , 得 9 3 27

??

3 2

3 3 3 3(n ? 1) ? 3(n ? 1) ? 时, Sn ? ? n ? ,显然 ? ? ? 成等差数列, n 2 2 2?3 2 ? 2 ?

故存在实数 ? ? 20. 解

?? ? 3 ,使得数列 ? Sn ? ? ? n ? n ? 成等差数列. ????????12 分 3 ? ? 2
1 ) 连 接

: (

AC



BD



H







GH --------------------------------------------------------1 分

?

AB 1 ? CD 2 AH 1 CH 2 ? ? ? 即? CH 2 AC 3 CH CG ? ? ?2 AH GF

E D

F

G C

H

A

B

? GH / / AF -------------------------------------3 分

? GH ? 平面 BDG

AF 不在平面 BDG
? AF / / 平面 BDG --------------------------5 分
(2) 如图建立空间坐标系,

? B(2, 2, 0), C (0, 4, 0), F (1, 2, 3)
??? ? 2 ??? ? 2 4 2 3 ? CG ? CF ? ( , ? , ) 3 3 3 3 ???? ???? ??? ? 2 4 2 3 2 8 2 3 ? DG ? DC ? CG ? (0, 4, 0) ? ( , ? , )?( , , ) 3 3 3 3 3 3
??? ? ? DB ? (2, 2, 0)

----------------------------------------------------8 分

设平面 BDG 的法向量为 n1 ? ( x, y,1)

??

??? ? ?? ? ? DB ? n1 ? 0 ? ? ???? ?? ? ? DG ? n1 ? 0

?? 3 3 ? n1 ? ( , ? ,1) 3 3
-----------------------------------------10 分 设平面 BDC 的法向量为 n2 , n2 ? (0, 0,1)

-

?? ?

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 15 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? 5 5 n1 ? n2 3
所以二面角 C ? BD ? G 的余弦值为 21. 解: (1)由条件知 a=2,b= 3 ,

15 . - --------------------------------12 分 5
------------------------------2 分

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

-------------------------------------4 分

(2)设过点 P(1,0)的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,设点 E(x1,y1),点 F(x2,y2), --5 分 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C:
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1, 4 3

整理得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,-----------------------------6 分 因 为 点 P 在 椭 圆 内 , 所 以 直 线 l 和 椭 圆 都 相 交 , ??0 恒 成 立 , 且

8k 2 x1 ? x 2 ? 2 , 4k ? 3

4k 2 ? 12 . x1 x2 ? 4k 2 ? 3

----------------------------------7 分

直线 AE 的方程为:y ?

y1 y2 ( x ? 2) , ( x ? 2) , 直线 AF 的方程为:y ? 令 x=3, x1 ? 2 x2 ? 2

得点 M (3,

y2 y1 y 1 y ) , N (3, 2 ) ,所以点 P 的坐标 (3, ( 1 ? )) . -----9 分 x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2

y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 y2 1 y / ? ( 1 ? ) 直线 PF2 的斜率为 k ? 3 ?1 4 x1 ? 2 x 2 ? 2
? 1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? ? .--------------11 分 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

将 x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x2 ?

4k 2 ? 12 代入上式得: 4k 2 ? 3

4k 2 ? 12 8k 2 ? 3 k ? ? 4k 1 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 . k/ ? ? ?? 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ? 2? 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . -------------------------------------13 分 4 2?
22. 解: (1)函数的定义域 x ? 0

1 f ' ? x ? ? ln x ? ? 1 x
不妨令 g ? x ? ? ln x ?

---------------------------------1 分

1 1 1 x ?1 ?1, g? ? x ? ? ? 2 ? 2 x x x x

x ? 1, g ' ? x ? ? 0, 函数 g ( x) ? f ?( x) 递增,又因为 g ?1? ? f ?(1) ? 0,
所以 x ? 1, f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单增. -----------------------------------3 分

0 ? x ? 1, g ' ? x ? ? 0, g ( x) ? f ' ? x ? 单减, f ' ? x ? ? f ' ?1? ? 0 ,函数 f ? x ? 单增 -------5 分
所以函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上递增 ---- ----------------------------------6 分 (2) h ? x ? ? ln x ?
x x

1 1 1 1 1 xe x ? e x ? x 2 ?1? x , h '? x ? ? ? 2 ? x ? x e x x e x 2e x
2 x

设 ? ? x ? ? xe ? e ? x , ? ' ? x ? ? xe ? 2 x ? x e ? 2 ----------------------7 分
x

?

?

x ? ? 0, ln 2 ? , ? ' ? x ? ? 0, ? ? x ? 单减, ? ? x ? ? ? ? 0 ? ? ?1 ? 0 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 单减.
x ? ? ln 2, ?? ? , ? ' ? x ? ? 0, ? ? x ? 单增, ? ? x ? ? ? ? ln 2 ? ? 2 ln 2 ? 2 ? ? ln 2 ?
又 ? ?1? ? ?1 ? 0, ? ? 2 ? ? e ? 4 ? 0 存在 x0 ? ?1, 2 ? , 使得 ? ? x ? ? 0,
2
2

在 ? 0, x0 ? 上,? ? x ? ? 0, 在 ? x0 , ?? ? 上,? ? x ? ? 0

h ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上递减,在 ? x0 , ?? ? 上递增

h ? x ? ? h ? x0 ? ? ln x0 ?

1 1 ? 1 ? x0 x0 e

----------------------------------10 分



1 1 1 1 1 2 1 ? ? 2 ,所以 h ? x ? ? h ? x0 ? ? ln x0 ? ? 1 ? x0 ? ln x0 ? ? 2 ? 1 x0 x0 e x0 x0 e x0 x0

不妨令 M ( x) ? ln x ?

2 1 ? ?1 x x2 2 1 1 2 2 ? 2 ? 1)? ? ? 2 ? 3 x x x x x

当 x ? ?1, 2 ? 时, M ?( x) ? (ln x ?

M ?( x) ?

1 2 2 1 (1 ? ? 2 ) ? 0 , M ( x) ? 0 是单增函数,又 M (1) ? 0 , M (2) ? ln 2 ? ? 1 x x x 4
2 1 ? 2 ?1 ? 0 x0 x0
---------------------12 分

1> h( x0 ) ? ln x0 ?

所以 k ? 0 ,所以 k 的最大值为 0 .

--------------------13 分



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