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导数概念及其运算



高三理科数学第一轮复习

NO.15
一、知识梳理:

导数概念及其运算

?t

1.一般地,函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上的平均变化率为

2. (1)一般地,运动物体位移 S (t ) 的平均变化率 S (t 0 ? ?t ) ? S (

t 0 ) ,如果当 ?t 无限趋近于 0 时, 的
S (t 0 ? ?t ) ? S (t 0 ) ?t

无限趋近于一个

,那么这个常数称为物体在 t ? t 0 时


0

(2)一般地,运动物体速度 V (t ) 的平均变化率 V (t 时, V (t 的
0

? ?t ) ? V (t 0 ) ?t

,如果当 ?t 无限趋近于 0

? ?t ) ? V (t 0 ) ?t

无限趋近于一个

,那么这个常数称为物体在 t ? t 0 时



3.函数 f ( x) 在 x ? x 0 处的导数: (1)定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上有定义, x 0 ? (a, b) ,若 ?x 无限趋近于 0 时,比 值
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = 无限趋近于一个常数 A,则称 f ( x) 在 x ? x 0 处 ?x ?x

, 。

并称该常数 A 为函数 f ( x) 在 x ? x 0 处的 4. 函数 f ( x) 的导函数:

,记作

(2)几何意义:导数 f ' ( x 0 ) 的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 P( x 0 , f ( x 0 )) 处的 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变 化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为_____________,记作:________________ 注:⑴ 在不引起混淆时,导函数 f ' (x)也简称为 f (x)的导数; ⑵ 瞬时速度可表示为 v (t) = s' (t),瞬时加速度可表示为 a (t) = v' (t); ⑶ f (x)在 x = x0 处的导数 f ' (x0) 就是导函数 f ' (x)在 x = x0 处的函数值; ⑷ f ' (x0)的另一种表示方法:f ' (x)|x =x 或y'|x =x 。 0 0 5.基本初等函数的求导公式: (C) =__________, (cosx) =__________ (loga ) =____________
x / / / /

(x ) =_________(n∈Z), (a ) =_________ (lnx) =____________
x /

n /

(sinx) =___________ (e ) =__________
x /

/

6.导数运算法则: (1)[f(x)±g(x)] =___________________
/ /

(2)[Cf(x)] =___________________ f(x) / ] =___________________ g(x)

/

(3)[f(x)g(x)] =_______________________ (4)[

7.复合函数的导数: y = f (u), u=g(x), y = f(g(x))的导数为____________________

1

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二、基础练习 1.一质点 M 的运动方程为 s ? t 2 ? 1 (位移单位: m ,时间单位: s ) ,则质点 M 在 2 ( s ) 到 2 ? ?t (s) 的 平 均 速度 为 。
?S = ?t

,质 点 M 在 t ? 2s 时 的 速 度

2.若函数 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在区间 [ x 0 , x 0 ? ?x] 上的平均变化率
f ( x) 在 x ? x 0 时的瞬时变化率 f ' ( x 0 ) ?

?y = ?x





3.若 直 线 y ? ? x ? b是 函 数 y ? x2 图 像 的 切 线 , 则 b= 为 。

,切点坐标

4.已知函数 f (x)的图象经过点 P(2,5),且在点 P 处的切线方程是 2x-y+1=0,则 f /(2)=______

5. 若直线 y=kx-3 与曲线 y=2ln x 相切,则实数 k=________. 三、典例分析: 题型一 利用导数定义求导数 例 1.如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深 8 cm ,上口宽 6 cm , 水以 20 cm / s 的流量倒入杯中,当水深为 4 cm 时,求水升高的 瞬时变化率。
8 4
3

6

2

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题型二

导数的运算

例⒉(1)设函数 f ( x) ? (3x2 ? x ?1)(2x ? 3) ,求 f ' ( x) ;

(2)求函数 y ? x2 sin x 的导数;

(3)求函数 y ?

ex ? 1 的导数 ex ?1

例3.求下列复合函数的导数. (1) y = (2x-3)5; (2)y=

3-x ;

(3) y= ln (2x+5).

题型三

导数的意义及应用 1 4 例4.已知曲线 y ? x 3 ? . 3 3

(1)求曲线在点 P ? 2,4? 处的切线方程;

(2)求曲线过点 P ? 2,4? 处的切线方程. (3)求斜率为 4 的曲线的切线方程。

3

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变式: (! ) 求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程.

(2) 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax 2 ? 求实数 a 的值

15 x ? 9 都相切, 4

4

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NO.15 导数概念作业
1.曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则点 P0 的坐标为 _____________

2.若直线 y=kx 与曲线 y=x3 - 3x2 + 2x 相切,则 k=

.

3.若函数 f ( x) ?

1 3 x ? f / (?1) x 2 ? x ? 5, 则f / (?1) 的值为:_____________ 3

4.飞船发射后的一段时间内,第 t 秒时的高度 h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中 h 的单 位 为 m,t 的单位为 s.(1)第 t0 秒末的瞬时速度 ;( 2 )经过时间 飞船的速度达到 75 m/s。

5.抛物线 y ? x 2 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为_________________

) ( ?x 6. 已 知 函 数 y ? f( x

R ) 任 意 一 点 ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 上

k ? ( x0 ? 2)( x0 ? 1)2 , 则该函数单调递减区间为



1 7 . 已 知 曲 线 y ? 3 x2 在 点 B, C 处 的 两 条 切 线 交 于 点 A(0, ) , 则 3 ? ? ?? ? ? ? ? A B? A =____________. C

8. 向气球内充气,若气球的体积以 36? (cm3 / s )的速度增大,则当气球体积为
36? cm3 时半径增大的速度为

9.已知曲线 y ? 2 ln x ? x 2 在点 x=x0 处的切线 L 斜率 k≤4 ,求切线 L 的方程

5

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10.设 A,B 是曲线 C: y ? 3 ( x ? 1) ?

2 上不同的两点,且曲线 C 在 A,B 两点处的 x ?1 切线都与直线 AB 垂直.⑴求证:直线 AB 过点(-1,0);⑵求直线 AB 的方程.

11.已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) . x ?1
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)若 a ? 2 ,求证:直线 3x ? y ? m ? 0 不可能是函数 f ( x) 图象的切线.

6

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1 2 x ? 2ax, g ( x) ? 3a 2 ln x ? b, ,其中 a ? 0 .设 2 两曲线 y ? f ( x), y ? g ( x) 在公共点 ( x0 , y0 ) 处的切线相同,求证: f ( x) ? g ( x)( x ? 0).

12.已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

7

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3 13.已知函数 f ( x) ? x ? x

(1)求过点(1,0)的曲线 y=f(x)的切线方程 (2)若过 x 轴上的点(a,0)可以作曲线 y=f(x)的三条切线, 求实数 a 的取值范围。

8



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