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直线平面平行的判定与性质



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1.排列与组合的概念
文字语言
判 定 定 理 平面外一条直线与这个平 面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行(线 线平行?线面平行)

图形语言

符号语言

l
?
?

a
L

∵l∥a,a?α , l?α ,∴l∥α ∵l∥α ,l?β , α ∩β =b, ∴l∥b

一条直线与一个平面平行, 性 则过这条直线的任一平面 质 与此平面的交线与该直线 定 平行(简记为“线面平行 理 ?线线平行”)

?

b

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2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判 定 定 理
一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行(简 记为“线面平行?面面 平行”)

图形语言
?
?
?
?

符号语言 ∵a∥β ,b∥β , a∩b=P, a?α ,b?α , ∴α ∥β ∵α ∥β , α ∩γ =a, β ∩γ =b, ∴a∥b

p b

a

性 质 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那 定 么它的交线平行 理

b a

?

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1.平行间的三种转化关系

2.判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行,因此掌握线面平行的判 定方法是必要的,判定线面平行的两种方法: (1)利用线面平行的判定定理;

(2)利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内 的任一直线平行于另一平面.

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考向一 ? 直线与平面平行的判定与性质
(2014?浙江六市六校联盟模拟)如图所示,在三棱柱ABC?A1B1C1 中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2. (1)求证:AB1∥平面BC1D; (2)若BC=3,求三棱锥D?BC1C的体积.
解 (1)证明:连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD(图略). 析: A A

∵四边形BCC1B1是平行四边形, ∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点, ∴OD为△AB1C的中位线, ∴OD∥AB1.

1

D B1 O C1 C B

∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D, ∴AB1∥平面BC1D.

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(2014?浙江六市六校联盟模拟)如图所示,在三棱柱ABC?A1B1C1 中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D为AC的中点,AA1=AB=2. (1)求证:AB1∥平面BC1D; (2)若BC=3,求三棱锥D?BC1C的体积. (2)在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱CC1∥AA1. 又∵AA1⊥平面ABC, ∴侧棱CC1⊥平面ABC,
A1 D B1 O C B A

故CC1为三棱锥C1BCD的高,A1A=CC1=2, ∴S△BCD=
1 2 1 S△ABC= 2 1 (2

3 BC?AB)= 2


C1 3 ×2× 2 =1.

1 1 ∴VDBCC1=VC1BCD= 3 CC1?S△BCD=3

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同类练1:如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB =90°,E是棱CC1的中点,F是AB的中点,AC=BC=1,AA1=2. (1)求证:CF∥平面AB1E;(2)求三棱锥C-AB1E的高.
解析: (1)证明:取AB1的中点G,连接EG,FG, ∵F,G分别是AB,AB1的中点,
A1 E G C1

B1

∴FG∥BB1,FG=
∴FG∥EC,FG=EC,

1 2 BB1.

∵E为侧棱CC1的中点,
C
A

∴四边形FGEC是平行四边形,

F

B

∴CF∥EG,∵CF?平面AB1E,EG?平面AB1E,
∴CF∥平面AB1E.

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同类练1:如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB =90°,E是棱CC1的中点,F是AB的中点,AC=BC=1,AA1=2. (1)求证:CF∥平面AB1E;(2)求三棱锥C-AB1E的高.
(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC, ∴BB1⊥平面ABC.

又AC?平面ABC,∴AC⊥BB1,
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, ∵BB1∩BC=B,∴AC⊥平面EB1C,∴AC⊥CB1, 1 1 1 1 ? VA-EB1C = S ΔEB1C AC = ? ( ? 1 ? 1) ? 1 = 3 3 2 6 A1 E

C1

B1

? AE = EB1 = 2, AB1 = 6 ? S ΔAB E
1

3 = 2

C A B

? VC-AB1E = VA-EB1C

? 三棱锥C - AB1E的高为

3VC-AB1E S ΔAB1E

=

3 3

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变式练 2 如图,在四棱锥P?ABCD中,CD∥AB, DC = 1 2 AB,试在线段PB上找一点M,使CM∥平面PAD,并说 明理由.
解析: 当M为PB的中点时,CM∥平面PAD.
D

法一:取AP的中点F,连接CM,FM,DF. 1 则FM∥AB,FM= 2 AB. ∵CD∥AB,CD= AB, ∴FM∥CD,FM=CD. ∴四边形CDFM为平行四边形. ∴CM∥DF. ∵DF?平面PAD,CM?平面PAD, ∴CM∥平面PAD.
1 2
F P

C

A M

B

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同类练1:如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E 是棱CC1的中点,F是AB的中点,AC=BC=1,AA1=2. (1)求证:CF∥平面AB1E;(2)求三棱锥C-AB1E的高.
Q 法二:在四边形ABCD中, 设BC的延长线与AD的延长线交于点Q,连接PQ,CM. ∵CD∥AB,∴∠QCD=∠QBA. C ∵∠CQD=∠BQA, QC CD 1 D ∴△CQD∽△BQA.∴ QB = AB = 2 ∴C为BQ的中点. A ∵M为BP的中点,∴CM∥PQ.

B

∵PQ?平面PAD,CM?平面PAD, ∴CM∥平面PAD.

M P

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拓展练:三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形,侧棱A1A⊥底 面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点且EC=2FB.点M是线 段AC上的动点,当点M在何位置时,BM∥平面AEF? 解析:法一:如图(1),取AE的中点O,连接OF, 过点O作OM⊥AC于点M,此点M即为所求. ∵侧棱A1A⊥底面ABC, ∴侧面A1ACC1⊥底面ABC,∴OM⊥底面ABC. 又EC=2FB,∴OM ∴BM∥OF,又OF?平面AEF,BM?平面AEF,
A C1 A1

B1

E
O M B

/ / FB,∴四边形OMBF为矩形,

C

F

∴BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.

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考向分层突破二:平面与平面平行的判定与性质 例2(2013·陕西卷)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正 方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1= . 2
(1)证明 平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
D1 A1 D1 A1 A D A D O B C B1 C C1 B1 C1

O
B

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跟踪训练:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中 心,P是DD1的中点,若Q是CC1上的中点. 证明:平面D1BQ∥平面PAO. 证明:∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点, ∴QB∥PA.
D1 A1 P B1 Q C1

∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO, QB?平面PAO,PA?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B,D1B,QB?平面D1BQ, ∴平面D1BQ∥平面PAO.

D

C O B

A

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面面平行的证明方法 (1)利用定义:即判断两个平面没有公共点.

(2)利用面面平行的判定定理.
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.

(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于 第三个平面,则这两个平面平行.

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考向分层突破三:平行关系的综合应用
例3(2014?合肥模拟)如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N, G分别是AB,AD,EF的中点. (1)求证:BE∥平面DMF;(2)求证:平面BDE∥平面MNG. 证明: (1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO, 则MO为△ABE的中位线, 所以BE∥MO, 又BE?平面DMF,MO?平面DMF, 所以BE∥平面DMF.
E G F O D N A M B C

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例3(2014?合肥模拟)如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N, G分别是AB,AD,EF的中点. (1)求证:BE∥平面DMF;(2)求证:平面BDE∥平面MNG. (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点, 所以DE∥GN, 又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG. 又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,所以 BD∥MN, E 又BD?平面MNG,MN?平面MNG, 所以BD∥平面MNG,
G F

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线, 所以平面 BDE∥平面MNG.
A

D
N M B

C

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跟踪训练:如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个 截面,若截面为平行四边形. (1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH; (2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围. (2)设EF = x(0<x<4), 解析: (1) 证明: ∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴EF ∥HG. CF x FG BF BC - CF x
CB 4 ABD 6 ,∴ BCEF∥平面 BC ABD. 4 ∵HG ?平面
3 FG =6- x. ∵∴ EF ?平面 ABC 2 ,平面ABD∩平面ABC 3 =AB,
A H E B G

?

=

,则

=

=

= 1-

D

F
C

的周长 l=2(x+6-2 x)=12-x. ∴∴四边形 EF∥AB.EFGH ∴AB∥平面 EFGH.

又∵0<xCD <4∥平面 ,∴8< l<12, 同理可证, EFGH. ∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).

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在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平 行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立 的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必 须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线 平行.

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