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2014届高考一轮复习方案课件--数学理科(新课标·人教B版):第9单元-统计、统计案例-数学(171张PPT)



新课标·人教B版

第九单元 统计、统计案例

第54讲 第55讲

随机抽样 用样本估计总体

第56讲

变量的相关性、统计案例

单元网络

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核心导语
一、统计 1.使用范围——随机抽样的三种方法的区别. 2.两个图——茎叶图与频率分布直方图的使用. 3.数字特征——平均数、中位数、众数、方差、标准 差的计算. 二、统计案例 1.两类关系——函数关系与相关关系. 2.回归直线——最小二乘法的应用. 3.列联表——K2的观测值与临界值的比较.

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使用建议
1.编写意图 本单元内容由教材中必修3第二章《统计》和选修2- 3第三章“统计案例”部分整合而成.本单元内容与生产 生活实际结合较为紧密,特别是统计与统计案例,数据多, 公式多,要求考生有较强的数据处理能力,公式一般不需 要记忆,考试时会给出公式.根据考试大纲和高考对本单 元考查的实际情况,本单元在编写时注意到以下几点: (1)注意了基础知识的全面性和系统性. (2)注意了统计方法的讲解,编写中把各种统计方法 的使用放在首位.

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使用建议
(3)把握基本题型.对各种基本题型进行了详细简述, 目的是帮助学生构建知识体系,能针对不同的概率类型灵 活选择相应的方法和公式. (4)注意了高考的发展趋势,重点关注概率与统计相 结合的解答题的训练.

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使用建议
2.教学指导 在复习过程中,要注意以下几个方面: (1)强化概念的教学,本单元概念较多,引导学生结合 具体题目,仔细体会概念的含义,通过适当练习,学会如 何使用概念解题. (2)统计图表是统计中的主要工具,教学中要使学生学 会从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法. (3)加强运算能力的培养,统计的数字计算较繁,要求 学生培养良好的运算习惯,通过统计的复习提高运算能 力.

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使用建议
3.课时安排 本单元包括3讲和1个45分钟滚动基础训练卷,1个单 元能力检测卷,第56讲分两个课时使用,另两讲和45分钟 滚动基础训练卷及单元能力检测卷建议各用1课时,共需6 课时完成.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第54讲 随机抽样

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考试大纲
1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解 分层抽样和系统抽样方法.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

—— 知 识 梳 理 —— 一、总体、个体、样本 在统计里,把所考察对象的某一数值指标的全体构成 的集合看成________,其中构成总体的每一个考察的对象 总体 为________.从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫 个体 样本 做 总 体 的 一 个 ________ , 样 本 中 包 含 的 个 体 数 目 叫 做 样本容量 ________. 二、随机抽样 抽样时保持每一个个体都可能被抽到,每一个个体被 抽 到 的 机 会 是 ________ , 满 足 这 样 条 件 的 抽 样 是 均等的 ________. 随机抽样
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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

三、简单随机抽样 逐个不放回 1.定义:设一个总体含有N个个体,从中__________ 地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的 各个个体被抽到的___________,就把这种抽样方法叫做 机会都相等 简单随机抽样. 2.最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数 法.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

四、系统抽样 1.定义:当总体中的个体数目较多时,可将总体 分成均衡的几个部分 事先定出的规则 ___________________ , 然 后 按 照 ________________ , 从 每一部分抽取1个个体得到所需要的样本,这种抽样方法 叫做系统抽样.

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第54讲
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随机抽样

2.系统抽样的操作步骤:第一步,利用随机的方式将总体 中的 N 个个体编号;第二步,将总体的编号分段,要确定分段 N N N 间隔 k,当 n 是整数时,k= n ;当 n 不是整数时,通过从总体中 N′ 剔除一些个体使剩下的个体个数 N′能被 n 整除,这时 k= n ; 第三步,在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k); 第四步,按事先确定的规则抽取样本,通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k), 将(l+k)加上 k, 得到第 3 个个体编 号(l+2k),这样继续下去,直到获取整个样本(注:这是个常用 方法,但不是唯一的方法).

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第54讲
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随机抽样

五、分层抽样 互不交叉的层 1.定义:在抽样时,将总体分成_____________,然 比例 后按照一定的________,从各层独立地抽取一定数量的个 体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方 法就叫做分层抽样. 2.分层抽样的操作步骤:第一步,确定样本容量与 总体个数的比;第二步,计算出各层需抽取的个体数;第 三步,采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体; 第四步,将各层中抽取的个体合在一起,就是所要抽取的 样本.

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第54讲
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随机抽样

六、三种抽样方法的区别与联系
类别 共同 点 各自 特点 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样

抽样过程中每个个体被抽到的机会均等,不放回抽样 将总体均分成几 部分,按事先确 将总体分n层,按比 例分层进行抽取 定的规则在各部 分抽取 在起始部分抽样 时采用简单随机 抽样 总体中个体数较 少 总体中个体数较 多 各层抽样采用简单 随机抽样或系统抽 样 总体由差异明显的 几部分组成

从总体中逐个抽 取

相互 联系 适用 范围

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

—— 疑 难 辨 析 ——
1.简单随机抽样 (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性 与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大.( ) (2)从 20 个零件中用简单随机抽样一次性抽取 3 个 进行质量检测.( ) (3)从 100 件玩具随机拿出一件, 放回后再拿出一件, 连续拿 5 次,是简单随机抽样.( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)在简单随机抽样中, 某一个个体被抽到的可能性与 第几次抽取无关,每一次抽到的可能性相等. (2)简单随机抽样的抽取方法是逐个抽取. (3)简单随机抽样的抽取方法是不放回地抽取.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

2.系统抽样 (1) 当 总 体 中 个 体 数 较 多 时 , 应 采 取 系 统 抽 样 法.( ) (2)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个 容量为 20 的样本,需要剔除 2 个学生,这样对被剔除者 不公平.( )

[答案] (1)√ (2)×

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)当总体中个体数较多时,用简单随机抽样,操 作不方便,如果样本之间差异不大,也不需要分层,所以用 系统抽样法较好. (2)因为剔除个体时是随机的,每个学生被剔除的可能性 20 相等,在整个抽样过程中,每个学生被抽取的概率仍是1 002.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

3.分层抽样 (1)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及 分层有关.( ) (2)某地区教育部门要调查中小学生的近视情况及形 成原因,要抽取 1%的学生进行调查,可用分层抽样进 行.( )

[答案] (1)× (2)√

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)分层抽样中,每层的样本数量与每层的个 体数量的比,与这一层的个体数量与总体数量的比相等, 每个个体被抽到的可能性相等,与层数及分层无关. (2)因为不同年龄段的学生的近视情况可能存在明显 差异,因此,宜将全体学生分成高中、初中和小学三部 分分别抽样.

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

4.三种抽样方法的比较 (1)某班有 45 人,现抽取 5 人参加一项社会活动,则 可以用简单随机抽样法抽取.( ) (2)某校即将召开学生代表大会,现要从高一、高二、 高三共抽取 60 名代表, 则可用分层抽样方法抽取. ( ) (3)三种抽样方法,不论是哪一种,总体中每一个个 体被抽到的机会均等.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

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第54讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)由于人数不多,用简单随机抽样,比较方 便. (2)考虑到不同年级学生的差异,用分层抽样方法抽 取代表比较合适. (3)根据三种抽样方法的规则可知,每个个体被抽到 的机会均等.

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第54讲

随机抽样

考点统计 1.简单随机抽样 2.系统抽样 3.分层抽样

考频 0 0 填空(1)

示例(难度)

点 面 讲 考 向

2009年辽宁T13(B), 2012年天津T9(A), 2012年山东T4(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年辽宁卷情况.

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第54讲

随机抽样

?

探究点一

简单随机抽样

点 面 讲 考 向

例 1 第十二届全运会将于 2013 年 8 月 31 日至 9 月 12 日在辽宁省沈阳市举行,沈阳某大学为了支持大运会,从报 名的 30 名大三学生中选 8 人组成志愿小组,请用抽签法和 随机数表法设计抽样方案.

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第54讲

随机抽样

[思考流程] 条件:总体中的个体数不多;目标:抽 取样本;方法:抽签法、随机数表法.
点 面 讲 考 向

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

解:(1)抽签法: 第一步:将 30 名学生编号,编号为 01,02,?,29,30; 第二步: 30 个号码分别写在 30 张外形完全一样的纸张 将 上,并揉成团,制成号签; 第三步:将 30 个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅 匀; 第四步: 从盒子中逐个抽取 8 个号签, 并记录上面的编号, 编号对应的志愿者,就是选出的学生志愿者成员.

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第54讲

随机抽样

(2)随机数表法: 第一步:将 30 名志愿者编号,编号为 01,02,03,?, 30;
点 面 讲 考 向

第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任意方向读 数,比如第 8 行第 29 列的数 7 开始,向右读; 第三步:从数 7 开始,向右读,每次取两位,凡不在 01~ 30 中的数,或已读过的数,都跳过去不作记录,依次可得到 12,07,21,29,15,13,02,09; 第四步:找出以上号码对应的志愿者,就是志愿小组的成 员.

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第54讲

随机抽样

[点评] 总体的个数较少,利用随机数表法或抽签法可容 易获得样本; 随机数表法的操作要点: 编号、 选起始数、 读数、 获取样本;抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取.
点 面 讲 考 向

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第54讲

随机抽样

归纳总结 简单随机抽样关键是掌握操作步骤:随 机数表法的操作要点:编号、选起始数、读数、获取样 本;抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取.
点 面 讲 考 向

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 (1)利用抽签法, n 个个体中抽取一个容 从 量为 10 的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被 1 抽到的概率为3,则在整个抽样过程中,每个个体被抽 到的概率为( ) 1 5 1 10 A.3 B.14 C.4 D.27 (2)用随机数表进行抽样有以下几个步骤: ①将总体 中的个体编号;②获取样本号码;③选定开始的数字, 这些步骤的先后顺序应为( ) A.①②③ B.①③② C.③②① D.③①②

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第54讲

随机抽样

[答案] (1)B (2)B
点 面 讲 考 向

9 1 10 5 [解析] (1)由题意, 得 = , 解得 n=28, P=28=14, 则 n-1 3 故选 B. (2)根据随机数表法的步骤,按①③②的顺序进行,故选 B.

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第54讲

随机抽样

?

探究点二

系统抽样

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 山东卷] 采用系统抽样方法从 960 人 中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1, 2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法 抽到的号码为 9, 抽到的 32 人中, 编号落入区间[1, 450] 的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B, 其余的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 ( ) A.7 B.9 C.10 D.15

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 海口模拟] 某学校从高三全体 500 名学生中抽 50 名学生做学习状况问卷调查, 现将 500 名学生从 1 到 500 进行编 500 号,求得间隔数 k= 50 =10,即每 10 人抽取一个人,在 1~10 中随机抽取一个数, 如果抽到的是 6, 则从 125~140 的数中应取 的数是( ) A.126 B.136 C.126 或 136 D.126 和 136

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解系统抽样方法;推理:求出给定 区间的人数;结论:所求组的人数. (2)分析:理解系统抽样的抽取方法;推理:间隔相同抽取; 结论:分组的样本编号.

[答案]

(1)C

(2) D

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[解析] (1)第 n 个抽到的编号为 9+(n-1)×30=30n-21,由 11 7 题意得 451≤30n-21≤750,解之得 15 ≤n≤25 . 15 10 又∵n∈Z,∴满足条件的 n 共有 10 个,故选 C. (2)上述抽样方法是将全体学生平均分成若干组,每组 10 人; 从第一组中抽出了 6 号, 以后各组抽 6+10(n-1)(n 为自然数)号, 而从 125~140 的数为 n=13 和 14,故选 D.

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[点评] 一般地, 系统抽样是等距离抽样, 若第一组抽取号码 a, 然后以 d 为间距依次等距离抽取后面的编号, 抽出的所有号码 为 a+dk(k=0,1,2,?,n-1),其中 n 是组数.值得注意的是, 并不是所有的系统抽样都是等距离抽样, 这要看所给的抽样规则, 如下面变式题:

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 系统抽样又称为等距抽样,号码序列一确 定,样本就确定了,但有时也不是按一定间隔抽取的.应 用系统抽样方法抽样时,要注意其一般步骤.

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 (1)一个总体中有 100 个个体, 随机编号为 0, 1,2,…,99,依编号顺序平均分成 10 组,组号依次为 1, 2,3,…,10,现用系统抽样抽取一个容量为 10 的样本, 并规定: 如果在第一组随机抽取的号码为 m, 那么在第 k(k =2,3,…,10)组中抽取的号码的个位数字与 m+k 的个 位数字相同.若 m=6,则该样本的全部号码是 __________________. (2)将某班的 60 名学生编号:01,02,…,60,采用 系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本, 且随机抽得的一 个号码为 04,则剩下的四个号码依次是________.

[答案] (1)6,18,29,30,41,52,63,74,85,96 (2)16,28,40,52
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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由规则,第 2 小组 m+k 为 8,抽取号码为 18; 第 3 小组 m+k 为 9,抽取号码为 29,第 4 小组 m+k 为 10, 抽取号码为 30;第 5 小组 m+k 为 11,抽取号码为 41;第 6 小组 m+k 为 12,抽取号码为 52;?,故该样本的全部号码 是 6,18,29,30,41,52,63,74,85,96. (2)依系统抽样规则,剩下的四个号码依次是 16,28,40, 52.

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第54讲

随机抽样

?

探究点三

分层抽样

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012· 江苏卷] 某学校高一、高二、高三年 级的学生人数之比为 3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从 高二年级抽取________名学生. (2)[2012· 天津卷] 某地区有小学 150 所,中学 75 所, 大学 25 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取________ 所学校,中学中抽取________所学校.

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随机抽样

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解分层抽样;推理:求出 分层比例;结论:得出所求年级的人数. (2)分析:理解分层抽样;推理:确定各层比例;结 论:求得各部分个数.

[答案]

(1)15

(2)18

9

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随机抽样

点 面 讲 考 向

[解析] (1)根据分层抽样的定义, 可得高二年级应该抽取学生 3 50× =15(名). 3+3+4 (2)设从小学抽取 m 所,中学抽取 n 所,由分层抽样的特点, 30 m n 得150=75= ,解之得 m=18,n=9. 150+75+25

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随机抽样

点 面 讲 考 向

[点评] 分层抽样解题的关键是抽取比例,比例确定之后, 各层以同一比例抽取样本, 这样就保证了各个个体被抽取的机会 均等;在求解的过程中,要注意比例的性质、解方程的方法的应 用.

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随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 应用分层抽样应遵循的两点: ①分层,将相似的个体归为一类,即为一层,分层要求每 层的各个个体互不交叉,即不重复不遗漏. ②分层保证每个个体等可能被抽取,需遵循在各层中进行 简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比与这层 个体数量与总体容量的比相等.

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随机抽样

变式题 [2012· 南阳一模] 某地为了调查职业满意度,决定 用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关 人员中抽取若干人组成调查小组,相关数据见下表:
点 面 讲 考 向
相关人员数 35 a 28 抽取人数 b 3 4

公务员 教师 自由职业者

则调查小组的总人数为( A.84 B.12 C.81 D.14

)

[答案]

B

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随机抽样

[解析] 由自由职业者的人数和抽取人数可知,取样比例为 4 1 1 = ,故 b=35× =5,即调查小组有 12 人.故选 B. 28 7 7
点 面 讲 考 向

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随机抽样

?

探究点四

三种抽样方法的综合

点 面 讲 考 向

例 4 (1)[2012· 江西重点中学一模] 在 100 个零件中,有一 级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作为 样本:①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,…,99, 抽出 20 个;②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个;③采用分层抽样法,随机从一 级品中抽取 4 个,二级品中抽取 6 个,三级品中抽取 10 个.则 ( )

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随机抽样

点 面 讲 考 向

A.不论采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的 1 概率都是 5 B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率 1 都是5,③并非如此 C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率 1 都是5,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概 率各不相同

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 吉林一模] 从总数为 N 的一群学生中抽取一个容量 1 为 100 的样本, 若每个学生被抽取的概率为 , N 的值为( 则 ) 4 A.25 B.75 C.400 D.500

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随机抽样

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解三种抽样;推理:等概率抽样;结 论:抽取的概率相同; (2)分析:理解抽样的概率;推理:确定抽取人数;结论: 总体的个数.

[答案]

(1)A

(2)C

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随机抽样

点 面 讲 考 向

[解析] (1)根据三种抽样的定义,简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样都是随机抽样,每个个体被抽中的概率都相等,都属于 等概率抽样,故选 A. 100 1 (2)由随机抽样,得 N = ,解之得 N=400,故选 C. 4

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[点评] 三种抽样方法的共同点都是等概率不放回抽样,即 抽样过程中每个个体被抽到的概率相等, 体现了这三种抽样方法 的客观性和公平性.若样本容量为 n,总体的个体数为 N,则用 n 这三种方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是N.

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随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方 法,是其他两种方法的基础,适用范围不同,要根据总体的具体 情况选用不同的方法;它们的共同点都是等概率抽样,即抽样过 程中每个个体被抽取的概率相等, 体现了这三种抽样方法的客观 性和公平性,若样本容量为 n,总体的个体数为 N,则用这三种 n 方法抽样时,每一个个体被抽到的概率都是N.

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第54讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 现要完成下列 3 项抽样调查: ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有 32 排,每排有 40 个座位,有一次报告会恰 好坐满了听众,报告会结束后,为了听取听众意见,需要请 32 位听众进行座谈. ③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政 人员 16 名,后勤人员 24 名.为了了解教职工对学校在校务公开 方面的意义,拟抽取一个容量为 20 的样本.较为合理的抽样方 法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样

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随机抽样

[答案]

A

点 面 讲 考 向

[解析] ①总体较少,宜用简单随机抽样;②已分段,宜用系 统抽样;③各层间差距较大,宜用分层抽样,故选 A.

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随机抽样

易错究源

20

三种抽样方法相混致误

多 元 提 能 力

例 [2012· 漳州三校二联] 某学校为了调查高二年级 的 80 名文科学生和高三年级的 120 名文科学生完成课后 作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学 生会的同学随机抽取高二年级 8 名和高三年级 12 名同学 进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编 号,从 001 到 200,抽取学号最后一位为 2 的同学进行调 查,则这两种抽样的方法依次为( ) A.分层抽样,简单随机抽样 B.抽签法,随机数表法 C.分层抽样,系统抽样 D.简单随机抽样,系统抽样

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第54讲

随机抽样

错解 B 由于人数不多,第一种抽样方法是抽签 法.① 由于把 200 名同学编号, 则第二种抽样方法是随机数 表法,故选 B.②

多 元 提 能 力

[错因] ①处:只看到从高二抽 8 名、从高三抽 12 名,就误 认为是抽签法,忽视了简单随机抽样是对总体的; ②处:只知道系统抽样常用于总体个数较多时,忽视了第二 种抽样方式符合系统抽样的基本特征.

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第54讲

随机抽样

[正解] C

多 元 提 能 力

[解析] 由于高二与高三完成课后作业所需时间有明 显区别,则应选用分层抽样; 把学生编号,抽取学号最后一位为 2 的同学,即把学 生分为 20 组,每组 10 人,学号每增加 10,抽取 1 人, 则应是系统抽样.综上,这两种抽样方法应是分层抽样、 系统抽样,故选 C.

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第54讲

随机抽样

自我检评 (1)[2013· 南通中学联考] 某地有居民 2 万户, 从中随机抽取 200 户,调查是否已安装安全救助报警系统,调 查结果如下表所示: 外来户 原住户 60 35 已安装 45 60 未安装 则该小区已安装安全救助报警系统的户数估计有________ 户.

多 元 提 能 力

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第54讲

随机抽样

(2)某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每 月的销售总额.采取如下方法:从某本发票的存根中随机抽一 张,如 15 号,然后按序往后将 65 号,115 号,165 号,…, 发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是 ( ) A.抽签法 B.随机数表法 C.系统抽样法 D.其他方式的抽样
多 元 提 能 力

[答案]

(1)9 500

(2)C

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第54讲

随机抽样

[解析] (1)根据随机抽样的性质,每一户被抽到的概率为 200 1 =100,设该小区已安装安全救助报警系统的户数为 x,则 20 000 1 有100· x=60+35=95,得 x=9 500. (2)上述抽样方法是将发票平均分成若干组,每组 50 张;从 第一组中抽出了 15 号,以后各组抽第 15+50n(n 为自然数)号, 符合系统抽样的特点,故选 C.
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第54讲

随机抽样

【备选理由】 例题中涉及三种抽样方法,用以巩固学生所学知识、 熟练掌握方法,为探究点四的补充.

教 师 备 用 题
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随机抽样

教 师 备 用 题

例 为了考察某校的教学水平,将抽查这个学校高三 年级部分学生的本学年考试成绩进行考察.为了全面地反 映实际情况,采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共 有 14 个教学班,并且每个班内的学生都已经按随机方式编 好了学号,假定该校每班人数都相同). ①从全年级 14 个班中任意抽取一个班,再从该班中任 意抽取 14 人,考察他们的学习成绩; ②每个班都抽取 1 人,共计 14 人,考察 14 个学生的 成绩; ③把学校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普 通三个级别,从中抽取 100 名学生进行考察(已知若按成绩 分,该校高三学生中优秀学生有 105 名,良好学生有 420 名,普通学生有 175 名).根据上面的叙述,试回答下列问 题:
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随机抽样

(1)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什 么?每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分别是什 么? (2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.

教 师 备 用 题
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随机抽样

解:(1)这三种抽取方式中,其总体都是指该校高三全体 学生本学年的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本学 年的考试成绩.其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 14 名学生本学年的考试成绩,样本容量为 14;第二种抽取方式 中样本为所抽取的 14 名学生本学年的考试成绩,样本容量 为 14; 第三种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本学年 的考试成绩,样本容量为 100.

教 师 备 用 题
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随机抽样

(2)上面三种抽取方式中, 第一种方式采用的方法是简单 随机抽样法;第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随 机抽样法;第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机 抽样法.

教 师 备 用 题
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第54讲

随机抽样

(3)第一种方式抽样的步骤如下: 首先在这 14 个班中用抽签法任意抽取一个班,然后从 这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 14 名学生,考察 其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下: 首先在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学 生,记其学号为 x,然后在其余的 13 个班中,选取学号为 x 的学生,共计 14 人.

教 师 备 用 题
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随机抽样

第三种方式抽样的步骤如下: 首先分层,因为若按成绩分,其中优秀生共 105 人,良 好生共 420 人,普通生共 175 人,所以在抽取样本中,应该 把全体学生分成三个层次,然后确定各个层次抽取的人数, 因为样本容量与总体的个数比为 100∶700=1∶7, 所以在每 105 420 175 个层次抽取的个数依次为 7 , 7 , 7 ,即 15,60,25. 再按层次分别抽取,在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人,在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人,在普通生 中用简单随机抽样法抽取 25 人.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第55讲 用样本估计总体

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考试大纲
1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画 频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的 特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据 标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、 标准差),并作出合理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的 基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计 总体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想 解决一些简单的实际问题.
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双 向 固 基 础

用样本估计总体

—— 知 识 梳 理 —— 一、用样本的频率分布估计总体分布 1.样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的 比,就是该数据的________,所有数据(或者数据组)的频 频率 率的分布变化规律叫做__________,可以用频率分布表、 频率分布 频率分布直方图 ________________、频率分布折线图、茎叶图等来表示. 2.作频率分布直方图的步骤:(1)求极差,即一组数 最小值 组距与组数 据中________与________的差;(2)决定_________;(3)将 最大值 数据_____;(4)列____________;(5)画频率分布直方图. 分组 频率分布表 在频率分布直方图中,纵轴表示频率组距,数据落在 各小组内的频率用各小长方形的________表示,各小长方 面积 等于1 形的面积的总和________.
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用样本估计总体

3.总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方 形上端的________,就得到频率分布折线图; 中点 (2)总体密度曲线:如果样本容量不断增大,作图所分 的________增加,________减小,相应的频率折线图会越 组数 组距 光滑曲线 光滑曲线 来越接近于一条________,统计中称这条________为总体 密度曲线.

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用样本估计总体

4.茎叶图:统计中还有一种被用来表示数据的图叫 茎叶图,茎是指中间的________,叶是从茎的旁边 一列数 生长出来的数 _______________. 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好, 茎叶图表示数据有两个突出的优点:一是它较好地保留了 原始数据 分布 _________信息,二是能够展示数据的________情况,方 便记录与表示.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

二、样本的数字特征 次数 1.众数:一组数据中出现______最多的数据叫做众

数.
2.中位数:将一组数据从小到大(或从大到小)依次排 中间 中间两数据 列,把______数据(或______________的平均数)叫做中位 数,中位数把样本数据分成了相同数目的两部分. 3.平均数:x1,x2,…,xn的平均数x= 1 n(x1+x2+?+xn) ______________________. 由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多,中位数 对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因 素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确 性.

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用样本估计总体

4.标准差与方差 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准 差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s表示. s= 1 [(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2] n ____________________________________________. 标准差的平方s2叫做方差, s2 = 1 [(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2] n ___________________________________________, 第n个数 样本容量 其 中 xn 是 __________ , n 是 __________ , x 是 平均数 ________.

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用样本估计总体

—— 疑 难 辨 析 ——
1.频率分布直方图 (1) 在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 小 矩 形 的 高 表 示 频 率.( ) (2) 频率分布直方图中各个长方 形的面积之和为 1.( )

[答案] (1)× (2)√

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用样本估计总体

[解析] (1)在频率分布直方图中,纵轴(即小矩形的高)表示 频率 . 组距 (2)根据直方图的构成特点, 各个长方形的面积表示对应样本 数据区间的频率,所有频率之和等于 1,所以各个长方形的面积 之和为 1.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

2.茎叶图的特点 (1)茎叶图中的数据都是原始数据.( (2)茎叶图只能分析一组数据.( )

)

[答案] (1)√ (2)×

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

[解析] (1)茎叶图中的数据是原始数据的直接记录,没有 进行任何加工.在数据较少时,用茎叶图记录数据较方便. (2)茎叶图可用来分析单组数据,也可以对两组数据进行 分析比较.

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

3.数字特征 (1)中位数一定出现在所给的样本数据中.( ) (2)比赛中,计算选手得分时,去掉一个最高分和最 低分对比赛结果影响不大.( ) (3)在频率分布直方图中,众数左边和右边的直方图 的面积相等.( ) (4)标准差越小,样本数据的波动也越小.( ) (5)用样本的数字特征估计总体的数字特征时,只需 求出平均数就可以了.( )

[答案] (1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

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双 向 固 基 础

用样本估计总体

[解析] (1)把一组数据按顺序排列,当数据是奇数个, 中间的数据就是中位数;当数据是偶数个,中位数是最 中间两个数据的平均数,此时,中位数可能不出现在所 给的数据中. (2)平均数受极端数值的影响较大,去掉一个最高分 和最低分的做法,是防止个别评委给出过高或过低的分 数,对选手得分造成较大的影响. (3)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方 图的面积相等,由此可以估计中位数的值,众数是最高 的矩形的中点的横坐标. (4)标准差是反映数据波动大小的量. (5)样本的数字特征包括平均数、众数、中位数、方 差、标准差等,在估计总体的数字特征时,往往将这些 数据求出来,进行综合分析.
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用样本估计总体

考点统计
点 面 讲 考 向

考频
解答(1) 0

示例(难度)
2012年辽宁T19(B), 2012年广东T17(B) 2012年陕西T6(B) 2009年辽宁T13(B), 2011年辽宁T19(B), 2012年安徽T5(A)

1.利用样本的频 率分布估计总体 分布 2.茎叶图在数据 处理中的应用 3.利用样本数字 特征估计总体的 数字特征

填空(1) 解答(1)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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用样本估计总体

?

探究点一

利用样本的频率分布估计总体分布

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 琼海一模] 为了了解某校高三 400 名学 生的数学学业水平测试成绩,制成样本频率分布直方图如图 9-55-1,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为优秀, 则及格率与优秀人数分别是( ) A.60%,60 B.60%,80 C.80%,80 D.80%,60

图 9-55-1
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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 山东卷] 如图 9-55-2 是根据部分城市某 年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布 直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的 分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5, 24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温 低于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为________.

图 9-55-2
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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 理解频率分布直方图与频率的 关系;推理:求出各组的频率;结论:得出及格率与优秀 人数. (2)分析:理解直方图的意义;推理:小长方形面积和 为 1;结论:得出给定区间个数.
[答案] (1)C (2)9

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[解析] (1)由直方图,得 60 分以上的频率之和为(0.025+ 0.035+0.010+0.010)×10=0.8, 分以上的频率之和为(0.010 80 +0.010)×10=0.2, 则及格率为 80%,优秀人数为 400×0.2=80,故选 C. 11 (2)样本容量= =50, 1×(0.10+0.12) 样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 50×1×0.18 =9.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[点评] 解决频率分布直方图的问题,关键在于找出图中 频率 数据之间的联系,这些数据中,比较明显的有组距、 ,间 组距 接的有频率、小长方形的面积,合理使用这些数据,再结合两 频率 个等量关系:小长方形面积=组距× =频率,小长方形面 组距 积之和等于 1,即频率之和等于 1,就可以解决直方图的有关 问题.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

归纳总结 对频率分布直方图和茎叶图识图不准是 频率 常见的错误,在频率分布直方图中,小矩形的高= 组距 频数 频率 = ,频率= × 组距=小矩形的面积. 组距× 样本容量 组距

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用样本估计总体

?

探究点二

茎叶图在数据处理中的应用

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012· 陕西卷] 从甲乙两个城市分别随机 抽取 16 台自动售货机, 对其销售额进行统计, 统计数据 用茎叶图表示(如图 9-55-3 所示),设甲乙两组数据的 平均数分别为 x 甲, 乙, x 中位数分别为 m 甲, 乙, m 则( )

图 9-55-3

A.x 甲<x 乙,m 甲>m 乙 C.x 甲>x 乙,m 甲>m 乙

B.x 甲<x 乙,m 甲<m 乙 D.x 甲>x 乙,m 甲<m 乙
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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 北京房山区二模] 如图 9-55-4 是某年青年歌手 大奖赛中, 七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、 乙两名选手得分的平均数分别为 a1,a2,则一定有( )

图 9-55-4

A.a1>a2 B.a1<a2 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:理解茎叶图的结构;推理:求出两组 的数据;结论:得出平均数与中位数. (2)分析:理解茎叶图的茎与叶;推理:比较叶的大小;结论: 得出平均数的大小.

[答案]

(1)B

(2)B

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[解析] (1)从茎叶图把数据整理出来,得甲的数据为: 5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38, 41,43; 乙的数据为:10,12,18,20,22,23,23,27,31,32, 34,34,38,42,43,48. 计算 x 甲=
5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43 16 = 345 16 , x 乙= 10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48 16 457 = 16 ,

18+22 27+31 ∴x 甲<x 乙.又 m 甲= =20, 乙= m =29, 甲<m 乙, m 2 2 故选 B.
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用样本估计总体

(2)去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的数字之和 是 20,乙选手叶上的数字之和是 25,则 a2>a1,故选 B.
点 面 讲 考 向

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[点评] 茎叶图在样本数据较少, 较为集中且数据位数不多时 比较适用, 它可以直观展示数据的分布情况, 若样本数据较多时, 枝叶会很长不方便记录,则此方法不实用;由于它的数据都是原 始信息,解决由茎叶图给出的统计图表试题时,要充分使用这个 图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断,可 以分析样本数据的大致频率分布以及样本数据的一些数字特征.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

归纳总结 茎叶图刻画数据的优点: ①所有数据信息都可在茎叶图中看到. ②茎叶图便于记录和表示,且能够展示数据的分布情 况.

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?

探究点三

利用样本数字特征估计总体的数字特征

点 面 讲 考 向

例 3 [2012· 焦作质检] 甲、乙两位学生参加数学竞 赛培训, 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩 中随机抽取 8 次,记录如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (1)画出甲、 乙两位学生成绩的茎叶图, 指出学生乙成 绩的中位数; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛, 从平均状况和方 差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理 由.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:随机抽样的数据;目标:作 出茎叶图;方法:分清“茎”与“叶”; (2)条件:样本的数字特征;目标:作出选择;方法: 求出平均数与方差.

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用样本估计总体

解:(1)茎叶图如下:

点 面 讲 考 向

学生乙成绩的中位数为 84.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

(2)派甲参加比较合适,理由如下: 1 x 甲= (70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3) 8 =85, 1 x 乙=8(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85, 1 2 s 甲 =8[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84- 85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5, 1 2 s 乙 =8[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85- 85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41. ∵x 甲=x 乙,s 甲 2<s 乙 2, ∴甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

[点评] 现实中总体所包含的个体数往往较多,通常用样本 的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差; 平均数反映样本的总体水平,方差刻画了这组数据波动的大小, 方差越大,说明这组数据的波动越大,即这组数据越分散;讨论 成绩高低、产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、寿命长 短等问题,一般都是通过方差来体现.

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

归纳总结 利用频率分布直方图估计样本的数字特征: ①中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边 的直方图的面积相等,由此可估计中位数的值. ②平均数:平均数是频率分布直方图的“重心”,等 于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和. ③众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的 中点的横坐标.

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第55讲

用样本估计总体

变式题 [2012· 广东卷] 某校 100 名学生期中考试语文成绩 的频率分布直方图如图 9-55-5 所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
点 面 讲 考 向

图 9-55-5

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用样本估计总体

点 面 讲 考 向

(1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平 均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成 绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90) 之外的人数. 分数段 x∶y

[50,60) [60,70) [70,80) 1∶1 2∶1 3∶4

[80,90) 4∶5

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第55讲

用样本估计总体

点 面 讲 考 向

解:(1)由频率分布直方图可知 (0.04+0.03+0.02+2a)×10=1,解得 a=0.005, 故图中 a 的值为 0.005. (2)该 100 名学生的语文成绩的平均分约为 x=0.05×55+0.4×65+0.3×75+0.2×85+0.05×95=73. (3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在 各分数段的人数比, 可得下表: 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 5 40 30 20 x x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 5 20 40 25 y 于是数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.
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用样本估计总体

答题模板 题

12 准确使用统计的基本思想解释实际应用问

多 元 提 能 力

例 [2012· 银川一中期末] 甲乙二人参加某体育项目 训练,近期的五次测试成绩得分情况如图 9-55-6. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果, 对两人的训练成绩作出 评价.

图 9-55-6

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用样本估计总体

多 元 提 能 力

解:(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10 分,13 分,12 分,14 分,16 分; 2分 乙:13 分,14 分,12 分,12 分,14 分. 4分 10+13+12+14+16 x 甲= =13, 5 13+14+12+12+14 x 乙= =13, 6分 5 1 2 s 甲 =5[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16 -13)2]=4, 1 2 s 乙 =5[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14 -13)2]=0.8. 9分

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用样本估计总体

(2)由 s 甲 2>s 乙 2 可知乙的成绩较稳定. 10 分 从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩 上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明 显提高. 12 分

多 元 提 能 力

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用样本估计总体

[方法解读] 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小; 统计的基本思想是用样本 估计总体,平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体 的一种简明的描述, 它们所反映的情况有着重要的实际意 义,可以根据样本的情况去估计总体的相应情况.

多 元 提 能 力

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用样本估计总体

自我检评 [2012· 北京丰台区二模] 某地区农科所为了选 择更适应本地区种植的棉花品种,在该地区选择了 5 块土地, 每块土地平均分成面积相等的两部分,分别种植甲、乙两个品 种的棉花,收获时测得棉花的亩产量如图 9-55-7 所示: 请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由.

多 元 提 能 力
图 9-55-7

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用样本估计总体

多 元 提 能 力

解:由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为: 95+102+105+107+111 =104, 5 甲种棉花的方差为 1 2 s 甲 =5[(95-104)2+(102-104)2+(105-104)2+(107-104)2 +(111-104)2]=28.8; 98+103+104+105+110 乙种棉花的平均亩产量为: =104, 5 乙种棉花的方差为 1 2 s 乙 = [(98-104)2+(103-104)2+(104-104)2+(105-104)2 5 +(110-104)2]=14.8. 因为 s 甲 2>s 乙 2, 所以乙种棉花的平均亩产量更稳定.
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用样本估计总体

【备选理由】 例1综合了平均数、中位数、众数,可训练学生这几 种特征数的交汇及分类讨论;例2为统计在实际中的应 用.

教 师 备 用 题
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用样本估计总体

例 1 [2012· 惠州二调] 一组数据共有 7 个整数,记得 其中有 2,2,2,4,5,10,还有一个数没记清,但知道这 组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列,这个数的 所有可能值的和为( ) A.-11 B.3 C.17 D.9

[答案]

D

教 师 备 用 题
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第55讲

用样本估计总体

[解析] 设没记清的数为 x, 若 x≤2,则这列数为 x,2,2,2,4,5,10,则平均 25+x 25+x 数为 7 ,中位数为 2,众数为 2,∴2×2= 7 +2,解 得 x=-11; 若 2<x≤4,则这列数为 2,2,2,x,4,5,10,则平 25+x 均数为 ,中位数为 x,众数为 2, 7 25+x ∴2x= 7 +2,解得 x=3;
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第55讲

用样本估计总体

若 x≥5,则这列数为 2,2,2,4,5,x,10 或 2,2,2, 25+x 4,5,10,x,则平均数为 7 ,中位数为 4,众数为 2, 25+x ∴2×4= +2,解得 x=17. 7 ∴所有可能值的和为-11+3+17=9,故选 D.

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第55讲

用样本估计总体

例 2 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表: 甲 27 38 30 37 35 乙 33 29 38 34 28 31 36

(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据 的平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.
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第55讲

用样本估计总体

解:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数

从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布 均匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是 33.5,甲的中位数 是 33.因此乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好.

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第55讲

用样本估计总体

(2)计算可得:x 甲=33,x 乙=33;s 甲≈3.96,s 乙≈3.56; 甲的中位数是 33,乙的中位数是 33.5.综合比较选乙参加比 赛较为合适.

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第56讲 变量的相关性、统计 案例

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考试大纲
1.会作两个有关联变量的数据的散点图,并利用散 点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程. 3.了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、 方法及其简单应用.

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变量的相关性、统计案例

—— 知 识 梳 理 —— 一、变量间的相关关系 1.常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关 相关关系 系,另一类是________;与函数关系不同,________是一 相关关系 种非确定性关系. 2.从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区 域内,两个变量的这种相关关系称为________,点散布在 正相关 左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为 ________. 负相关

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变量的相关性、统计案例

二、回归分析 对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫回 相关关系 归分析.其基本步骤是:(1)画散点图,(2)求_________, 回归直线方程 (3)用回归直线方程作预报. 1.回归直线:观察散点图的特征,如果散点图中点 一条直线 的分布从整体上看大致在________附近,我们就称这两个 回归直线 变量之间具有________关系,这条直线叫做________. 线性相关

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变量的相关性、统计案例

2.回归直线方程的求法——最小二乘法. 设具有线性相关关系的两个变量 x,y 的一组观察值为 ^ ^ ^ (xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归直线方程y=a+bx 的系数 为:

1n 1n 中心 其中 x=n ?xi, n ?yi, y)称为样本点的________. y= (x, i=1 i=1

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变量的相关性、统计案例

3.相关系数: (1)当 r>0 时,表明两个变量________;当 r<0 时,表 正相关 负相关 明两个变量________. (2)r 的绝对值越接近于 0 时, 表明两个变量之间几乎不 存在线性相关关系;通常|r|大于 0.75 时,认为两个变量有 很强的线性相关性.

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变量的相关性、统计案例

三、独立性检验 1.若变量的不同“值”表示____________________, 个体所属的不同类别 则这类变量称为分类变量. 频数 2.列出的两个分类变量的______表,称为列联表. 假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1 , x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 Y X x1 x2 总计 y1 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d
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变量的相关性、统计案例

3.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的 方法称为____________. 独立性检验 n(ad-bc)2 (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) 独立性检验公式K2=__________________________, 其中n=a+b+c+d.

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变量的相关性、统计案例

—— 疑 难 辨 析 ——
1.变量间的相关关系 (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也 是一种因果关系.( ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生 的水平成正相关关系.( ) (3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则,则 两个变量之间不具有相关关系.( ) (4)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方 法和手段.( )

[答案] (1)×

(2)√

(3)√

(4)√

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变量的相关性、统计案例

[解析] (1)相关关系与函数关系均是指两个变量的关系, 函数 关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系;函数关 系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴 随关系. (2)高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生, 所以教师 的水平与学生的水平成正相关关系. (3)从散点图可以看出, 如果变量之间存在某种关系, 这些点 会有一个集中的大致趋势. (4)在正确作出散点图的基础上, 散点图可以初步有效地判定 变量之间的相关关系, 因此散点图可以作为判断两个变量是否相 关的一种重要方法和手段.

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变量的相关性、统计案例

2.回归分析 (1)回归分析就是研究两个相关事件的独立性. ( ) (2)回归模型都是确定性的函数,且回归模型都是线 性的.( ) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才 有预测价值.( ) (4)任何一组数据都对应着一个回归直线方程. ( ) (5)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间的 ^ 关系,得回归方程y=-2.352x+147.767,则气温为 2℃ 时,一定可卖出 143 杯热饮.( )

[答案] (1)×

(2)× (3)√

(4)×

(5)×

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变量的相关性、统计案例

[解析] (1)回归分析就是通过分析、判断,确定相关变量 之间的内在关系的一种统计方法. (2)由于收集的数据的不同, 所建立的回归模型也会不同, 回归模型有线性的,也有非线性的. (3)如果两个变量没有相关关系,即使求得了回归模型, 这个模型对这两个变量之间的变化趋势的预报也是不准确 的. (4)两个变量具有线性相关关系时,这一组数据才能确定 一个回归直线方程. ^ (5)将 x=2 代入回归方程,得y=143.063,这个值是预测 值,不是实际值.

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变量的相关性、统计案例

3.独立性检验 (1)事件 X, 关系越密切, Y 则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大.( ) (2)由独立性检验可知,有 99%的把握认为物理成绩 优秀与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有 99% 的可能物理优秀.( )

[答案] (1)√

(2)×

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变量的相关性、统计案例

[解析] (1)由统计假设,如果由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大,就拒绝假设,即拒绝事件“X 与 Y 无 关”,从而认为它们是有关的. (2)某人数学成绩优秀,只能说其物理成绩优秀的可 能性较大,有 99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩 有关,但并没有理由认为数学成绩优秀者有 99%的可能 物理成绩优秀.

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变量的相关性、统计案例

考点统计
点 面 讲 考 向

考频

示例(难度)
2012年湖南T4(A) 2011年辽宁T14(A)

1.变量相关关系的判 0 断

2.回归方程的求法及 填空(1) 回归分析
3.独立性检验的基本 思想及应用 解答(1)

2010年辽宁T18(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年辽宁卷情况.
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变量的相关性、统计案例

?

探究点一

变量相关关系的判断

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2012· 课程标准卷] 在一组样本数据(x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn 不全相等)的散点 1 图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线 y=2x +1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) 1 A.-1 B.0 C.2 D.1

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 焦作质检] 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i =1,2,…,10),得散点图 9-56-1(1);对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图 9-56- 1(2),由这两个散点图可以判断( )

图 9-56-1

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关
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变量的相关性、统计案例

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[思考流程] (1)分析:理解相关系数的意义;推理: 样本点在直线上;结论:得出相关系数的值; (2)分析:理解散点图的意义;推理:样本点的散点图 的分布;结论:得出正相关或负相关.

[答案]

(1)D

(2)C

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变量的相关性、统计案例

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[解析] (1)因为所有点都分布在一条直线上, 说明相关性很 强,相关系数达到最大值,即为 1,故选 D. (2)由题图(1)可知,各点整体呈递减趋势,x 与 y 负相关; 由题图(2)可知,各点整体呈递增趋势,u 与 v 正相关,故选 C.

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点 面 讲 考 向

[点评] 相关关系的直观判断方法就是作出散点图,如果 所有的样本点都落在某一直线附近, 变量之间就有线性相关关 系. 散点图从定性角度说明变量间是否具有相关性以及是否是 线性相关,但不能精确地说明变量之间的密切程度;相关系数 r 从定量的角度分析线性相关性的强弱,|r|越接近 1,线性相 关程度越高,反之亦然,r>0,表示两变量为正相关,r<0,表 示两变量为负相关.

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

归纳总结 对两个变量的相关关系的判断有两个方 法:一是根据散点图,具有很强的直观性,直接得出两 个变量是正相关或负相关,线性回归分析以散点图为基 础,拟合效果的好坏可由直观性直接判断;二是计算相 关系数法,这种方法能比较准确地反映相关程度,相关 系数的绝对值越接近 1,相关性就越强,相关系数就是 描述相关性强弱的,相关性有正相关和负相关,强相关 和弱相关.

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

变式题 [2012· 东莞调研] 变量 X 与 Y 相对应的一 组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13, 5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4), (11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1 表示变量 Y 与 X 之间 的线性相关系数, 2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系 r 数,则( ) A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1

[答案]

C

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变量的相关性、统计案例

[ 解 析 ]

方 法 一 : 利 用 公 式

r =

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计算,得 r1>0,r2<0,即第一组 变量正相关,第二组变量负相关,故选 C. 方法二:观察变量 X 与 Y 相对应的一组数据,当 X 增大时,Y 也随着增大,Y 与 X 正相关,即变量 Y 与 X 之间的线性相关系数 r1>0; 观察变量 V 与 U 相对应的一 组数据,当 U 增大时,V 随着减小,U 与 V 负相关,即 变量 V 与 U 之间的线性相关系数 r2<0,则 r2<0<r1,故 选 C.

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?

探究点二

回归方程的求法及回归分析

点 面 讲 考 向

例 2 [2012· 山西四校联考] 某同学在生物研究性 学习中,对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间 的关系进行研究, 于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究, 且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/℃ 发芽数 y/颗 4 月 4月7 4 月 4 月 4 月 1 日 日 15 日 21 日 30 日 10 23 11 25 13 30 12 26 8 16

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

(1)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求 事件“m,n 均不小于 25”的概率; (2)从这 5 天中任选 2 天,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日 的两组数据,请根据这 5 天中的另三天的数据,求出 y 关于 x 的 ... ^ ^ ^ 线性回归方程y=bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据 的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试 问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

解:(1)m,n 的所有取值情况有(23,25),(23,30),(23,26), (23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16), (26,16),共有 10 个. 设“m,n 均不小于 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事 3 件有(25,30),(25,26),(30,26),所以 P(A)= ,故事件 A 的 10 3 概率为 . 10

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变量的相关性、统计案例

(2)由数据得 又
点 面 讲 考 向

^=977-972=5,a=27-5×12=-3. ^ 所以b 2 434-432 2 ^ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y=2x-3. ^ (3)当 x=10 时,y=22,|22-23|<2, ^ 当 x=8 时,y=17,|17-16|<2, 所以得到的线性回归方程是可靠的.

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点 面 讲 考 向

归纳总结 回归分析就是寻找相关关系中非确定性关 系的某种确定性,散点图形象地反映了各对数据的密切程 度,线性回归分析的主要作用是通过对两个变量已有数据 的分析,来预测这两个变量的变化趋势,一般步骤是: ①进行线性相关性检验. ②如果具有线性相关性,用最小二乘法求出线性回归 方程. ③将观测值代入回归方程进行预测.

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?

探究点三

独立性检验的基本思想及应用

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例 3 [2012· 中原六校联考] 某学校为调查高三年级学生 的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生,得到男生身 高情况的频率分布直方图(如图 9-56-2(1))和女生身高情况 的频率分布直方图(如图 9-56-2(2)).已知图(1)中身高在 170~175 cm 的男生人数有 16 人.

图 9-56-2

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

(1)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人? (2)根据频率分布直方图,完成下列的 2× 列联表, 2 并判断能有多大 ( 百分比 ) 的把握认为 “ 身高与性别有 关”? ≥170 cm <170 cm 总计 男生身高 女生身高 总计

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变量的相关性、统计案例
参考公式:

点 面 讲 考 向

n(ad-bc)2 K2= , 其中 n= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k0) k0 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828

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变量的相关性、统计案例

[思考流程] 条件:如题;目标:计算抽取人数和进 行独立性检验;方法:根据频率分布直方图计算频率、估 计人数,使用独立性检验的方法进行.
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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

解:(1)在频率分布直方图中,因为身高在 170~175 cm 的 男生的频率为 0.08×5=0.4, 16 设男生数为 n1,则 0.4= n ,得 n1=40. 1 由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 80 名学生中,男生身 高≥170 cm 的人数为(0.08+0.04+0.02+0.01)×5×40=30,女 生身高≥170 cm 的人数为 0.02×5×40=4,则可得到如下 2×2 列联表: <170 cm ≥170 cm 总计 30 10 40 男生身高 4 36 40 女生身高 34 46 80 总计
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变量的相关性、统计案例

80×(30×36-10×4)2 K2= ≈34.58>10.828, 40×40×34×46 所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关.
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变量的相关性、统计案例

[点评] 解决独立性检验问题,关键是根据样本的数据,正 确作出 2×2 列联表,利用公式计算 K2 的观测值,对照临界值, 作出统计推断.
点 面 讲 考 向

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变量的相关性、统计案例

点 面 讲 考 向

归纳总结 利用独立性检验,能够帮助我们对日常生活中的 实际问题作出合理的推断和预测.独立性检验就是考察两个分 类变量是否有关系,并能较为准确地给出这种判断的可信度, 具 体 做 法 是 根 据 公 式 K2 = n(ad-bc)2 ,计算随机变量的观测值 (a+b)(a+c)(c+d)(b+d) K2,K2 值越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.

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易错究源

21

统计基本思想方法理解不准致误

例 [2011· 湖南卷] 通过随机询问 110 名性别不同的大 学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 40 20 60 爱好 20 30 50 不爱好 60 50 110 总计 n(ad-bc)2 由 K2= 算得, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 110× (40× 30-20× 20)2 K2= ≈7.8. 60× 60× 50× 50

多 元 提 能 力

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变量的相关性、统计案例
附表: P(K2≥k) k 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635

多 元 提 能 力

10.82 8 参照附表,得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项 运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项 运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

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变量的相关性、统计案例

错解 错解一 B:由已知 K2≈7.8,得 K2≥6.635, 查附表得概率 P≤0.010,① 故选 B. 错解二 D:由已知 K2≈7.8,得 K2≥6.635, 查附表得其概率为 1-0.01=0.99, 故选 D.②
多 元 提 能 力

[错因] ①处:由附表得到的是 P(K2≥k)的概率,说明这两个 分类变量没有关系的概率; ②处:K2 的观测值 k 的值越大,说明“X 与 Y 有关系”成立 的可能性越大.

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[正解] C 由附表可知当 K2≥6.635 时,有概率 P=1 -P=0.99, 当 K2≥10.828 时,有 P=1-P=0.999, 而此时的 K2≈7.8 显然有 0.99<P<0.999, 则可以得到有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与 性别有关”,故选 C.
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变量的相关性、统计案例

自我检评 [2012· 唐山一模] 某媒体对“男女同龄退休”这 一公众关注的问题进行了民意调查,下表是在某单位得到的数 据(人数). 赞同 反对 合计 5 6 11 男 11 3 14 女 16 9 25 合计 能否有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有 关?

多 元 提 能 力

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变量的相关性、统计案例

附: P(K2≥k) k 0.25 0.15 0.10 1.323 2.072 2.706

n(ad-bc)2 K2= . (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
多 元 提 能 力

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变量的相关性、统计案例

解 : 将 2×2 列 联 表 中 的 数 据 代 入 公 式 K2 = n(ad-bc)2 计算,得 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 25×(5×3-6×11)2 K2= ≈2.932, 16×9×11×14 因为 2.932>2.706,由此可知,有 90%以上的把握认为对这一 问题的看法与性别有关.
多 元 提 能 力

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变量的相关性、统计案例

【备选理由】 例1是线性回归方程的求法和应用,利用最小二乘法 求出线性回归方程的系数,并进行预测;例2是概率与统 计结合的应用题,综合考查茎叶图、概率与独立性检验.

教 师 备 用 题
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变量的相关性、统计案例

例 1 [2012· 韶关调研] 以下是粤西地区某县搜集到的 新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据: 房屋面积(m2) 115 110 80 135 105

销售价格(万 24.8 21.6 18.4 29.2 22 元) (1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3)据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价 格.
教 师 备 用 题
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变量的相关性、统计案例

解:(1)数据对应的散点图如图所示:

教 师 备 用 题
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变量的相关性、统计案例

^ ^ ^ 设所求回归直线方程为y=bx+a, ^=12 952-5×109×23.2≈0.196 2. 则b 60 975-5×109×109 ^ ^ a=y-bx=23.2-109×0.196 2=1.814 2. ^ 故所求回归直线方程为y=0.196 2x+1.814 2.
教 师 备 用 题

(3)由(2)可得,当 x=150 时,销售价格的估计值为 ^=0.196 2×150+1.814 2=31.244 2(万元). y

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例 2 [2012· 邢台一中月考] 某中学将 100 名高一新生分成 水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A, B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为 了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机 抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下.记成绩不低 于 90 分为“成绩优秀”.

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变量的相关性、统计案例

(1)在乙班样本的 20 个个体中, 从不低于 86 分的成绩中 随机抽取 2 个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面列联表, 并判断是否有 90% 的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关. 甲班(A 方 式) 成绩优 秀 成绩不 优秀 总计 乙班(B 方 总计 式)

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n(ad-bc)2 附:K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k

1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

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变量的相关性、统计案例

教 师 备 用 题

解:(1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件 A, 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为: (86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99), (93,96),(93,97),(93,99),(93,99), (96,97),(96,99),(96,99), (97,99),(97,99), (99,99),共 15 个. 而事件 A 包含基本事件: (93,96),(93,97),(93,99),(93,99), (96,97),(96,99),(96,99), (97,99),(97,99), (99,99),共 10 个. 10 2 所以所求概率 P(A)=15=3.
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第56讲

变量的相关性、统计案例

(2)由已知数据得 2×2 列联表: 甲班(A 方式) 成绩优秀 1 乙班(B 方式) 5 总计 6

19 15 34 成绩不优秀 20 20 40 总计 根据列联表中数据,得 40×(1×15-5×19)2 K2= ≈3.137. 6×34×20×20 由于 3.137>2.706, 所以有 90%的把握认为“成绩优秀” 与教学方式有关.
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