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【同步课件】高中数学(人教A版)选修2-2课件:1-4 生活中的优化问题举例



第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 题型一 成本最低用料最省 例 1 有甲、 乙两个工厂, 甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处, 乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到 河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km, 两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元与 5a 元.问供水站

C 建在岸边何处才能使水管费用最省? 【思路分析】 适当选定变元,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其 他方法求出函数的最小值.可确定点 C 的位置. 【解析】 方法一:根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某 一适当位置,才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 x km,则 ∵BD=40,AC=50-x, ∴BC= BD2+CD2= x2+402. 又设总的水管费用为 y 元,依题意有 y=3a(50-x)+5a x2+402(0<x<50). 5ax ∴y′=-3a+ .令 y′=0,解得 x=30. x2+402 在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数 在 x=30(km)处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km). ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最 省. 40 方法二:设∠BCD=θ,则 BC=sinθ, π CD=40cotθ(0<θ<2).∴AC=50-40cotθ. 设总的水管费用为 f(θ),依题意,有 40 f(θ)=3a(50-40cotθ)+5a· sinθ 5-3cosθ =150a+40a· . sinθ ?5-3cosθ?′sinθ-?5-3cosθ??sinθ?′ ∴f′(θ)=40a· sin2θ 3-5cosθ =40a· sin2θ . 3 令 f′(θ)=0,得 cosθ=5. 3 根据问题的实际意义,当 cosθ= 时,函数取最小值,此时 5 4 3 sinθ= .∴cotθ= .∴AC=50-40cotθ=20(km). 5 4 即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最 省. 探究 1 用导数解最值应用题,一般应分为五个步骤: ①建立函数关系式 y=f(x);②求导 y′;③令 y′=0,求出 相应的 x0;④指出 x=x0 处是最值点的理由;⑤对题目所问作出 回答,求实际问题中的最值问题时,可以根据实际意义确定取得 最值时变量的取值. 思考题 1 (1)设有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁 桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍,问如何设计使总造 价最小 ? 【解析】 设圆柱体高为 h,底面半径为 r,又设单位面积铁 的造价为 m,桶总造价为 y,则 y=3mπr2+m(πr2+2πrh). V 由于 V=πr2h,得 h=πr2. 2mV 所以 y=4mπr2+ r (r>0). 2mV 所以 y′=8mπr- r2 . V 1 V V 1 令 y′=0,得 r=(4π)3,此时 h=πr2=4(4π)3. 该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为 零的点,问题中总造价的最小值显然存在. V 1 当 r=(4π)3时,y 有最小值,即总造价最小. (2)某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,一边可 以用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,问堆料场的长和宽 各为多少时,才能使砌墙所用的材料最省? 【思路分析】 解题时可利用几何特征,合理设元,同时要


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