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一元二次不等式及分式不等式的解法(含答案)


一元二次不等式及分式不等式的解法
典题探究
1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0的解是 ( a



A.a ? x ?

1 1 1 1 B. ? x ? a C.x? 或x? a D.x? 或x? a a a a a

例2

x2 ? x ? 6 有意义,则 x 的取值范围是

例 3 若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},则 a=________,b=________. 例 4 解关于 x 的不等式

k (1 ? x) ? 1 ? 0 (k≥0,k≠1). x?2

演练方阵
A 档(巩固专练) 1.关于 x 的不等式 | x ? 2 |? m 的解集为 R 的充要条件是 (A) m ? 0 (B) m ? 2 (C) m ? 0 ( ) (D) m ? 2 ( ) (D) [ ? 2, ? ?) )

2.不等式 ( x ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为 (A) [1, ? ?) (B) [1, ? ?) ? {? 2 }

(C) [ ? 2, 1)

3.不等式 | x ? 4 | ? | 3 ? x |? a 的解集为非空集合,则实数 a 的取值范围是( (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C) a ? 1 (D) 3 ? a ? 4 ( (C){x|1<x<4} )

4 .不等式 log 1 ( x ? 1) ? ?1的解集为
3

(A){x|x>4}

(B){x|x<4}

(D){x|1<x<

2 } 3

5 .已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) , 则关于 x 的不等式 (A) (1, 2)
2

(B) (?1, 2)
2

ax ? b ? 0 的解集是 ( ) x?2 (C) (??, ?1) ? (2, ??) (D) (2, ??)

6. 若不等式 x ? 2x ? a ? ? y ? 2 y 对任意实数 x、 y 都成立, 则实数 a 的取值范围是 ( ) (A) a ? 0 (B) a ? 1 (C) a ? 2 (D) a ? 3

7.若关于 x 的不等式 g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,则实数 a 的取值范围是. 8.关于 x 的不等式

1 ? a (其中 a ? 0 )的解集为. x?2

9. 已知关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a (1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围.

10.已知 a ? 1, P : a( x ? 2) ? 1 ? 0, Q : (x ? 1)2 ? a (x ? 2) ? 1.试寻求使得 P, Q 都成立的 x 的 集合.

B 档(提升精练) 1.已知 a,b 都是实数,那么“a>|b|”是“a2>b2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
? ?1,?a<b?, 1 2.在两个实数之间定义一种运算“#”,规定 a#b=? 则方程| -2|#2=1 的解集 x ?-1,?a≥b?. ?

是(

) 1 1 1 1 A.{ } B.( ,+∞)C.(-∞, ) D.[ ,+∞) 4 4 4 4

3.若 b<a<0,则下列不等式中正确的是(

)

1 1 b a A. > B.|a|>|b|C. + >2 D.a+b>ab a b a b 4.已知集合 A={x|x2-3x-4>0},B={x||x-3|>4},则 A∩(?RB)为( A.(4,7] B.[-7,-1) C.(-∞,-1)∪(7,+∞) D.[-1,7] a 5.对于非零实数 a、b,“b(b-a)≤0”是“ ≥1”的( b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设集合 A={x| |x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?,则实数 a 的取值 ) )

范围是(

)

A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2,或 a≥4} C.{a|a≤0,或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} 7.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( 9 11 A.3 B.4C. D. 2 2 8.解关于 x 的不等式 )

ax ? 1 ? 1, 其中 | a |? 1. x?a

1 1 + 9.设 a,b,c∈R ,则(a+b+c)( + )的最小值为__________. a+b c ?x+5??x+2? 10. (1)设 x>-1,求实数 y= 的最小值. x+1 3 (2)设 0<x< ,求函数 y=5x(3-4x)的最大值. 4

C 档(跨越导练) 1.不等式 x ? x 的解集是(
2

A. ? ??,0 ?

B.

? 0,1?

)

C. ?1, ?? ?

D.

? ??,0? ? ?1, ???
<x<2},则 m 的取值范

2. 关于 x 的不等式( m 围是( )

x -1)( x -2)>0,若此不等式的解集为{ x |

A. m >0

B.0< m <2

C. m >

D. m <0

3.已知 a1、a2∈(0,1).记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N B.M>NC.M=ND.不确定 )

)

a+b 4.“a>0 且 b>0”是“ ≥ ab”成立的( 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.下列命题中的真命题是( )

A.若 a>b,c>d,则 ac>bdB.若|a|>b,则 a2>b2 C.若 a>b,则 a2>b2D.若 a>|b|,则 a2>b2 6.若 a<b<0,则下列不等式中不能成立的是( 1 1 1 1 A. > B. > C.|a|>|b| D.a2>b2 a b a-b a 7.若实数 a,b,c 满足|a-c|<|b|,则下列不等式中成立的是( A.|a|>|b|-|c| B.|a|<|b|+|c| C.a>c-bD.a<b+c 1 1 8.已知正数 x,y 满足 x+2y=1,则 + 的最小值为( x y A.6 B.5C.3+2 2D.4 2 9.已知 a1≤a2,b1≤b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系为________. ) ) )

10.若 1<α<3,-4<β<2,则 α-|β|的取值范围是

一元二次不等式及分式不等式的解法参考答案

典题探究
例 1 【答案】A【解析】比较 a 与 间” ,得 a ? x ?

1 1 的大小后写出答案? 0< a <1? a ? ,解应当在“两根之 a a

1 a

例 2【答案】x≥3 或 x≤-2. 【解析】分析求算术根,被开方数必须是非负数.

据题意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外” ,所以 x≥3 或 x≤-2.
例 3【答案】 a ?

1 1 ,b ? ? . 【解析】分析根据一元二次不等式的解公式可知,-1 和 2 2

2 是方程 ax2+bx-1=0 的两个根,考虑韦达定理. 解根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知

? b ? ? ( ?1) ? 2 ? 1 ? 1 1 ? a 得 a ? ,b ? ? . ? 2 2 ?? 1 ? ( ?1) × 2 ? ?2 ? ? a
例 4【解析】原不等式即

(1 ? k ) x ? k ? 2 ? 0, x?2 2?k )( x ? 2) ? 0, 1? k

1°若 k=0,原不等式的解集为空集; 2°若 1-k>0,即 0<k<1 时,原不等式等价于 ( x ? 此时

2?k 2?k 2?k -2= >0,∴若 0<k<1,由原不等式的解集为{x|2<x< }; 1? k 1? k 1? k 2?k )( x ? 2) ? 0, 3°若 1-k<0,即 k>1 时,原不等式等价于 ( x ? 1? k 2?k 2?k 此时恒有 2> ,所以原不等式的解集为{x|x< ,或 x>2} 1? k 1? k

演练方阵
A 档(巩固专练)
1【答案】A【解析】由 | x ? 2 |? m 得, m <0 2【答案】B【解析】?

x ? 2 ? 0 ? x ? 1 ? 0 即可? x ? 1

3【答案】B【解析】 有绝对值得几何意义可知: | x ? 4 | ? | 3 ? x | 表示数轴上的点到点 4 和点 3

的距离之和,所以 | x ? 4 | ? | 3 ? x | ? 1,? a >1 即可
4【答案】C【解析】 :由 log 1 ( x ? 1) ? ?1,得 log 1 ( x ? 1) ? ? log 1
3
3

1 ? log 1 3 , 3 3 3

即 0 ? x ? 1 ? 3 ,即 1 ? x ? 4 .选 C

b x? b ax ? b b a ?0, ? 0即 ) ( x ?) 0? . 5 【答案】 A 【解析】 由题 ? ?1 意得且 a ? 0 ,? 即 ( x ?2 a x?2 a x?2
6【答案】C【解析】 x ? 2 x ? a ? a ? 1 , ? y
2

2

? 2 y ? 1 即 a ? 1 ? 1 , a ? 2 .选 C.

7. 【答案】 a ? (??, ?1) ? (0, ??)
【解析】 :

g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,就是 1= [ g ( x) ]max< a 2 ? a ? 1 所以

a ? ( ??, ?1) ? (0, ??) 1 ax ? 2a ? 1 ?a ?0? ?0. 8【解析】 : x?2 x?2 2a ? 1 1 ) ? 0 ,则 x ? (2, 2 ? ) . 当 a ? 0 时 ( x ? 2)( x ? a a
9【答案】 a ?

? 5? 1, ? ? ? 9, 25? ? ? 3?
4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ? ??, ?2 ? ? ? , 2 ? . 2 x ?4 ?4 ?

【解析】 : (1)当 a ? 4 时,不等式为

? 3a ? 5 5 ? 0, ? ? 3 ? M , ? ? 9?a ?a ? 9或a ? , ? 5? ?? (2)当 a ? 25 时, ? ?? 3 ? a ? ?1, ? ? ? 9, 25 ? . ? 3? ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? 1 ? a ? 25. ? ? 25 ? a ?
当 a ? 25 时,不等式为

25 x ? 5 ?1 ? ? 0 , 解之,得 M ? ? ??, ?5? ? ? ,5 ? , 2 x ? 25 ?5 ?

则 3 ? M且5 ? M ,

∴ a ? 25 满足条件.综上可知 a ? ?1, ? ? ? 9, 25? .

? 5? ? 3?

10【解析】 :由题意,要使 P, Q 都成立,当且仅当不等式组 ?

? a( x ? 2) ? 1 ? 0, 2 ?( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 1

1 ? x ? 2? , ? 成立.此不等式组等价于 ? a ? ( x ? a )( x ? 2) ? 0. ? 1 ? 1 1 1 ? x ? 2? , ①当 1 ? a ? 2 时,则有 ? a 而 a ? (2 ? ) ? a ? ? 2 ? 0,? a ? 2 ? , a a a ? ? x ? 2或x ? a,
1 ?x?a ; a 3 ②当 a ? 2 时, x ? 且x ? 2 2
所以 x ? 2或2 ?

;

1 ? 1 ? x ? 2? , ③当 a ? 2 时,则有 ? a 所以 x ? a或2 ? ? x ? 2 . a ? ? x ? 2或x ? a,
综上,当 1 ? a ? 2 时,使 P, Q 都成立的 x 的集合是 ? x x ? 2或2 ?

? ?

1 ? ? x ? a? ; a ?

当 a ? 2 时,使 P, Q 都成立的 x 的集合是 B 档(提升精练)
1【答案】A【解析】 :由 a>|b|≥0 一定能得出 a >b ,但当 a 与 b 都小于 0 时,若 a >b ,
2 2 2 2

则有 a<|b|,故其为充分不必要条件.
2【答案】B【解析】 :运用规定的运算“#”转化求解,∵| -2|#2=1,故| -2|<2.解得 x> . 3【答案】C【解析】 : - =

1 x

1 x

1 4

1 a

1 b-a <0,A 选项错;b<a<0?-b>-a>0?|b|>|a|,B 选项 b ab

b a b a b a 错; + =| |+| |≥2,由于 ≠ ,所以等号不成立,C 选项正确;a+b<0 且 ab>0,D 选 a b a b a b 项错.
4【答案】A【解析】 :因为 A=(-∞,-1)∪(4,+∞),B=(-∞,-1)∪(7,+∞),所以

A∩(?RB)=(4,7].
5【答案】C【解析】 :∵a≠0,b≠0,故有 3 b(b-a)≤0?

b-a a a ≤0?1- ≤0? ≥1. b b b

6【答案】C【解析】 :由于不等式|x-a|<1 的解是 a-1<x<a+1,当 A∩B=?时,只要 a

+1≤1 或 a-1≥5 即可,即 a≤0 或 a≥6.
7【答案】B【解析】 :依题意得(x+1)(2y+1)=9,

(x+1)+(2y+1) ≥2 ?x+1??2y+1?=6,x+2y≥4,即 x+2y 的最小值是 4.

ax ? 1 ? x ? a (a ? 1) x ? (a ? 1) ? 0即 ? 0, x?a x?a x ?1 ? 0 得原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?a} ; 若 a ? 1, 则 x?a
8 解:

若 a ? 1, 则

x ?1 ?0 , x?a

当 ?1 ? a ? 1 时,?a ? 1, 得原不等式的解集为 {x | ?a ? x ? 1} ; 当 a ? ?1 时,?a ? 1,得原不等式的解集为 {x | 1 ? x ? ?a} . a+b a+b 1 1 c c 9【答案】4【解析】 :(a+b+c)( + )=1+ + c +1=2+ + c ≥2+2=4. a+b c a+b a+b
10【解析】解:(1)设 x+1=t,∵x>-1,∴t>0,

?t-1?2+7?t-1?+10 t2+5t+4 4 原式化为 y= = =t+ +5≥2 t t t

4 t· +5=9, t

4 当且仅当 t= ,即 t=2 时,取等号,∴当 x=1 时,y 取最小值 9. t 3 x+? -x? 4 3 3 3 3 45 (2)∵0<x< ,∴ -x>0.∴y=5x(3-4x)=20x( -x)≤20×[ ]2=20×( )2= , 4 4 4 2 8 16 3 3 3 45 当且仅当 x= -x,即 x= 时,取等号.∴当 x= 时,y 取最大值 . 4 8 8 16 C 档(跨越导练)
1.【答案】D【解析】由 x ? x 得 x( x ? 1) ? 0 ,所以解集为
2

? ??,0? ? ?1, ??? ,故选 D;别解:

抓住选择题的特点,显然当 x ? ?2 时满足不等式,故选 D.
2.【答案】D【解析】解析:由不等式的解集形式知 m<0.

3.【答案】B【解析】 :M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),

∵a1、a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N.
4.【答案】A【解析】 :由于 a>0 且 b>0?

a+b a+b ≥ ab,但 ≥ ab?/ a>0 且 b>0.只能 2 2

推出 a≥0 且 b≥0.
5.【答案】D【解析】 :∵a>|b|≥0,∴a >b . 6.【答案】B【解析】 :∵a<b<0,∴-a>-b>0.由 a<b<0 得 > ,∴A 成立.由 a<b
2 2

1 1 a b

<0 得|a|>|b|,∴C 成立.由-a>-b>0 得(-a)2>(-b)2,即 a2>b2,∴D 成立. ∵a<b<0,∴a-b<0,∴a<a-b<0,∴-a>b-a>0, ∴ 1 1 1 1 < ,∴ > ,∴B 不成立. a a-b -a -?a-b?

7.【答案】B【解析】 :∵|a-c|<|b|,而|a|-|c|≤|a-c|,∴|a|-|c|<|b|,即|a|<|b|+|c|. 8.【答案】C【解析】 : + =

1 x

1 x+2y x+2y 2y x + =3+ + ≥3+2 2. y x y x y

2y x 2 (当 = 即 x= 2-1,y=1- 时取“=”) x y 2
9.【答案】a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1 【解析】解析:法一:∵(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(b1-b2)(a1-a2),a1≤a2,b1≤b2,∴a1

-a2≤0,b1-b2≤0,∴(b1-b2)(a1-a2)≥0,∴a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1. 法二:取 a1=a2=b1=b2,则两式相等.取 a1=1,a2=2,b1=3,b2=4,则 a1b1+a2b2 =11,a1b2+a2b1=10,∴a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.
10.【答案】(-3,3)【解析】 :∵-4<β<2,则 0≤|β|<4.∴-4<-|β|≤0.∴-3<α-|β|<3.



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