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湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题



株洲市二中 2015 年下学期高二年级期中考试试卷 文科数学
时量:120 分钟

试题
分值:150 分

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题只有一个正确答案)
2 x 1.集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? x | 3 ? 3 ,则 A ? B ? (

/>
?

?

?

?



A. x|x ? 0或x ? ?1 C. ? x | x ? 1 ?

?

?

B. ?x | x ? ?1 ? D. ?x | x ? 0? ) D. x ? 1 )

2.抛物线 x2 ? ?4 y 的准线方程为( A. y ? ?1 B. y ? 1

C. x ? ? 1

2 3.已知 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x ? 2 x ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.已知数列 {a n } 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ,则 a5 ? a8 等于( A. 12 B. 18 C. 24 ) D. 30
[来源:Z§xx§k.Com]

5.执行如右图所示的算法框图,输出的 M 值是( A.2 B.

1 2

C.-1

D.-2 ? )

? y ≥ 2x ? 2 ? 6.若实数 x, y 满足 ? y ≥ ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ≤ x ?1 ?
A. ? 2 7.与双曲线 B. ?1 C. 1 D. 2

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A(? 3, 2 5) 的双曲线的方程为( ) 3 2 y2 ?1 B. 2 x ? 4
2

y 2 x2 ? ?1 A. 16 12
C.

y 2 x2 ? ?1 18 27

D.

x2 y 2 ? ?1 6 4

8.若 ? , ? 都是锐角,且 sin? ?

2 5 10 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? ? ( 10 5
C.



A.

2 2

B.

2 10

2 2 或? 10 2

D.

2 2 或 2 10

[来源:Z§xx§k.Com]

9.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. [? 3, 3] C. (??, ? 3) ? ( 3, ??) B. (? 3, 3) D. (??, ? 3] ? [ 3, ??)

10. 已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点, 则点 P 到四个顶点的距离均大于 2 的概率是 ( A.



? 4

B. 1 ?

? 4

C.

1 4

D.

? 3

11.设点 O 和 F 分别为椭圆 的最小值为( A.0 ) B.2

??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任一点, 则 OP ? FP 4 3

C.4

D.6

12.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图像过点 (1, 0) , f '( x) 为函数 f ( x ) 的导函数, e 为自然对 数的底数,若 x ? 0 , xf '( x) ? 1 恒成立,则不等式 f ( x) ? ln x 的解集为( A. (0, ] )

1 e

B. (0,1]

C. (0, e]

D. (1, e]

二、填空题(共 4 小题,满分 20 分)

[来源:学科网 ZXXK]

x2 2 3 ? y 2 ? 1(m ? 0) 的离心率为 13.已知双曲线 ,则 m 的值为 m 3

;

2 14. 过 抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB =

; ;

15. 已知函数 f ( x) ? x ? 4ln x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 (请写一般式方程)

16.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记作[k],

即 [k ] ? 5n ? k | n ? Z?,k ? 0,1,2,3,4 .给出如下四个结论: 1 2015 ? [0] ;○ 2 -3 ? [3] ;○ 3 Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ? [4] ; ○ 4 “整数 a,b 属于同一?类?”的充要条件是“ a ? b ? [0] ”. ○ 其中正确的结论的序号为 .

?

三、解答题(共六个大题,满分 70 分,写出解答过程) 17. (10 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a= 3bsinA-acosB. (1)求 B; (2)若 b=2,△ ABC 的面积为 3,求 a,c.

18. (12 分)已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , S3 ? 15 , a3 和 a5 的等差中项为 9. (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?

4 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

PA ? 平面ABCD 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, ∠ABC=60o, PA=AB,
(1) 求证:BD⊥平面 PAC; (2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正切值。
P

A

D C

B

20.(12 分)某商店销 售某种商品,经验表明,该商品每日的 销售量 y(单位:千克)与销售价格 x( 单位:元 /千克 )满足关系式 y ?

a ? 10(x ? 6)2 . 其中 x ?3

3 ? x ? 6 ,a 为常数。已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售该商品 11 千克。
(1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克。试确定销售价格 x 的值,使每日销售该商品所获得的利润 最大,并求出最大利润。

21. (12 分)已知椭圆

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ? 1) . ,且过点 B(0 , 2 2 a b
??? ? ??? ?

(1)求椭圆的标准方程 ; (2)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若 BP ? BQ ? 0 ,求实数 k 的取值范围.

22. ( 12 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 2 x ? 1) ? ln x, a ? R.
2

(1)当 a ? ?

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

(2)若函数 f ( x) ? x ? 1 对 ? x ? [1,??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

株洲市二中 2015 年下学期高二期中考试 数学(文科)答题卡
姓 班 名: 级: 正确填涂示例

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色

贴条形码区
(正面朝上,切勿贴出虚线方框)

此方框为缺考考生标记,由监考员用 2B 铅笔添涂

一.选择题(60 分) (请用 2B 铅笔填涂)
1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ?? 7 ?? 8 ?? 9 ?? 10 ?? 11 ?? 12 ??

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色

20. (12 分)

21. (12 分)

株洲市二中 2015 年下学期高二年级期中考试试卷 文科数学 试题
时量:120 分钟 分值:150 分

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题只有一个正确答案)
2 x 1.集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? x | 3 ? 3 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?



[来源:Z.xx.k.Com]

A. x|x ? 0或x ? ?1 C. ? x | x ? 1 ? 【答案】C

?

?

B. ?x | x ? ?1 ? D. ?x | x ? 0?

2.抛物线 x2 ? ?4 y 的准线方程为( A. y ? ?1 【答案】B B. y ? 1

) D. x ? 1

C. x ? ? 1

2 3.已知 x ? R ,则“ x ? 2 ”是“ x ? 2 x ”的(



A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知数列 {a n } 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ,则 a5 ? a8 等于( A. 12 B. 18 C. 24 【答案】C 5.执行如图所示的算法框图,输出的 M 值是( D. 30 )



A.2 【答案】C

B.

1 2

C.-1

D.-2

?

? y ≥ 2x ? 2 6.若实数 x, y 满足 ? ? y ≥ ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ≤ x ?1 ?

)

A. ? 2 B. ? 1 【答 案】B

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

C. 1

D. 2

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色

7.与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A(? 3, 2 5) 的双曲线的方程为( ) 3 2
B. 2 x ?
2

A.

y 2 x2 ? ?1 16 12 y 2 x2 ? ?1 18 27

y2 ?1 4

C.

D.

x2 y 2 ? ?1 6 4

【答案】C 8.若 ? , ? 都是锐角,且 sin? ?

2 5 10 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? ? ( 10 5
C.



A.

2 2

B.

2 10

2 2 或? 10 2

D.

2 2 或 2 10

【答案】A 9.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. [? 3, 3] C. (??, ? 3) ? ( 3, ??) 【答案】A 10. 已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点, 则点 P 到四个顶点的距离均大于 2 的概率是 ( ) A. 【答案】B 11.设点 O 和 F 分别为椭圆 的最小值为( A.0 B.2 【答案】B ) C.4 B.1﹣ C. D. B. (? 3, 3) D. (??, ? 3] ? [ 3, ??)

??? ? ??? ? x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任一点, 则 OP ? FP 4 3
D.6

12.已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的图像过点 (1, 0) , f '( x) 为函数 f ( x ) 的导函数, e 为自然对 数的底数,若 x ? 0 , xf '( x) ? 1 恒成立,则不等式 f ( x) ? ln x 的解集为( A. (0, ] 【答案】B )

1 e

B. (0,1]

C. (0, e]

D. (1, e]

二、填空题(共 4 小题,满分 20 分) 13.已知双曲线

x2 2 3 ? y 2 ? 1(m ? 0) 的离心率为 ,则 m 的值为 m 3

3

14. 过 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两 点 , 如 果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB =

8 .

15. 已知函数 f ( x) ? x ? 4ln x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 (请写一般式方程) 【答案】 3x ? y ? 4 ? 0 16.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记作[k], 即 [k ] ? 5n ? k | n ? Z?,k ? 0,1,2,3,4 .给出如下四个结论: 1 2015 ? [0] ;○ 2 -3 ? [3] ;○ 3 Z ? [0] ? [1] ? [2] ? [3] ? [4] ; ○ 4 “整数 a,b 属于同一?类?”的充要条件是“ a ? b ? [0] ”. ○ 其中正确的结论的序号为 1 ○ 3 ○ 4 ○

?

三、解答题(共六个大题,满分 70 分,写出解答过程) 17. (10 分)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a= 3bsinA-acosB. (1)求 B; (2)若 b=2,△ ABC 的面积为 3,求 a,c. 17.解:(1)由 a= 3bsinA-acosB 及正弦定理得 3sinBsinA-cosBsinA-sinA=0. ? 1 由于 sinA≠0,所以 sin ( B ? ) = . 2 6 π 又 0<B<π,故 B= . 3 1 (2)△ ABC 的面积 S= acsinB= 3,故 ac=4. 2 而 b2=a2+c2-2accosB,故 a2+c2=8. 解得 a=c=2.

18. (12 分)已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , S3 ? 15 , a3 和 a5 的等差中项为 9. (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?

4 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。 an ? 1
2

【答案】 (1) an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 ? 2n ; (2) Tn ?

n 。 n ?1

试题解析: (1)因为 ?an ?为等差数列,所以设其首项为 a1 ,公差为 d 因为 S 3 ? 3a2 ? 15 , a3 ? a5 ? 18 ,所以 ?

?a1 ? d ? 5 ,解得 a1 ? 3 , d ? 2 , ?2a1 ? 6d ? 18

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1,

S n ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 3n ? ? 2 ? n 2 ? 2n ; 2 2

(2)由(1)知 an ? 2n ? 1 ,所以 bn ?

4 4 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? , an ? 1 4n ? 4n n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

PA ? 平面ABCD 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, ∠ABC=60o, PA=AB, (2) 求证:证明:BD⊥平面 PAC; P (2)求 PC 与平面 PAB 所成角的正切值。

(1)证明:连接 BD, ? 菱形ABCD ,? BD ? AD 由? PA ? 平面ABCD ,? BD ? PA ? AD ? PA ? A ,? BD ⊥平面 PAC. (2) 取 AB 的中点 E,连接 CE,则 CE ? 平面PAB ? PC在平面PAB的射影是PE , 则 ?CPE 为 PC 与面 PAB 所成角。 设 PA=2,则 CE ? 3,PE ? 5 ,
在 Rt ?PCE 中, tan ?CPE =

A

D C

B

CE 15 . ? PE 5

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

20.(12 分)某商店销售某种商品,经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6)2 . 其中 3 ? x ? 6 ,a 为常数。已知销售价格 x ?3

为 5 元/千克时,每日可售该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克。试确定销售价格 x 的值,使每日销售该商品所获得的利润 最大,并求出最大利润?

a ? 10 ? 11 ,得 a=2. 2 2 ? 10( x ? 6)2 . (3) 由(1)可知,销售量 y ? x ?3 2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 . 所以每日获得利润 f ( x) ? ( x ? 3)[ x ?3
解: (1)当 x=5 时,y=11,所以 令 h( x) ? ( x ? 3)( x ? 6)2 ? x3 ?15x2 ? 72 x ?108 , 从而 h' ( x) ? 3x2 ? 30x ? 72 ? 3( x ? 4)( x ? 6) ,可知 x ? 4 是函数 h( x) 在区间(3,6)内的极 大值点,也是最大值点。所以,当 x ? 4 , h( x) 取得最大值等于 4,从而 f ( x ) 取得最大值 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商店每日销售该商品所得利润最大,为 42 元 。

21. (12 分)已知椭圆

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ? 1) . ,且过点 B(0 , 2 2 a b
??? ? ??? ?

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若 BP ? BQ ? 0 ,求实数 k 的取值范围. 【解析】

?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? ? ?e ? ? a 2 ,解得 ?b ? 1 , 试题解析: (Ⅰ)由题意知 ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c ?c ? 3
椭圆的标准方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0.(?) 2 ? ? y ?1 ?4
依题意:直线 l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点, 所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0

16k 2 ----① ,由(*)式, x1 ? x2 ? ? (1 ? 4k 2 )

②,

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ③, 由①②③, x2 ?

2 ? 8k 2 4k , y2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BP ? BQ ? ?2x2 ? y2 ? 1 ? 0 . BP ? (? 21 , ), BQ ? (x2,y2 +1 )


16k 2 ? 4 4k ? ?1 ? 0 , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

整理得 20k ? 4k ? 3 ? 0 . 解得: k ? (? ,

1 3 ). 2 10

22. ( 12 分)已知函数 f ( x) ? a( x2 ? 2 x ? 1) ? ln x, a ? R. (1)当 a ? ?

1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; 4

(2)若函数 f ( x) ? x ? 1 对 ? x ? [1,??) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ) a ? ?

1 1 2 , f ( x) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x> 0) 4 4

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) ? f' (x) ? ? x ? ? ? , 2 2 x 2x 2x
当 0< x < 2 时,f' (x)>0,f(x)在(0,2)单调递增; 当 x>2 时,f' (x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) . (2)由题意得 a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立,
2

设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

求导得 g'(x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? , x x

当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减

g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;
当a ?

1 1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 时, x ? 2 2a

所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立; 当0 ? a ?

1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, 时, x ? 2 2a 2a 2a

则存在

1 1 1 1 1 1 ? [ ,?? ) ,有 g ( ) ? a( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , a 2a a a a a

所以不成立, 综上得 a ? 0 .



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