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重庆市第十一中学2015-2016学年高二数学6月月考试题理(新)



重庆市第十一中学 2015 至 2016 学年度高二下六月月考 数 学 试 题(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) . 1.已知复数 Z ? A.第一象限

2?i 2 4 ?( ) ,则在复平面内复数 Z 对应的点位于( 1 ? 2i 1 ? i

>B.第二象限 C.第三象限

)

D.第四象限

2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, ? 2 ) ,且 P( x ? 6) ? 0.9 ,则 P(0 ? x ? 3) =( ) B.0.5 C.0.6 则 D.0.7 )

A.0.4 3. 设 f ( x) ? ? A.

? x 2 , x ? [0,1] ?2 ? x, x ? (1,2]
B.

? f ? x ?dx 等于(
0

2

3 4

4 5
2

C.

5 6
n?2

D.不存在

4. 用数学归纳法证明: 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
3

?

1 ? x n ?3 ( x ? 1, n ? N ? ) 成立时, 1? x

验证 n ? 1 的过程中左边的式子是( A.1 5. 如果 ( x ? 的值是( A.70 ) B.80 C.252 B. 1 ? x

)
2

C. 1 ? x ? x

D. 1 ? x ? x ? x
2

3

1 2n ) 展开式中,第四项与第六项的系数相等。则其展开式中的常数项 x
D.126

6.有 5 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换, 任意两位同学之间最多交换一 次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 5 位同学之间共进行了 8 次交换, 则收到 4 份纪念品的同学人数为( A.1 或 2
2

) C.2 或 3
4 2

B.1 或 3
5

D.2 或 4 )
1

7. 在 ( x ? x ? 2 y) 的展开式中, x y 的系数为(

A. ? 120

B. 120

C. 30

D. ? 80

8. 现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 3 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 A.81 B.162 C.189 D.261

9. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球.从袋中 任取 1 个球,记下颜色后放回。若连续取三次,用 X 表示取出红球的个数,则

E ( X ) ? D( X ) =(
A.2 B.

)

4 3 10. 已知函数 f ( x) 的定义域为(-2,2),导函数为 f ?( x) ? x 2 ? 2 cos x 且 f(0)=
C. D. 0,则满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? x) >0 的实数 x 的范围是(
2

2 3

5 3

)

A. (1,2)

B. (?2,?1) ? (1,2)

C. (?1,3)

D. (??,?1) ? (1,??)

11. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f (1) ? 2 .对任意 x ? R, 有f ?( x) ? 1 ,则不 等式 f (2 x) ? 2 x ? 1 的解集为( A. ?1,??? B. ? ,?? ?
3

) C. ?? ?,2? D. ?? ?,1?

?1 ?2

? ?

12.已知函数 f ( x) ? x ?

9 2 x ? 6 x ? abc , a ? b ? c 且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现 2
④ f (3) f (0) ? 0

有四个结论:① f (1) f (0) ? 0 ② f (1) f (0) ? 0 ③ f (3) f (0) ? 0 正确的结论是( A.②④ ) B.①③ C.①④ D.②③

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知 x、y 的取值如右表所示:从散点图分析,

y 与 x 线性相关,且y=0.8x+a,则 a=_____ .
14. 两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出

^

x y

0 0.9

1 1.9

3 3.2

4 4.4

胜负为止,则所有可能出现的情形 ( 各人输赢局次的不同视为不同情形 ) 共有 ______________ . 15. 已知函数 y ? loga ( x ? ax ? 1) 有最小值,则实数 a 的取值范围是
2

2

______________ . 16. 已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1.设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点, 则 a 的取值范围是________ 。 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.22.23.24 题任选一题为 10 分外,其 它题为 12 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 17. 已知 f ( x) ? 2 x ln x , g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 3 , (1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)若存在 x∈(0,+∞),使 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围; 18. 电视传媒公司为了解某地 区电视观众对 某类体育节目 的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查.右面是根据 调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布 直方图,将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众 称为“ 体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与 性别有关?附:P(K ≥3.841 )≈0.05,P(K ≥6.635)≈0.01.
2 2 3 2

K2=

n?ad-bc?2 . ?a+b??c+d??a+c??b+d?


非体育迷

体育迷

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在 从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法 每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3

女 合计

10

55

名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列, 期望 E(X)和方差 D(X ).. 19. 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1 .
2

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? ?1 ,如果对任意 x1,x2∈(0,+∞), 恒有|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求实数 a 的取值范围. 20.口袋中有大小形状质量相同的四个白球和两个红球,每次从中任取一 个球,各 个球被取到的可能性是一样的,取后不放回。若能把两个红球区分出来就停止,用
3

? 表示停止时取球的次数,
(1)求 ? ? 3 时的概率 P(? ? 3) 21. 设函数 f ( x) ? (2)求 ? 的分布列与均值

bx ? ax, e 为自然对数的底 数. ln x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( e , f ( e )) 处的切线方程为 3x ? y ? 4 e ? 0 ,求实 数 a , b 的值; (2)当 b ? 1 时,若存在 x1 , x2 ? [e, e 2 ] ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的最 小值. (选做题 10 分) 下列三个题目中选做一个,并在相应的题号中涂黑,否则按第一 个题给分
? 22.如图,在 ?ABC 中, ?B ? 90 ,以 AB 为直径的⊙ O 交

D

C
F E B

AC 于 D ,过点 D 作⊙ O 的切 线交 BC 于 E , AE 交⊙ O 于
点F . (Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF . 23.已知 l1 : ? sin(? ? 的极坐标。 (2)点 A、B、C 三点在椭圆

A

O

?

?

? x ? ?t ) ? 3 , l2 : ? ( t 为参数) ,求 l1 , l 2 交点 P 3 y ? 3 t ?

x2 ? y2 ? 1 上 , 4

o

为坐标原点,若有

?AOB ? ?BOC ? ?COA ? 120? ,求
24.(1)解 不等式 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 3x ? 5

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OC
2

的值。

(2)已知 a, b ? [0,1] ,求 ab ? (1 ? a ? b)(a ? b) 的最大值;

4

重庆市第十一中学 2015 至 2016 学年度高二下六月月考 数 学 试 题(理科)答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 14.20 4 D 5 A 15. (1,2) 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 B 12 D

二、13. 1

三、17.解: (1) f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(ln x+1). 1 ? 1? 令 f′(x)=0,得 x= .当 x∈?0, ?时,f′(x)<0; e ? e?

5 5 16. ( , ) 4 3

?1 ? ? 1? ?1 ? 当 x∈? ,+∞?时,f′(x)>0.所以 f(x)在?0, ?上单调递减;在? ,+∞?上单 ?e ? ? e? ?e ?
1 2 调递增.故当 x= 时,f(x)取最小值为- . e e (2)存在 x∈(0,+∞),使 f(x)≤g(x)成立,即 2xln x≤-x +ax-3 在 x∈(0, 3 +∞)能成立,等价于 a≥2ln x+x+ 在 x∈(0,+∞)能成立,等价于 a≥(2ln x
2

x

3 3 +x+ )m in.记 h(x)=2ln x+x+ ,x∈(0,+∞),

x

x

2 3 x +2x-3 ?x+3??x-1? 则 h′(x)= +1- 2= = . 2 2

2

x

x

x

x

当 x∈(0,1)时,h′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0. 所以当 x=1 时,h(x)取最小值为 4,故 a≥4. 18.解 (1)由频率分布直方图,“体育迷”的频率是 (0.005 + 0.020)×10 = 0.25. ∴ “ 体 育迷”观众共有 10 0×0.25=25(名), 因此, 男“体育迷”观众有 25-10=15 人, 列 2×2 的列联表如下 : 男 女 合计 非体育迷 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得

k =

2 n?ad-bc?2 100?30×10-45×15? 100 = = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 75×25×45×55 33

5

≈3.030. ∵3.030<3.841.∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观 1 众中抽取一名“体育迷”的概率为 . 4

? 1? 由题意知 X~B?3, ?,从而 X 的分布列为 ? 4?
X P
1 3 4 4 0 27 64 1 27 64 2 9 64 1 3 9 4 4 16 3 1 64

E(X)=np=3× = ,D(X)=np(1-p)=3× × = .
19. 解析
2 a+1 2ax +a+1 (1)f(x) 的定义域为 (0 ,+∞), f′(x) = + 2ax = .当 x x

a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 所以当 x ∈ ?0, -

a+1 . 2a

? ?



a+1? ? 时, f′(x) > 0 ,此时函数 f(x) 单调递增;当 x ∈ 2a ?

? ? ?



a+1 ? ,+∞?时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减. 2a ?

(2)不妨设 x1≥x2,而 a<-1,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上单调递减,从而对于任 意的 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|成立,它等价于对任意的 x1,

x2∈(0,+∞),有 f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.①
令 g( x)=f(x)+4x,则 g′(x)= 单 调 递 减 ,即

a+1 +2ax+4,①式等价于 g(x)在(0,+∞)上 x

a+ 1 -4x-1 + 2ax + 4≤0 在 (0 , + ∞)上 恒 成立 , 从 而 a≤ 2 = x 2x +1

(2 x ? 1) 2 (2 x ? 1) 2 ? 2 在(0,+∞)上恒成立,由于 ? 2 ≥-2,故 a 的取值范围是 2x2 ? 1 2x2 ? 1
(-∞,-2].
6

20.解: (1) P(? ? 3) =

1 1 1 C2 C2C4 2 ? 3 15 A6

(2)由已知 ? 的取值为 2,3,4,5

P(? ? 2) ?

2 1 1 1 A2 C2 C2C4 1 2 , P ( ? ? 3 ) ? ? ? 2 3 15 A6 15 A6

4 1 1 2 1 1 3 1 1 4 A4 ? C2 C3 A4 C2 C4 A4 ? C4 C2 A4 4 8 P(? ? 4) ? ? , P(? ? 5) ? ? 4 4 15 15 A6 A6

分布列

?
P

2

3

4

5


E (? ) ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 8 ? 5 64 ? 15 15

1 15

2 15

4 15

8 15

21. 21.(1)由已知得 x ? 0, x ? 1, f ?( x) ?

b(ln x ? 1)

? ln x ?

2

?a.

则 f ( e ) ? (2b ? a) e ? e 且 f ?( e ) ? ?2b ? a ? ?3 ,解之得 a ? 1, b ? 1 . (2)当 b ? 1 时, f ?( x) ? ln x ? 1 ? a = ? ? 1 ? ? 1 ? a ? ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? a , ? ? ? ? 2 ? ln x ? ln x ? ln x 2 ? 4 ? ln x ?
2 2

所以当

1 1 1 ? ? x ? e 2 时, f ? ? x ?max ? ? a . ln x 2 4

2 而命题“若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于
2 “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a ”.

1 1 ? a ,所 以 f ? ? x ?max ? a ? . 4 4 1 2 问题等价于: “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ? min ? 4 ” 1 2 ① 当 a ? 时, f ? x ? 在 ? 则 f ? x ? ? f e ? e ? ae ? e, e ? ? 上为减函数, ? ? 2 4
2 又当 x ? ? ? e, e ? ? 时, f ? ? x ?max ?
2 2 min

2

?

1, 故a ? 1 ? 1 2 4e 2 4

.

② 当a ?

1 ? 1 1? 1 e, e 2 ? 时,由于 f ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ?a 在? ? ? 上的值域为 4 ? ln x 2 ? 4
7

2

1 ? ? ? a, ? a ? . ? 4 ? ?
2 2 当 ?a ? 0 ? a ? 0 时,f ? ? x ? ? 0 在 ? 故 f ? x? 在 ? ? e, e ? ? 恒成立, ? e, e ? ? 上为增函数,

于是 f ? x ?min ? f ? e ? ? e ? ae ? 当 ?a ? 0 即 0 ? a ?

1 ,不合题意. 4

1 2 时,由 f ? ? x ? 的单调性和值域知,存在唯一 x0 ? ? e, e ? 使 4

2 且满足: 当 x ? ? e, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为减函数; 当 x ? ? x0 , e ? f ? ? x? ? 0 ,

时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为增函数;所以 f ? x ?min ? f ? x0 ? ?

x0 1 ? ax0 ? , ln x0 4

x0 ? ? e, e 2 ? .所以 a ?
综上得 a 的最小值为

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4

1 1 ? 2 . 2 4e

22.证明: (Ⅰ)连接 OD,BD,因为 DE 为⊙ O 的切线,AB 为
? ⊙ O 的 直 径 , ?ABC ? 90 , 则 有 DE ? BE ,

D

C
F E B

?BDE ? ?DBE

。 , 则

又 有

?BDE ? ?EDC ? ?DBE ? ?BCD ? 90?
?E
点;

A

O

?

D ? ?C E

C DDE=CE,则 CE=DE=EB, E 是 BC 的中 ,则

(Ⅱ) 连结 BF, 则 ?AFB ? ?ABE ? 90 , 则有 ?AFB ∽ ?ABE , 则有
? 2 则有 AB ? AE ? AF ,同理 AB ? AD ? AC ,
2

AF AB ? , AB AE

则有 AD ? AC ? AE ? AF 23. 解: (1) 由 l1 : y ? 3x ? 2 3 与 l 2 : y ? ? 3x 联立有交点坐标为 P(?1, 3) , 则 P 点的极坐标为 P ( 2,

2? ) 3
8

(2)设以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则有

x ? ? cos? , y ? ? sin ? 代 入 椭 圆 方 程 有
B( ? 2 ,? ? 120? ) C( ?3 ,? ? 120? ) ,则有

1

?

2

?

cos2 ? ? sin 2 ? 4

, 不 妨 取 A( ?1 ,? ) ,

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OC
2

=

1

?

2 1

+

1

?

2 2

+

1

? 32
+

1 ? [cos 2 ? ? cos 2 (? ? 120 ? ) ? cos 2 (? ? 120 ? )] 4

[sin 2 ? ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 (? ? 120? )]
1 1 1 ? [cos 2 ? ? (cos ? ? 3 sin ? )2 ? (cos ? ? 3 sin ? )2 ] 4 4 4

1 1 ? sin 2 ? ? (? sin ? ? 3 cos ? ) 2 ? (sin ? ? 3 cos ? ) 2 ] 4 4
? 15 8

24.解: (1)原不等式行等价与 ?

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 或? 或 ?? 3x ? 1 ? 3x ? 5 ?3 ? x ? 3x ? 5

?x ? 1 1 ,解得 x ? ? ? 2 ?3x ? 1 ? 3x ? 5
(2)由已知 a, b ? [0,1] ,则

ab ? (1 ? a ? b)(a ? b) ? (

a?b 2 1 3 2 ) ? (a ? b) ? (a ? b) 2 ? ? [( a ? b) ? ] 2 2 3 4 3
1 2 时 ab ? (1 ? a ? b)(a ? b) 的最大值为 3 3

又 a ? b ? [0,2] ,则 a ? b ?

9



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