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1182.2.1椭圆及其标准方程(第二课时用) (1)



根据所学知识完成下表
定 义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
y P

y F2
x
O

不 同 点




F1
O

P x

F2

r />F1

标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0?,F2 ? c , 0?
2

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?
2

a

?b ?c

2

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
(2) 2 x 2 ? y 2 ? 16
解:将方程化成标准方程为:x 2

y2 ? ?1 8 16

因为:16>8,所以椭圆的焦点在y轴上,并且
a 2 ? 16, b2 ? 8, 故 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 8, c ? 2 2,2c ? 4 2

所以椭圆的焦点为: F1 (0 ? 2 焦距为: 4 2 .

2 ), F2 (0,2 2 )

x2 y 1.椭圆 ? ? 1的焦点坐标为 ?C ? 25 9 A. ? 5, 0 ? , ? ?5, 0 ? B. ? 9, 0 ? , ? ?9, 0 ? C. ? 4, 0 ? , ? ?4, 0 ? D. ? 0, 4 ? , ? 0, ?4 ?

巩 固 练 习 2

2.椭圆的焦点坐标为(4,0),(-4,0),椭圆上一点到两
焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为( B
x2 y2 A. ? ?1 16 9 x2 y2 C. ? ?1 9 25
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)

x2 y2 B. ? ?1 25 9 x2 y2 D. ? ?1 25 16

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x y 3.焦点在x轴上的椭圆 ? ? 1的焦距等于2, 则m ? ? B? m 4 A.8 B.5 C.5或3 D.6
4.已知a=4,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方 2 2 x y 程为________. ? ?1 7 16

巩固 练 习 2 2

2 5 焦点坐 5. 椭圆9x2+4y2=36的焦距等于________, (0, 5) (0, ? 5) 标为F ________,F ________.若P为椭圆上任
1 2
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意一点,则|PF1|+|PF2|=________. 6
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6.已知椭圆方程为

x y ? ?1 25 16

C

2

2

(1)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6,

则点P到右焦点的距离是 4
(2)若CD为过左焦点F1的弦, 则?CF1F2的周长为 16 ,

F1 D

F2

?F2CD的周长为 20



例1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-2) F2(0,2),并且经过点M(-3/2,5/2),求它的标准 方程。

y x? 6 10
2

2

?1

练习:已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(-3,0), F2(3,0),并且经过点M(5,0),求它的标准 方程。

x y ? ?1 25 16

2

2

例2:已知椭圆的焦点在x轴上,且经过 点 A( 3 ,-2)和B(-2 3 ,1) , 求椭圆的标准方程

思考:
上例中,如果已知椭圆的 焦点在坐标轴上,如何求解?

练习:已知椭圆经过点 A( -3/2,5/2 )和 3 )5 B( , , 求椭圆的标准方程

y x?
2

2

6

10

?1

3 5 ( ? 练习:已知椭圆经过两点 2 , 2 )与( 3, 5)

,求椭

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 解:设椭圆的标准方程 m n
则有
5 2 ? 3 2 ( ? ) ( ) ? 2 ? 2 ?1 ? n ? m ,解得 ? ( 3) 2 ( 5) 2 ? ?1 ? n ? m

圆的标准方程

m ? 6, n ? 10
2 2

所以,所求椭圆的标准方程为

x y ? ?1 6 10

例2 在圆x? +y? =4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段 PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段PD的中点 M的轨迹是什么?为什么? y
P

解:设点M 的坐标为( x, y ), 点P的坐标为( x0 , y0 ),
y0 由D的坐标为( x0 , 0), 则x ? x0 , y ? . 2
2 2 2

M

o

D

x

因为点P( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上,所以x0 ? y0 ? 4
2

把x0 ? x, y0 ? 2 y代入方程,得x ? 4 y ? 4,
2 2

x2 即 ? y 2 ? 1.所以点M 的轨迹是一个椭圆。 4

? 求动点轨迹方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线 上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合;(可以省略, 直接列出曲线方程) (3)用坐标表示条件P(M),列出方程 f ( x, y) ? 0 (4)化方程 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况,可以 适当予以说明)

坐标法
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程

变式:已知圆x 2 ? y 2 ? 9, 从这个圆上任意一点P向x轴作 ???? ? ???? ? ' 垂线段PP , 点M 在PP ' 上,并且PM ? 2MP ', 求点M 的轨迹。
y P

M
o P’ x

x 2 ? y ?1 9

2

例2 设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨 迹方程。
解:设点M 的坐标为( x, y ),因为点A的坐标是(?5, 0), 所以,直线AM 的斜率k AM y ? ( x ? ?5) x?5

同理,直线BM 的斜率kBM

y ? ( x ? 5). x ?5

y y 4 由已知有 ? ? ? ( x ? ?5) x ?5 x ?5 9
x2 y2 化简,得点M 的轨迹方程为 ? ? 1( x ? ?5) 25 100 9

练习 已知动点 P 到点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) 的距离之和为

12,求动点 P 的轨迹方程.
解:由题知: |PF|+|PF|=12,|F F|= 4
1 2 1 2

? |PF|+|PF| ? |F F|
1 2 1 2

? P点的轨迹是以F1、F2 为焦点的椭圆,a =6,c = 2 ? b =32
y

2

2
+

? P点的轨迹方程为

x

2
=1

36

32

四、小结巩固
1.椭圆的定义:
?

平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (大于2c)的点的轨迹叫椭圆。

? ?

定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

2.椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M

|MF1|+|MF2|=2a

y
F2
M

图 形

F1

o

F2 x

o
F1

x

焦点及位置 判定

焦 点 F1 ( ? c ,0 ), F 2 ( c ,0 )

焦 点 F1 ( 0 , ? c ), F 2 ( 0 , c )
y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

标准方程
a,b,c之间
的关系

x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

2

2

a2 ? b2 ? c2

作 业

2.

课本 第49页

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例 4.求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解:∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,± 5 ) , x2 y2 则可设所求椭圆方程为: ? =1(m>0)? m m?5 4 9 ?1 将 x=2, y=3 代入上式得: ? m m?5 解得:m=10 或 m=-2(舍去)? x2 y 2 ∴所求椭圆的方程为: ? =1. 10 15



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