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51.2.1.4 椭圆的几何性质文普通导学案


2.1.4

椭圆的几何性质文普通导学案
命题人:邵玉春 师海云 时间:2010-11-17

变式(1) P( :

15 x2 y 2 ,1) 是 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,以点 P 及焦点 F1 、 F2 为顶点的三角形面 2 a b

一、重点:椭圆的第二定义的应用及焦点三角形的性质 二、难点:焦点三角形的性质的应用 三、复习回顾:椭圆的标准方程,椭圆的几何性质 四、欲授新知: 1.椭圆的第二定义:点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线距离之比是一个小于 1 的正常数, 这个点的轨迹是椭圆. 定点是椭圆的焦点,定直线叫椭圆的准线 x ? ?

积为 1,求椭圆的方程.

a2 ,正常数是椭圆的离心率. c

变式(2) :已知 P 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 、 F2 为椭圆的焦点, ?F1PF2 ? ? ,求证: a 2 b2

注意:两定义从不同角度反映了椭圆的特征,遇到两定点用第一定义,一定点和定直线用第二定义. 例 1 点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到直线 x ? 8 距离比是 1:2,求点 P 的轨迹方程,并说明轨 迹是什么图形.

S?PF1F2 ? b 2 tan cos ? ? 2 cos 2

?
2

.(提示:在焦点三角形中,利用余弦定理整体代换及公式 sin ? ? 2sin

?
2

? cos

?
2

?

2

?1

S? ?

1 | PF1 |? PF2 | sin ? ) | 2

变式 圆 O 的半径为定长 r ,A 是圆 O 内一个定点,P 是圆上任意一点,线段 AB 的垂直平分线 l 和 半径 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是什么?为什么?

焦点三角形:由椭圆上点与两焦点构成的三角形叫焦点三角形. 例 2 点 P 是椭圆 的坐标.

练习:已知 F 、 F2 是椭圆 1 (1)若 ?F1 PF2 ?

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点,P 是椭圆上一点. 100 64

x2 y 2 ? ? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1 、 F2 为顶点,三角形面积等于 1,求点 P 5 4

?
3

,求 S?F1PF2 ; (提示:试着应用变式 2 的结论呀! )

1

(2)求 | PF1 | ? | PF2 | 的最大值.(提示:试着使用公式 ab ? (

a?b 2 ) 呀!别走歪了) 2

2.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 为 12,则椭圆的方程为

3 ,椭圆上一点到两焦点的距离之和 2

x2 y 2 3.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直 a b
线 AB 交 y 轴于点 P,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(

??? ?

??? ?



A. 变式 3 椭圆

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

x2 y 2 ? ? 1 焦点 F1 、 F2 ,点 P 为椭圆上动点,当 ?F1PF2 为钝角时,求点 P 横坐标的 6 2

4.若椭圆

取值范围;当 ?F PF2 为锐角时,求点 P 横坐标的取值范围.(利用数形结合,找到 ?F PF2 为直角 1 1 时的 x,观察图形,从而找到横坐标的范围.) 5.椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 2 k ?8 9

3 x2 y 2 ,焦点到椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) 离心率 e ? 2 2 a b

上的最短距离为 2 ? 3 ,求椭圆的方程.

当堂总结:焦点三角形的性质 ①周长= ②面积= ③其它 五、知能提升

x2 y 2 ? ? 1 的焦点,P 为椭圆上一点,则 ?PF1F2 的周长为( 1.设 F , F2 是椭圆 1 25 9
A.16 B.18 C.20 D.不确定

课后反思:① ) ② ③

2


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