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2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 章末复习课



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章末复习课

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试一试·双基题目、基础更牢固

章末复习课

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1.在△ABC中,a=80,b=150,A=30° ,则B的解的个数 是 A.0个
解析

>B.1个

C.2个

( C ) D.不确定

∵bsin A<a<b,∴B有两解.

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2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2- b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则A等于
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( A ) D.150°

A.30°

B.60°

C.120°

解析 ∵sin C=2 3sin B,∴c=2 3b,
b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 ∴cos A= = = = , 2bc 2bc 2bc 2
∵A为△ABC的内角,∴A=30° ,故选A.

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3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 1 sin C 15 cos B= , =2,且S△ABC= ,则b等于 ( C ) 4 sin A 4 A.4
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B. 3

C.2

D.1

解析 依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accos B 1 2 2 =a +(2a) -2×a×2a× =4a2, 4 15 2 所以b=c=2a.sin B= 1-cos B= 4 ,
1 1 b 15 15 又S△ABC=2acsin B=2×2×b× 4 = 4 , 所以b=2,选C.

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4.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯 塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.
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海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A的北偏西75° 方向,与A相距3 2海里 的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60° 方 向,与B相距5海里的C处,则两艘轮船 之间的距离为 海里.

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解析 如图,连接AC,

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∠ABC=60° ,BC=AB=5,则AC=5. 在△ACD中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45° ,
由余弦定理得CD= 13(海里). 答案 13

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章末复习课

题型一 例1
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构建方程(组)解三角形问题
方法一 利用余弦定理求解.

已知△ABC中,b=3,c=3 3,B=30° ,求a的值.


先将b=3,c=3 3,B=30° 代入b2=a2+c2-2accos B,
有32=a2+(3 3)2-2a· 3 3· cos 30° . 整理,得a2-9a+18=0.
所以a=6或a=3,经检验6和3均符合题意. 所以a的值为6或3.

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方法二 利用正弦定理求解. 3 ∵csin B=2 3,∴c>b>csin B.∴△ABC有两解. c b 3 ∵sin C=sin B=6,∴sin C= 2 .
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∴C=60° 或C=120° . 当C=60° 时,A=180° -B-C=90° .
a b 由sin A=sin B=6,解得a=6.
当C=120° 时,A=180° -B-C=30° . a b 由sin A=sin B=6,解得a=3. 所以a的值为6或3.

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小结 已知三角形的两边及一边的对角,可用正弦定理解三 角形,也可用余弦定理解三角形.如已知a,b,A,可先由
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余弦定理求出边c,即列关于c的方程a2=b2+c2-2bccos A, 解出c后要注意验证c值与a,b是否能构成三角形.符合题意 的c值有几个,对应的三角形就有几解.

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跟踪训练1 某人向正东方向走一段距离后,向右转150° , 然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是 3 km,求 开始所走的距离.
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解 如图所示,设此人从A出发,
设AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30° ,
由余弦定理得( 3)2=x2+32-2x· 3· cos 30° ,
整理,得x2-3 3x+6=0,解得x= 3或2 3. 所以开始所走的距离为 3或2 3.

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题型二 构建目标函数解三角形问题

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例2 甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处,乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲 船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60° 方向行
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驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近?
解 设甲、乙两船经t小时后相距最近,且分别到达P、 Q两处,因乙船到达A处需2小时.

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①当0≤t<2时,
在△APQ中,AP=8t,AQ=20-10t,
所以PQ= AQ2+AP2-2AP· AQcos 120° =
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? 1? -2?20-10t?×8t×?-2? ? ?

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?20-10t? +?8t?

2

2

= 84t2-240t+400=2 21t2-60t+100.
②当t=2时,PQ=8×2=16. ③当t>2时,在△APQ中,AP=8t,AQ=10t-20, ∴PQ= AQ2+AP2-2AQ· APcos 60° =2 21t2-60t+100. 综合①②③知,PQ=2 21t2-60t+100 (t≥0).
30 10 当且仅当t=21= 7 时,PQ最小. 答

10 甲、乙两船行驶 7 小时后,相距最近.

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小结 利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t的目 标函数,注意到t=2时,乙到达A处,此时,甲船、乙船、 A地构不成三角形,要注意分类讨论.

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跟踪训练2 如图所示,已知⊙O的半径是1,点C在直径AB 的延长线上,BC=1,点P是⊙O半圆上的一个动点,以PC 为边作等边三角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧.

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(1)若∠POB=θ,试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的 函数; (2)求四边形OPDC面积的最大值.

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解 (1)在△POC中,由余弦定理,得

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PC2=OP2+OC2-2OP· OC· cos θ=5-4cos θ, 1 3 所以y=S△OPC+S△PCD= ×1×2sin θ+ ×(5-4cos θ) 2 4 ? π? 5 3 =2sin?θ-3?+ . 4 动画演示 ? ? π π 5π 5 3 (2)当θ-3=2,即θ= 6 时,ymax=2+ 4 .
5 3 所以四边形OPDC面积的最大值为2+ 4 .

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题型三 例3 构建辅助圆解三角形问题

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在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域

被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东
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45° 且与点 A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测 得 该 船 已 行 驶 到 点 A 北 偏 东 45° + θ ? ? 26 ? ? 其中 sin θ = , 0° < θ <90° ? ?且与点 A 相距 10 13海里的 26 ? ? 位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入 警戒水域,并说明理由.

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(1)如图所示,AB=40 2,AC=10 13, 26 ∠BAC=θ,sin θ= . 26
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由于0° <θ<90° ,
所以cos θ=
? 1-? ? ?

26? ?2 5 26 = 26 . 26 ? ?

由余弦定理得BC= AB2+AC2-2AB· AC· cos θ=10 5.
10 5 10 5 所以船的行驶速度为 40 = 2 =15 5(海里/小时). 60 3

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(2)如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系, 设点B、C的坐标分别是B(x1,y1)、C(x2,y2), BC与x轴的交点为D.
2 由题设有,x1=y1= 2 AB=40, x2=ACcos∠CAD=10 13cos(45° -θ)=30,
y2=ACsin∠CAD=10 13sin(45° -θ)=20. 20 所以过点B、C的直线l的斜率k=10=2, 直线l的方程为y=2x-40.

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|0+55-40| 又点E(0,-55)到直线l的距离d= =3 5<7, 1+4

所以船会进入警戒水域.

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小结 第(1)问实际上就是求BC的长度,在△ABC中,利用 余弦定理求解即可;第(2)问警戒区域是以E为中心的一个 圆,半径为7(海里),问题实质上可以看作直线BC与圆E是 否有交点,因此可以构建辅助圆E来求解.

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跟踪训练 3 值范围是 π A.0<C≤ 6 π π C. <C< 6 2
解析 方法一 (应用正弦定理) AB BC 1 2 ∵sin C=sin A,∴sin C=sin A, 1 ∴sin C=2sin A. 1 ∵0<sin A≤1,∴0<sin C≤2.
π ∵AB<BC,∴C<A,∴C 为锐角,∴0<C≤6.

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已知△ABC 中,AB=1,BC=2,则角 C 的取 ( π B.0<C< 2 π π D. <C≤ 6 3 )

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方法二 (构建辅助圆) 如图所示,以B为圆心,以1为半径画圆,
则圆上除了直线BC上的点外,都可作为A点.
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从点C向圆B作切线,设切点为A1和A2,
当A与A1、A2重合时,角C最大,
易知此时BC=2,AB=1,AC⊥AB, π π ∴C=6,∴0<C≤6.
答案 A

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解三角形问题,一般可以用以下三种方法来解决:?1?构建方 程?组?;?2?构建目标函数;?3?构建辅助圆.



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