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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题三 第1讲 等差数列、等比数列(选择、填空题型)



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第一讲 等差数列、等比数列?选择、填空题型?

考 点 等差数列的性质与基本量 等比数列的性质与基本量
[来源:学科网]

考 情 1.对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容,主要考查 利用通项公式、前 n 项和公式建立方程组求解,属于低档题,如 2013 年新课标全国卷Ⅱ

T3 等.
[来源:学科网][来源:Z#xx#k.Com]

等 差数列的通项与求和 等比数列的通项与求和

2.对等差数列与等比数列性质的考查是热点,具有“新、巧、 活”的特点, 考查利用性质解决有关的计算问题, 属中低档题.
源:Zxxk.Com] [来

等差、等比数列的综合问题

3.数列的通项公式及递推公式的应用也是命 题的热点,根据 an 与 Sn 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式 也是常考的热点.

数列的递推公式

4.数列的求和问题,多以考查等差、等比数列的前 n 项和公式、 错位相减法和裂项相消法为主.

1. (2013· 新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3 = a2 +10a1 , a5=9, 则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

a1?1-q3? 解析:选 C 由题知 q≠1,则 S3= =a1q+10a1,得 q2=9,又 a5=a1q4=9, 1-q 1 则 a1= . 9 2.(2013· 辽宁高考)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;

p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 ) B.p3,p4 D.p1,p4

解析:选 D 设 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以 p1 为真命题;若 an =3n-12,则满足已知,但 nan=3n2-12n 并非递增数列,所以 p2 为假命题;若 an=n+1, an 1 则满足已知,但 =1+ 是递减数列,所以 p3 为假命题;设 an+3nd=4dn+a1-d,它是递 n n 增数列,所以 p4 为真命题. 3.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm
+1

=3,则 m=( A.3 C.5

) B.4 D.6

解析:选 C 由 Sm-1=-2,Sm=0, Sm+1=3,得 am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, a =a +?m-1?d=2, ? ? m 1 所以等差数列的公差为 d=am+1-am=3-2=1,由? m?a1+am? Sm = =0, ? 2 ? a +m-1=2, ? ?a1=-2, ? 1 ? 得?m?a1+2? 解得? ?m=5. ? ? ? 2 =0, 4.(2013· 福建模拟)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n
-1)+m

,cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是(

)

A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm 解析:选 C 等比数列{an}的通项公式 an=a1qn 1,所以 cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n-1)
- +m

=a1qm(n

-1)

· a1qm(n

-1)+1

· ?· a1qm(n

-1)+m-1


m2 (n ?1) ? ? m ?1??1? m ?1? 2

m(n am 1q
nm 2 ?

- 1) + m(n - 1) + 1 + ? + m(n - 1) + m - 1

=am 1 q

=am 1q

m 2 (n ?1) ?

? m ?1? m 2

,因为

cn+1 = cn

am 1 qn am 1q
2

? m ?1? m 2

? m ?1? m m (n ?1) ? 2

=qm ,所以数列{cn}为等比数列,公比为 qm2.

2

1 5.(2013· 湖南高考)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 2 (1)a3=________; (2)S1+S2+?+S100=________. 1 1 解析:(1)当 n=1 时,S1=(-1)a1- ,得 a1=- . 2 4 1 1 1 当 n≥2 时,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)- n.当 n 为偶数时,Sn-1=- n,当 n 为奇数时,Sn= 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn-1- n+1,从而 S1=- ,S3=- ,又由 S3= S2- 4=- ,得 S2=0,则 S3=S2+a3= 4 16 2 2 16 2 1 a3=- . 16 1 1 1 1 1 (2)由(1)得 S1+S3+S5+?+S99=- 2- 4- 6-?- 100,S101=- 102, 2 2 2 2 2 1 1 又 S2+S4+S6+?+S100=2S3+ 3+2S5+ 5+2S7+ 2 2 1 1 1? 1 ? 100-1 . 7+?+2S101+ 101=0,故 S1+S2+?+S100 = ? 2 2 3?2 1 答案:(1)- 16 1 1 ? 100-1 (2) ? ? 3?2

1.等差、等比数列的通项及前 n 项和公式 等差数列 通项公式 an=a1+(n-1)d n?a1+an? Sn= 2 前 n 项和 n?n-1? =na1+ d 2 等比数列 an=a1qn 1(q≠0)


(1)q≠1, a1?1-qn? a1-anq Sn= = ; 1-q 1-q (2)q=1,Sn=na1

2.等差数列、等比数列的性质 等差数列 (1)若 m,n,p,q∈N ,且 m+n=p+q, 性 质 则 a m+an=ap+aq; (2)an=am+(n-m)d; (3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍成等差数列
*

等比数列 (1)若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q, 则 am· an=ap· aq; (2)an=amqn
-m



(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍成等比 数列(Sn≠0)

热点一

数列通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系

[例 1] (1)(2013· 潍坊模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1), 则 a6=( A.35 C.3×24 ) B.35+1 D.3×24+1

2 1 (2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an= 3 3 ________. [自主解答] (1)由 an+1=2Sn+1,得 an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1-an=2(Sn- Sn-1)=2an,即 an+1=3an(n≥2),故该数列从第二项起构成一个公比为 3 的等比数列. 由 an+1=2Sn+1,得 a2=2S1+1=2a1+1=3, 故 a6=a2×34=3×34=35. 2 1 2 1 (2)当 n=1 时,由已知 Sn= an+ ,得 a1= a1+ ,即 a1=1; 当 n≥2 时,由已知得到 3 3 3 3 2 1? ?2 1? 2 2 1 2 Sn-1= an-1+ ,所以 an=Sn-Sn-1=? ?3an+3?-?3an-1+3?=3an-3an-1,所以 an=-2an-1, 3 3 所以数列{an}是以 1 为首项,以-2 为公比的等比数列,所以 an=(-2)n 1.


[答案] (1)A

(2)(-2)n

-1

总结—————————————————— ——————————规律· 已知 Sn 与 an 的关系式求 an 的方法
? ?S1,n=1,? 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时,a1 若适合 Sn ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则用分 段函数的形式表示.

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n-1,则 a1+a3+a5+?+a25=________. 解析:当 n=1 时,a1=S1=12+2×1-1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1, 而当 n=1 时,2n+1=3≠2,所以 a1 不适合上式.
?2,n=1, ? 综上可知,数列{an}的通项公式为 an=? ? ?2n+1,n≥2.

3+51 所以 a1+a3+a5+?+a25=(a1+1)+a3+a5+?+a25-1= ×13-1=350. 2 答案:350 ?an+1?2 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (an>0),则{an}的通项 an=________. 4 ?an+1?2 解析:法一:因为 Sn= , 4 ?an+1+1?2 ?an+1?2 1 2 2 所以 an+1=Sn+1-Sn= - = (an+1-an +2an+1-2an), 4 4 4
2 即 4an+1=a2 n+1-an+2an+1-2an,

整理得 2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an), 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. 因为 an>0,所以 an+1+an>0, 所以 an+1-an-2=0,即 an+1-an=2. ?a1+1?2 ?a1+1?2 而当 n=1 时,有 S1= ,即 a1= , 4 4 整理得 a2 1-2a1+1=0,解得 a1=1; ?a1+1?2 ?a2+1?2 当 n=2 时,有 S2= ,即 a1+a2= ,整理得 a2 2-2a2-3=0,又 an>0,所 4 4 以解得 a2=3.由于 a2-a1=2, 所以数列{an}是一个首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,其通项公式为 an=1+2(n-1) =2n-1. 法二:因为 an>0,所以 an+1>0,Sn>0, ?an+1?2 an+1 由 Sn= ,得 = Sn. 4 2 a1+1 当 n=1 时,有 = a1,解得 a1=1. 2 当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1, 故由上式得 2 Sn=an+1=Sn-Sn-1+1, 即( Sn- Sn-1-1)( Sn+ Sn-1-1)=0. 因为 an>0,a1=S1=1,所以 Sn+ Sn-1>1, 即 Sn+ Sn-1-1>0, 故由上式得 Sn- Sn-1-1=0, 所以数列{ Sn}是一个首项为 S1=1,公差为 1 的等差数列,其通项公式为 Sn=n. 由 an+1 = Sn,得 an=2 Sn-1=2n-1. 2

显然,当 n=1 时,也适合上式.

综上可知,数列{an}的通项公式为 an=2n-1. 答案:2n-1

热点二

等差、等比数列的基本运算

[例 2] (1)(2013· 深圳模拟)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+
2-Sk=24,则

k=(

) B.7 D.5
? n?

A.8 C.6

?1? (2)已知{an}是 首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列?a ?的前

5 项和为( 85 A. 32 15 C. 8

) 31 B. 16 85 D. 2

?k+2??k+1? [自主解答] (1)法一:由题意,Sk+2=(k+2)a1+ d=k+2+(k+2)(k+1)=(k 2 k?k-1? +2)2,Sk=ka1+ d=k+k(k-1)=k2, 2 故 Sk+2-Sk=(k+2)2-k2=4k+4=24,解得 k=5. 法二:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2ak+1+d=2(a1+kd)+d=2(1+2k)+2=24,解得 k=5. (2)设等比数列{an}的公比为 q. ∵9S3=S6,∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即 q=2. 1?n-1 1 - ∴an=2n 1,∴ =? , an ?2?
?1? 1 ∴数列?a ?是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 ? n? ?1? 故数列?a ?的前 5 项和为 ? n?

?1?5? 1×? ?1-?2? ? 31 = . 1 16 1- 2

[答案] (1)D 互动探究

(2)B

a4 1 将本例(1)中的条件“a1=1,d=2,Sk+2-Sk=24”改为“ = ,S7-S4=15”,求 Sn S4 12 的最小值.
?4a1+15d=0,? ? 解:记等差数列{an}的公差为 d,依题意有? 由此解得 a1=-15,d=4, ?a1+5d=5, ?

n?a1+an? 17 172 n- ?2- ,因此当 n=4 时,Sn 取得最小值 S4 an=4n-19,Sn= =2n2-17n=2? 4? ? 2 8 =2×42-17×4=-36.

总结————————————————— ——————————规律· 方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含 a1、d(或 q)、n、an 与 Sn 这五个量,如 果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其中 a1 和 d(或 q)是两个基本量,所以等差数列 与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量, 然后根据通项公式、 求和公式构建这 两者的方程组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.

3.在正项等比数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn,且-a3,a2,a4 成等差数列,则 S7 的值为( A.125 C.127 ) B.126 D.128

a4 a3 解析:选 C 设数列{an}的公比为 q,依题意得 2a2=-a3+a4, - -2=0,即 q2-q a2 a2 1×?1-27? -2=0,(q+1)(q-2)=0,又 q>0.因此 q=2,S7= =127. 1-2 1 ? ? 1 1? ? 1 1? 4. 设数列{an}是首项为 1 的等比数列, 若?2a +a ?是等差数列, 则? ?2a1+a2?+?2a2+a3? ? n n+1? 1 +?+? ?2a
2 012



1 ? a2 013?的值等于(

) B.2 013 D.3 019

A.2 012 C.3 018

1 ? ? 1 1 - ?为等差数列, 解析:选 C 据题意 an=qn 1, = n-1.若数列? 2 a + a + 2an+an+1 ?2+q?q ? n n 1? 1-q 1 1 1 1 由定义可得 - = 故必有 q=1, - - - = - 为定值, 2an+an+1 2an-1+an ?2+q?qn 1 ?2+q?qn 2 ?2+q?qn 1 1 1 1 1 ? ?1+1?=3 018. + ?+?+? + 故 an=1,因此? = 2 012 × ?2a1 a2? ?2a2 012 a2 013? ?2 ?

热点三

等差数列、等比数列的性质

[例 3] (1)(2013· 乌鲁木齐模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 S4+a25=5, 则一 定有( ) B.S7 是常数 D.S13 是常数

A.a6 是常数 C.a13 是常数

(2)(2013· 合肥模拟)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 1 log (a5+a7+a9)的值是( 3 A.-5 C.5 ) 1 B.- 5 1 D. 5

4×3 ? [自主解答] (1)由 S4+a25=5??4a1+ d +(a1+24d)=5?a1+6d=1?a7=1?S13= 2 ? ? ?a1+a13?×13 =13a7=13. 2 (2)由 log3an+1=log3an+1(n∈N*), 得 an+1=3an, 所以数列{an}是公比等于 3 的等比数列, a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35, 所以 log 1 (a5+a7+a9)=-log335=-5.
3

[答案] (1)D

(2)A

总结——————————————————— ——————————规律· 巧用等差 (比)中项变形 等差数列与等比数列的性质应 用问题中,等差中项与等比中项是非常重要的,主要体 现在两个方面: (1)等差(比)中项在解决项的计算问题中的应用.将两项之和(或积)直接转化为数列中的
2 某一项,在等差数列{an}中,有 an-k+an+k=2an,在等比数列{bn}中,有 bn-k· bn+k=bn ;

(2)等差中项在等差数列求和公式中的应用.在等差数列{an}中,如 n=2k+1(k∈N*), 则 a1+an=2ak+1,所以 Sn= n?a1+an? =nak+1. 2

1 9 5.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a3a5= a1,且 a4 与 a7 的等差中项为 , 4 8 则 S5 等于( )

A.35 C.31

B.33 D.29

1 6 1 6 1 解析:选 C 设等比数列{an}的公比是 q,则 a3a5=a2 1q = a1,得 a1q = ,即 a7= .又 4 4 4 1 1- ? 16? 5 32 ? ? a ? 1 - q ? 9 a 1 1 1 7 a4+a7=2× ,解得 a4=2.所以 q3= = ,q= ,a1=16.故 S5= = =31. 8 a4 8 2 1 1-q 1- 2 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若-a7<a1<-a8,则必定有( A.S7>0,且 S8<0 C.S7>0,且 S8>0 B.S7<0,且 S8>0 D.S7<0,且 S8<0 )

7?a1+a7? 解析:选 A 由已知可得 a1+a7>0,a1+a8<0,由求和公式易得 S7= >0,S8= 2 8?a1+a8? <0. 2 7.已知在各项为正的数列{an}中 ,a1=1,a2=2,log2an+1+log2an=n(n∈N*),则 a1 +a2+?+a2 013-21 008=________. an+2· an+1 2n 1 an+2 解析: 依题意得 an+1· an=2n, 则 = n =2, 即 =2, 因此数列 a1, a3, a5, ?, 2 an an+1· an


a2

013 是以

a1=1 为首项,2 为公比的等比数列,a1+a3+a5 +?+a2

013=

1?1-21 007? 1 =2 1-2

007

-1;数列 a2,a4,a6,?,a2 012 是以 a2=2 为首项,2 为公比的等比数列,a2+a4+a6+? 2?1-21 006? 1 007 +a2 012= =2 -2.所以 a1+a2+?+a2 013-21 008=(21 007-1)+(21 007-2)-21 008 1-2 =-3. 答案:-3



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