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极坐标与参数方程



1.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是 ?

? x ? 2 ? 2cos ? (φ 为参数)和 ? y ? 2sin ?

? x ? cos ? (φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 ? ? y ? 1 ? sin ?
(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2

)射线 OM:θ = α 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求| OP | ·| OQ | 的最大值 Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 和 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 , 所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin ? . (Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 P(4cos ? , ? ) 和 Q(2sin ? , ? ) 所以 | OP |?| 4 cos? | , | OQ |?| 2 sin ? | .从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? | ? 4 . 当且仅当 sin 2? ? ?1 时,上式取“=”即, | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 . 2. 长为 3 的线段两端点 A, B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动, BP ? 2 PA , 点 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)以直线 AB 的倾斜角 ? 为参数,写出曲线 C 的参数方程; (Ⅱ)求点 P 到点 D(0, ?1) 距离 d 的取值范围. 设 P( x, y) ,则根据题设画图知 ……5 分

??? ?

??? ?

x?

2 1 | AB | cos(? ? ? ) ? ?2 cos ? , y ? | AB | sin(? ? ? ) ? sin ? , 3 3

曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? ?2cos ? ? ( ? 为参数,且 ? ? ? ? ) ; ????(5 分) 2 ? y ? sin ?

(Ⅱ) D(0, ?1) ,设 P(?2cos ? ,sin ? ) ,则

| PD |? (?2 cos ? ) 2 ? (sin ? ? 1) 2 ? ?3sin2 ? ? 2sin ? ? 5

? 1 16 4 3 因为 ? ? ? ? , 所以 sin ? ? (0,1) ,2 ?| PD |? , ? ?3(sin ? ? )2 ? , 2 3 3 3
故 d 的取值范围是 (2,

4 3 ]. 3

3. 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos(? ?
2

?
4

)?6 ?0.

(I)求 C 的参数方程; (II)若点 P( x, y) 在曲线 C 上,求 x ? y 的最大值和最小值. (I) C 的极坐标方程化为 ? 2 ? 4? cos? ? 4? sin ? ? 6 ? 0 , ∴ C 的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 , 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,
C 的参数方程是 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

, ? 是参数;

(II)由 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 是参数)得到 x ? y ? 4 ? 2sin(? ?

?
4

)

∴ x ? y 的最大值是 6,最小值是 2. 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 经过 ? y ? 4sin ?

点 P(1,2) ,倾斜角 ? ?

?
6

.

(I)写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程; (II)设直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值. (I)圆的标准方程为 x ? y ? 16 .
2 2

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ( t 为参数). ? y ? 2 ? t sin ? ?y ? 2? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x2 ? y 2 ? 16 , (Ⅱ)把直线的方程 ? ?y ? 2? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (2 ? t ) 2 ? 16 , t 2 ? ( 3 ? 2)t ?11 ? 0 , 2 2

所以 t1t2 ? ?11,即 PA ? PB =11 .

5. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 , 曲线 C2 : x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 4) ,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标 系,射线 ? ? ? (0 ? ? ? 最大值为 2 2 (1)将曲线 C1 与曲线 C2 化成极坐标方程,并求 r 的值; (2) 射线 ? ? ? ? 面积的最大值. 1) C1 : ? ? 4 2 sin(? ?

?
2

) 与曲线 C1 交于 O, P 两点,与曲线 C2 交于 O, N 两点,且 | PN |

?
4

与曲线 C1 交于 O, Q 两点, 与曲线 C2 交于 O , M 两点, 求四边形 MNPQ

?
4

) , C2 : ? ? r

| PN |?| ? P ? ? N |?| 4 2 sin(? ?

?
4

) ? r |max = 2 2 ,? r ? 2 2 , ? C2 : ? ? 2 2
……4 分

(2) S四边形 ? S ?OPQ ? S ?OMN ?

1 ? 1 ? OP ? OQ sin ? OM ? ON sin 2 4 2 4

?

1 ? ? 2 1 2 ? 4 2 sin(? ? ) ? 4 2 sin(? ? ) ? ? ?2 2?2 2 ? 2 4 2 2 2 2

? 4 2 sin(2? ?
当? ? 6.

?

4

)?4?2 2

?
8

时,面积的最大值为 4 ? 2 2

在平面直角坐标中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

C 的 极 坐 标 方 程为

? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) , 过 点 P(? 2,? 4)的 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 (t 为参数)直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点。 2 t 2

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若 PA ? PB ? AB ,求 a 的值。 1)由ρsin θ=2acosθ(a>0)得:ρ sin θ=2aρcosθ ∴曲线 C 的直角坐标方程为:y =2ax
2 2 2 2

2

2 ? ? x ??2? 2 t 由 ? y ??4? 2 t ? ? 2

消去 t 得:y+4=x+2 ………………5 分

∴直线 l 的直角坐标方程为:y=x-2
2 ? ? x ??2? 2 t (2)直线 l 的参数方程为 ? y ??4? 2 t ? ? 2
2 2

(t 为参数),

代入 y =2ax, 得到 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0, ………………7 分 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1,t2 是方程的两个解, 由韦达定理得:t1+t2=2 2(4+a),t1t2=8(4+a) 因为 | PA | ? | PB |?| AB |2 ,所以(t1-t2) =(t1+t2) -4t1t2=t1t2
2 2

解得 a=1………………10 分 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为

? ? x ? ?5 ? 2 cos t , (t 为参数) ,在以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐 ? y ? 3 ? 2 sin t ? ?
标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

) ? ? 2 ,A,B 两点的极坐标分别为

A(2, ), B(2, ? ) . 2
(1)求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)点 P 是圆 C 上任一点,求△PAB 面积的最小值.

?

【知识点】参数方程 【试题解析】 (1)由



消去参数 t,得 所以圆 C 的普通方程为 由 ,

, .





即 , 换成直角坐标系为 , 所以直线 l 的直角坐标方程为 (2) 并且 ,

. 在直线 l 上,

化为直角坐标为

设 P 点的坐标为



则 P 点到直线 l 的距离为



, 所以 面积的最小值是

8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程是 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 2 ,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .

(Ⅰ)求 l 与 C 交点的极坐标; (Ⅱ)设 P 为 C 的圆心, Q 为 l 与 C 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程是

?x ? 3 t ? a ? ( t 为参数) ,求 a , b 的值. ? b3 t ?1 ?y ? ? 2
(Ⅰ) ? ? 4sin ? 代入 ? cos(? ? 或 tan ? ? 1 ,取 ? ? 点的极坐标是 (4,

?
4

) ? 2 2 ,得 sin ? cos ? ? cos2 ? .所以 cos ? ? 0

?
2

,? ?

?
4

.再由 ? ? 4sin ? 得 ? ? 4 ,或 ? ? 2 2 .所以 l 与 C 交

) ,或 (2 2, ) . ????5 分 4 2 b (Ⅱ) 参数方程化为普通方程得 y ? ( x ? a ) ? 1 . 由 (Ⅰ) 得P , Q 的直角坐标分别是 (0, 2) , 2
(1,3) ,代入解得 a ? ?1, b ? 2 .
9. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极

?

?

? 3 x? t?m ? ? 2 轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (t ?y ? 1 t ? ? 2 为参数) . ? ? ? 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;

? ?? ? 设点 ? ? m,0? ,若直线 l 与曲线 C 交于 ? ,? 两点,且 ?? ? ?? ? 1,求实数 m
的值.
解: (Ⅰ)由 ? ? 2 cos? ,得: ? 2 ? 2 ? cos ? ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 .

?3 分

? 3 ? ?x ? 2 t ? m 由? ,得 x ? 3 y ? m ,即 x ? 3 y ? m ? 0 , 1 ? y? t ? 2 ?
∴直线的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 .

?? 5 分

? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ?2 ?x ? 2 t ? m 2 2 ? (Ⅱ)将 ? 代入 ( x ? 1) ? y ? 1 ,得: ? t ? ? 1, ? 2 t ? m ? 1? ? ? 1 ? ? ?2 ? ? y? t ? 2 ?
整理得: t ? 3 (m ? 1)t ? m ? 2m ? 0 ,
2 2

由 ? ? 0 ,即 3(m ? 1) ? 4(m ? 2m) ? 0 ,解得: ? 1 ? m ? 3 .
2 2

设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? ? 3 (m ? 1), t1t2 ? m ? 2m ,
2

?8 分

又直线过点 P (m,0) ,由上式及的几何意义得

| PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m 2 ? 2m |? 1 ,解得: m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合 ? 1 ? m ? 3 ,
因此实数 m 的值为或 1 ? 2 或 1 ? 2 .

??10 分

? x ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ? (t为参数,0 ≤ α < π) 10. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ? 。
以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。 (1)求直线l与曲线C的平面直角坐标方程; (2)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若 | AB |? 8 ,求α的值。

Ⅰ)直线 l 普通方程为 sin ? x ? cos ? y ? cos ? ? 0 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos
2

? ? 4sin ? ,则 ? 2 cos2 ? ? 4? sin ?

2 ? ? cos? ? x, ? sin ? ? y ?C : x ? 4 y ?? 5?

? x ? t cos ? l:? (t为参数, 0 ?? ??) 2 y ? 1 ? t sin ? ? (Ⅱ) ,将 代入曲线 C : x ? 4 y
?t 2 cos2 ? ? 4t sin ? ? 4 ? 0 ?? 7?

?4 ? 4sin ? ? ? AB ? t1 ? t2 ? ? ?8 ? ? 4? 2 cos 2 ? ? cos ? ?

2

? cos ? ? ?
?? ?

2 2 ?? 9?

?

3? 4 或 4 ??10?

? x ? 2cos ? 11. 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y = 8,圆 C 的参数方程是 ? (φ ? y ? 2sin ? ? 2

为参数) 。以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ = α(其中 0 ? a ? 线 ON: ? ? ? ?

?
2

)与圆 C 交于 O、P 两点,与直线 l 交于点 M,射
| OP | | OQ | ? 的最大值。 | OM | | ON |

?
2

与圆 C 交于 O、Q 两点,与直线 l 交于点 N,求

Ⅰ)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 . 圆 C 的普通方程分别是 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 所以圆 C 的极坐标方程分别是 ? ? 4 sin ? . …….5 分 (Ⅱ)依题意得,点 P, M 的极坐标分别为 ? 所以 | OP |? 4 sin ? , | OM |?

?? ? 4 sin ? , ?? sin ? ? 8, 和? ?? ? ? . ?? ? ? ,

8 , sin ?

| OP | 4sin ? sin 2 ? ? ? 从而 . 8 | OM | 2 sin ?

sin 2 (? ? ) | OQ | 2 . ? 同理, | ON | 2
2 | OP | | OQ | sin 2 ? sin (? ? 2 ) sin 2 (2? ) ? 所以 , ? ? ? | OM | | ON | 2 2 16

?

?

故当 ? ?

?
4

时,

1 | OP | | OQ | 的值最大,该最大值是 . ? 16 | OM | | ON |

12. 在直角坐标系 xOy 中,已知点 P (0, 3) ,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

(φ 为

参数) 。以原点为极点, x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

??

3

2 cos(? ? ) 6

?



(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与直线 C 的两个交点为 A、B,求 | PA | ? | PB | 的值。

? x ? 2 cos ? 13. 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以 O 为极点, x 轴 ? y ? sin ?
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 ? ?

?

? C 2 交于点 D(2, ) . 3 (1)求曲线 C1 , C 2 的普通方程;
(2) A( ?1 , ? ), B ( ? 2 , ? ?

3

与曲线

? 是曲线 C 上的两点,求 1 1 ) ? 2 的值 1 2
2
?1 ?2

(1) ? C1 的参数方程为 ? ?

x ? 2 cos ?

? y ? sin ?

? C1 的普通方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

? 射线 ? ?

? ) ? C2 的普通方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ----------- 4 分 3 3 2 2 ? cos ? 4 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ? ? 2 ? (2) 曲线 C1 的极坐标方程为 2 4 4 sin ? ? cos 2 ?
?
与曲线 C 2 交于点 D (2,

? ?1 2 ?

4 4 sin ? ? cos 2 ?
2

? 22 ?

4 4 sin 2 (? ?

? ? ) ? cos 2 (? ? ) 2 2

?

4 -------------------------- 8 分 sin ? ? 4 cos 2 ?
2

?

1

?1 2

?

1

? 22

?

4 sin 2 ? ? cos 2 ? 4 cos 2 ? ? sin 2 ? 5 ? ? 4 4 4

14. 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲

? 3 ? ? x ? ?3 ? 2 t 线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数). ? y? 1t ? 2 ?
(Ⅰ)过极点作直线 l 的垂线,垂足为点 P ,求点 P 的极坐标; (Ⅱ)若点 M , N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求 MN 的最小值. (Ⅰ)点 P 的极坐标为 ? (Ⅱ) MN 的最小值为

? 3 2? ? , ? ??????5 分 ?2 3 ?
1 ??????1 2

15. 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t ( t 为参数),在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点, x ?y ? 2? t
? ?

轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C 的极坐标方程分别为 ? 2 ? 4 2 ? sin ? ? ? (I)求直线 l 与圆 C 的直角坐标方程; (II)设 A(?1, 2) , P , Q 为直线 l 与圆 C 的两个交点,求 PA ? AQ 知 A 在直线 l 上, | PA | ? | AQ |?| PQ | 圆心 C 到直线 l 的距离 d ?
2

??

??6 . 4?

| ?2 ? 2 ? 3 | 1 ,圆 C 半径 R ? 2 , ? 2 2

?1 ? 2 2 ? | PQ | ? ? d ? R ,解得 | PQ |? 6 ?2 ?

16. 已知直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参数) .

(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. I)l 的普通方程为 y= (x﹣1) ,C1 的普通方程为 x2+y2=1, 倍,得到曲

联立方程组

,解得交点坐标为 A(1,0) ,B( ,﹣



所以|AB|=

=1;

(II)曲线 C2:

(θ 为参数) .

设所求的点为 P( cosθ,

sinθ) ,

则 P 到直线 l 的距离 d=

=

[

sin(

)+2]

当 sin(

)=﹣1 时,d 取得最小值



? 2 5 t ? 2 cos? ?x ? ? ? 5 17. 已知:方程 ? ? y ? 5 t ? 3 sin ? ? 5 ?

(1)当 t=0 时,θ 为参数,此时方程表示曲线 C1,请把 C1 的参数方 程化为普通方程; (2)当 ? ?
?
3

时,t 为参数,此时方程表示曲线 C2,请把 C2 的参数方

程化为普通方程。 (3)在⑴⑵下,求曲线 C1 上的一动点 P 到曲线 C2 的距离的最大值。
Ⅰ: x2 y2 8 5 ? ? 1;Ⅱx ? 2 y ? 4 ? 0; Ⅲd max ? . 4 3 5

18.

(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(1)直线 l 的普通方程为

3x ? y ? 1? 0, 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ;
(2)

1 1 ? ? 5 PA PB

19. 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值. (1)圆 C 的参数方程为 ?
2

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 .
(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

? ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

所以 ? ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 20. 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? 2 cos 2? ? 8 , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 相交于 A 、 B 两点. (p∈R) (Ⅰ)求 A 、 B 两点的极坐标;
? 3 x ?1? t ? ? 2 ( t 为参数)分别相交于 M , N 两点,求线段 MN 的长度. (Ⅱ)曲线 C1 与直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
?? 2 cos 2? ? 8 ? ? 解: (Ⅰ)由 ? 得: ? 2 cos ? 8 ?? 2 ? 16 ,即 ? ? ?4 ? 3 ?? ? 6 ?

? , 曲线 C1 、C 2 6

------------3 分

? ? 7? 所以 A 、 B 两点的极坐标为: A(4, ), B(?4, ) 或 B(4, ) 6 6 6

------------5 分

(Ⅱ)由曲线 C1 的极坐标方程得其普通方程为 x2 ? y 2 ? 8
? 3 x ?1? t ? ? 2 代入 x2 ? y 2 ? 8 ,整理得 t 2 ? 2 3t ? 14 ? 0 将直线 ? ?y ? 1 t ? 2 ?

------------6 分

------------8 分

所以 | MN |?

(2 3 ) 2 ? 4 ? (?14) 1

? 2 17

? x ? cos ? ? 2 ? t ? cos ? ? ?x ? 21. 已知曲线 C1 : ? ( ? 为参数) ,C2 : ? ( t 为参数) . 2 3 sin ? ?y ? ? y ? t ? sin ? 6 ? ?
(Ⅰ)将 C1 、 C 2 的方程化为普通方程; (Ⅱ)若 C 2 与 C1 交于 M、N,与 x 轴交于 P,求 PM ? PN 的最小值及相应 ? 的值.

(Ⅰ) C1 : x ? 12 y ? 1; C2 : ? x ?
2 2

? ? ?

2? ? sin ? ? y cos ? ? 0 2 ? ?

(Ⅱ)

1 ? ; ? ? k? ? , k ? Z 24 2



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