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椭圆几何性质学案
学习目标
1.掌握椭圆的简单的几何性质; 2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法; 3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

学习过程
一、课前准备

x2 y 2 与直线方程和圆的方程相对比,椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有什么特点 a b

/>二、新课导学 ※ 学习探究 探究椭圆的几何性质 阅读课本第 43 页至第 45 页,回答下列问题:
问题 1:椭圆的范围是指椭圆的标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 x,y 的范围,可以用哪些方 a 2 b2

法推导? 问题 2:借助椭圆的图形容易发现椭圆的对称性,能否借助标准方程用代数方法推导? 问题 3:椭圆的顶点是最左或最右边的点吗? 问题 4:取一条一定长的细绳,把它的两端固定在画板的 F1 和 F2 两点,当绳长大于 F1 和 F2 的 距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆。若细绳的长 度固定不变,将焦距分别增大和缩小,想象椭圆的“扁”的程度的变化规律。 问题 5:在椭圆标准方程的推导过程中令 a ? c ? b 能使方程简单整齐,其几何意义是什么 标准方程 图像
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a2

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c 关系 离心率

※ 典型例题

x2 y2 例 1.求椭圆 ? ? 1 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出这个椭圆的 25 9
简图。

例 2.过适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 P(-3,0),Q(0,-2); (2)长轴长等于 20,离心率等于

3 ; 5

(3)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点 P(3,0),求椭圆的方程。 ※ 动手试试 1.将圆 x ? y ? 4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程,并
2 2

说明它是什么曲线? 2.在下列方程所表示的曲线中,关于 x 轴、y 轴都对称的是( A. x ? 4 y
2

)
2

B. x ? 2 xy ? y ? 0
2

C. x ? 4 y ? 5 x
2

D. 9 x ? y ? 4
2 2

3、在下列每组椭圆中,哪一个更接近于圆? ①9x +y =36 与
2 2

x2 y2 ? ? 1; 16 12

②x +9y =36 与

2

2

x2 y2 ? ?1 6 10

4.已知椭圆的长轴 A1A2 和短轴 B1B2,怎样确定椭圆焦点的位置? 的方程。

x2 y2 3 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? ________________。 2 4 m 6.椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则离心率 e ? ________________。
5.已知椭圆 7、若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则其离心率为 。 8、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形,则其离心率为 9、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率为 。 。

三、总结提升 ※ 学习小结 ※ 知识拓展

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

课后作业
教材 46 页



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