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优化探究8-4



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A 组 考点基础演练 一、选择题 1.直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=1 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定,与 m 的取值有关 |-1-m+1| |m| 解析:圆心到直线的距离 d= = <1=r,故选 A. 2 m +1 m2+1 答案:A 2. 由直线 y=x+1 上

的一点向圆 x2-6x+y2+8=0 引切线, 则切线长的最小值为( A.1 C. 7 B.2 2 D.3 ) )

解析:切线长的最小值在直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线 |3-0+1| 的距离为 d= =2 2,圆的半径为 1,故切线长的最小值为 d2-r2= 8-1= 7. 2 答案:C 3.(2015 年三明一模)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( 3 - ,0? A.? ? 4 ? C.[- 3, 3 ] 解析:设弦心距为 d,则由题意知 d= ≤k≤ 3 . 3 ) B.?-

?

3 3 ? , 3 3 ?

2 ? D.? ?-3,0? MN?2 |2k-3+3| 3 22-? ? 2 ? ≤1,即 k2+1 ≤1,解得- 3

答案:B 4.(2013 年高考天津卷)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax -y+1=0 垂直,则 a=( 1 A.- 2 C.2 ) B.1 1 D. 2

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解析:由题意知圆心为(1,0),由圆的切线与直线 ax-y+1=0 垂直,可设圆的切线方程 |1-2-2a| 为 x+ay+c=0,由切线 x+ay+c=0 过点 P(2,2),∴c=-2-2a,∴ = 5,解得 1+a2 a=2. 答案:C 5.(2014 年合肥二模)已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 外 切,则 ab 的最大值为( A. 6 2 ) 3 B. 2 D.2 3

9 C. 4

解析:由两圆外切可得圆心(a,-2),(-b,-2)之间的距离等于两圆半径之和,即(a 9 +b)2=(2+1)2,即 9=a2+b2+2ab≥4ab,所以 ab≤ ,当且仅当 a=b 时取等号,即 ab 的 4 9 最大值是 . 4 答案:C 二、填空题 6.(2014 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y +1)2=4 截得的弦长为________. |2-2-3| 3 解析:因为圆心(2,-1)到直线 x+2y-3=0 的距离 d= = ,所以直线 x+ 5 5 2y-3=0 被圆截得的弦长为 2 2 55 答案: 5 7.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 解析:两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4 1 ?y= ,又 a>0,结合图象(图略),再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形, a 1 可知 = a 22-? 3?2=1?a=1. 9 2 55 4- = . 5 5

答案:1 8.(2014 年高考重庆卷)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相 交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 解析:易知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,故圆心 C(1,a)到直线 AB 的距离为 3,

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|a+a-2| 即 = 3,解得 a=4± 15.经检验均符合题意,则 a=4± 15. a2+1 答案:4± 15 三、解答题 9.已知直线 l:2mx-y-8m-3=0 和圆 C:x2+y2-6x+12y+20=0. (1)m∈R 时,证明 l 与 C 总相交; (2)m 取何值时,l 被 C 截得的弦长最短?求此弦长. 解析:(1)证明:直线的方程可化为 y+3=2m(x-4), 由点斜式可知,直线过点 P(4,-3). 由于 42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0, 所以点 P 在圆内,故直线 l 与圆 C 总相交.

(2)圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.如图, 当圆心 C(3, -6)到直线 l 的距离最大时, 线段 AB 的长度最短. -3-?-6? 1 此时 PC⊥l,又 kPC= =3,所以直线 l 的斜率为- , 3 4-3 1 1 则 2m=- ,所以 m=- . 3 6 在 Rt△APC 中,|PC|= 10,|AC|=r=5, 所以|AB|=2 |AC|2-|PC|2=2 15. 1 故当 m=- 时,l 被 C 截得的弦长最短,最短弦长为 2 15. 6 10.已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A,B 两 点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 面积的最小值; (3)若|AB|= 4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3

解析:(1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1, 则圆心 M 到切线的距离为 1, ∴ |2m+1|
2

4 =1,∴m=- 或 0, 3 m +1

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∴QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. (2) ∵ MA ⊥ AQ , ∴ S ≥ |MO|2-1 = 3. ∴四边形 QAMB 面积的最小值为 3. (3)设 AB 与 MQ 交于 P, 则 MP⊥AB,MB⊥BQ,∴|MP|= 2 2?2 1 1-? = . ? 3 ? 3
四 边 形

MAQB

= |MA|· |QA| = |QA| =

|MQ|2-|MA|2 =

|MQ|2-1

1 在 Rt△MBQ 中,|MB|2=|MP||MQ|,即 1= |MQ|, 3 ∴|MQ|=3,∴x2+(y-2)2=9. 设 Q(x,0),则 x2+22=9, ∴x=± 5,∴Q(± 5,0), ∴MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. B 组 高考题型专练 1.若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为( 1 A. ,-4 2 1 C. ,4 2 ) 1 B.- ,4 2 1 D.- ,-4 2

解析:因为直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,所 以 直 线 y = kx 与 直 线 2x + y + b = 0 垂 直 , 且 直 线 2x + y + b = 0 过 圆 心 , 所 以 1 ? ?k=2, 1 ? 解得 k= ,b=-4. 2 ? ?2×2+0+b=0, 答案:A 2.(2013 年高考山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B, 则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 ) B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

1- 0 1 解析:如图,圆心坐标为 C(1,0),易知 A(1,1),又 kAB· kPC=-1,且 kPC= = , 3- 1 2

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∴kAB=-2. 故直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. 答案:A 3.(2015 年泉州质检)若直线 3x-4y=0 与圆 x2+y2-4x+2y-7=0 相交于 A,B 两点, 则弦 AB 的长为( A.2 C.2 2
2 2

) B.4 D.4 2

解析:圆 x +y -4x+2y-7=0 的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=12,则圆心为(2,-1), |6+4| 半径 r=2 3,又圆心到直线 3x-4y=0 的距离 d= =2,所以弦 AB 的长为 2 r2-d2= 5 2 12-4=4 2. 答案:D 4.两个圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有 三条公切线,则 a+b 的最小值为( A.-6 C.-3 2 ) B.-3 D.3

解析:圆 C1:(x+a)2+y2=4,C2:x2+(y-b)2=1,∴圆 C1 的圆心 C1(-a,0),半径 r1 =2,圆 C2 的圆心 C2(0,b),半径 r2=1.已知两圆恰有三条公切线,则两圆相外切,圆心距 等于两圆半径之和,∴ a2+b2=3,则|a+b|= +b≤3 2,故 a+b 的最小值为-3 2. 答案:C 5.(2013 年高考安徽卷)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 ( ) A.1 C.4 B.2 D.4 6 ?a+b?2≤ 2?a2+b2?=3 2,∴-3 2≤a

解析:圆的方程可化为 C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圆心为 C(1,2),半径 R= 5.如图所 示, 取弦 AB 的中点 P, 连接 CP, 则 CP⊥AB, 圆心 C 到直线 AB 的距离 d=|CP|= =1. |1+4-5+ 5| 12+22

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在 Rt△ACP 中,|AP|= 答案:C

R2-d2=2,故直线被圆截得的弦长|AB|=4.

6 . (2013 年高考浙江卷 )直线 y=2x+ 3 被圆 x2+y2 - 6x- 8y = 0 所截得的弦长等于 ________. 解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25.故圆心为(3,4),半径 r=5.又直线方程为 2x - y + 3 = 0 ,所以圆心到直线的距离为 d = 2× 25-5 =2 20=4 5. 答案:4 5 7.(2014 年高考新课标全国卷Ⅱ)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得 ∠OMN=45° ,则 x0 的取值范围是________. 解析: 由题意可知 M 在直线 y=1 上运动, 设直线 y=1 与圆 x2+y2=1 相切于点 P(0,1). 当 x0=0 即点 M 与点 P 重合时,显然圆上存在点 N(± 1,0)符合要求;当 x0≠0 时,过 M 作圆的 切线, 切点之一为点 P, 此时对于圆上任意一点 N, 都有∠OMN≤∠OMP, 故要存在∠OMN =45° ,只需∠OMP≥45° .特别地,当∠OMP=45° 时,有 x0=± 1.结合图形可知,符合条件 的 x0 的取值范围为[-1,1]. |2×3-4+3| 4+ 1 = 5 ,所以弦长为 2 r2-d2 =

答案:[-1,1] 8.已知圆 C 的方程为 x2+(y-4)2=4,点 O 是坐标原点.直线 l:y=kx 与圆 C 交于 M, N 两点. (1)求 k 的取值范围; 2 1 1 (2)设 Q(m,n)是线段 MN 上的点,且 = + .请将 n 表示为 m 的函数. |OQ|2 |OM|2 |ON|2 解析:(1)将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 得 (1+k2)x2-8kx+12=0, (*) 由 Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0 得 k2>3. 所以 k 的取值范围是(-∞,- 3)∪( 3,+∞).

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(2)因为 M,N 在直线 l 上,
2 2 2 可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2)x2 1,|ON| =(1+k )x2,

又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2, 由 2 1 1 = + 得 |OQ|2 |OM|2 |ON|2

2 1 1 = + , ?1+k2?m2 ?1+k2?x2 ? 1 + k2?x2 1 2
2 2 1 1 ?x1+x2? -2x1x2 所以 2= 2+ 2= . 2 m x1 x2 x2 1x2

由(*)知 x1+x2= 所以 m2=

8k 12 ,x x = , 1+k2 1 2 1+k2

36 . 5k2-3

n 因为点 Q 在直线 l 上,所以 k= , m 代入 m2= 36 , 5k2-3

可得 5n2-3m2=36, 36 由 m2= 2 及 k2>3 得 0<m2<3, 5k -3 即 m∈(- 3,0)∪(0, 3). 依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n>0, 所以 n= 36+3m2 15m2+180 = , 5 5

于是,n 与 m 的函数关系为 n= 15m2+180 (m∈(- 3,0)∪(0, 3)). 5



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