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第二章知识清单(1)



2.3知识清单

1.直线与平面垂直判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ??l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

练习 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
与平面B‘C’CB垂直的直线有 AB A'B‘ 与直线AA‘垂直的平面有 平面ABCD
D‘C' DC; 平面A'B'C'D' .

D'
A' D

C'

B'
B

C

A

a

b

如图,已知a//b, a ? ? , 求证:b ? ? .

n

?

O
m

证明: 在平面?内作两条相交直线m,n交与O ? 直线a ? ? , 两条平行线中有 ? a ? m, a ? n. 一条垂直于平面, 又? b//a 则另一条也垂直 ? b ? m, b ? n. 于这个平面. 又? m ? ? ,n ? ? , m ? n ? o    ? b ??

如图,圆O所在一平面为

,AB是圆O 的直径,C 是 圆周上一点,且PA ⊥ AC, PA ⊥AB,求证: (1)PA ⊥BC (2)BC⊥平面PAC

? 2.平面与平面垂直的判定定理
? 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个 平面垂直. m ?? , m ? ? ?? ? ?

例3 如图,圆O所在平面为 ? , AB是圆O 的直径,C 是圆周上一点, 且PA ? ? . 求证:平面PAC ? 平面PBC
证明:
A

P

C O

? PA ? ? , BC ? ?
? PA ? BC
? ?ACB为直径AB所对的圆周角

?

B

? BC ? 平面PAC

??ACB是直角,即BC ? AC

又 ? BC ? 平面PBC ? 平面PAC ? 平面PBC

又 ? PA ? 平面PAC AC ? 平面PAC PA ? AC=A

3.线面垂直的性质定理:
垂直于同一平面的两直线互相平行. 图形语言:
a b

α
符号语言:

a ? ?,b ? ? ? a // b

已知直线a,b和平面 ? ,且a ?b,a ? ?则b与 ?的位置关系 是 b // a 或 b ? .?

D?

C?

A?
D A

B?
C
B

理论迁移:
已知? ? ? ? l,EA ? ? 于A, EB ? ? 于B, a ? ?, a ? AB. E 求证:a//l.

证明:? EA ? ? , EB ? ? , ? ? ? ? l, ? EA ? l , EB ? l . 又 ? EA ? EB ? E , ? l ? 平面EAB. 又a ? ? , EA ? ? ,? EA ? a. 又a ? AB, AB ? EA ? A, ? a ? 平面EAB, ? a ??l .

?

B

A

a

l

?



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