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2.2.2.2 对数函数及其性质的应用



2.2.2.2 对数函数 及其性质的应用

第1页 共 44 页

自学导引

第2页 共 44 页

1.理解对数函数的性质. 2.掌握对数函数的单调性及其应用.

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指数函数与对数函数的关系比较

第4页 共

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第5页 共 44 页

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名师讲解

第7页 共 44 页

1.对数函数与指数函数图象间的关系. 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关 于直线y=x对称.具有相同的单调性.

指数函数的定义域是对数函数的值域,指数函数的值域是对
数函数的定义域.

第8页 共 44 页

2.对数函数图象的对称性. 函数y=logax与
y ? log 1 x ?
a

y ? log 1 x

象关于x轴对称.同理,y=a 与y=a-x关于y轴对称.

loga x ? ?logax 1 loga a x

a

关于x轴对称.这是因为 .这说明:x不变,y变号,其图

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3.图象的平移变换 函数y=logax的图象向左平移一个单位得到y=loga(x+1)的图 象,向右平移一个单位得到y=loga(x-1)的图象;向上平移一

个单位得到y=logax+1的图象,向下平移一个单位得到
y=logax-1的图象.

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典例剖析

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题型一 函数图象问题 例1:(高考变式题)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与 y=logax的图象是( )

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解析:当a>1时,y=ax为增函数,∴ y ? a ? x ? ( ) x 为减函数,因此排除B、C.又a>1时,y=logax也为增函数,故排 除D. 答案:A 规律技巧:由函数的单调性作为突破口进行筛选.

1 a

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变式训练1:设a>0,a≠1,函数y=logax和 的图象关于( A.x轴对称 C.y=x对称 ) B.y轴对称 D.原点对称
1 x

y ? loga

1 x

解析: y ? logax, y ? loga ? ?logax, x 不变,y变号,
1 x

∴ y ? logax与y ? loga
答案:A

关于x轴对称.

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题型二 比较大小问题 例2:若a2>b>a>1,试比较 logba,logab的大小.
a b loga , logb , b a

分析:利用对数函数的单调性或对数函数的图象进行判断.

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解:∵b>a>1,∴

0?

a b ? 1,1 ? ? b, b a

a b ? loga ? 0, logb ? (0,1), logba ? (0,1). b a b b 又a ? ? 1, 且b ? 1,? logb ? logba, a a

而logab>logaa=1, 故有.

a b loga ? logb ? logba ? logab b a

第16页 共 44 页

规律技巧:比较两个对数式的值的大小,如果是同底的对数式, 则可以根据对数函数的单调性来确定;如果不是同底的对 数式,一种途径是化为同底的对数式,另一种途径是利用对 数函数的图象来确定对数式值的范围.

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变式训练2:将

1 3 3 ( )0, 2, log 2 , log 0.5 6 2 2

由小到大排序. 答案:

3 3 1 log 0.5 ? log 2 ? ( )0 ? 2 2 2 6

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题型三 综合问题 例3:设f(x)=
f
lg

1 ? lgx ,求常数a、b的值. x

2x , ax ? b

f(1)=0,且当x>0时,恒有f(x)-

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解:f(1)=

lg

2 2 ? 0,? ? a?b a?b
1 f ? lgx x 1 f lg2, ? 2

1①

∵当x>0时,f(x)-

恒成立.

∴不防取x=2得,f(2)a ? 2b : ?1 ② 2a ? b

整理得

由①,②解得,a=1,b=1. 规律技巧:本题赋值x=2,得到等式②是解题的关键.

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变式训练3:设f(x)为奇函数,且当x>0时, (1)求当x<0时,f(x)的表达式; (2)解不等式f(x)≤2.

f ( x) ? log 1 x
2

.

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解:(1)当x<0时,-x>0, 则
f (? x) ? log 1 (? x),
2

又f(x)为奇函数,所以
f ( x) ? ? f (? x) ? ?log 1 (? x)
2

(2)由(1)知

?log 1 x, ( x ? 0), ? 2 f ( x) ? ? ??log 1 (? x), ( x ? 0). ? 2

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∴f(x)≤2等价于

x ? 0, x ? 0, ? ? ? ? ?log 1 x≤2 , 或 ??log 1 (? x)≤2. ? ? ? 2 ? 2
解得
x≥ 1 或-4≤x<0. 4

第23页 共 44 页

易错探究

第24页 共 44 页

例4:设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是单调递增,则f(a+1) 与f(b+2)的大小关系是( A.f(a+1)≥f(b+2) B.f(a+1)<f(b+2) )

C.f(a+1)≤f(b+2)
D.f(a+1)>f(b+2)

错解:A或B或C

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错因分析:本题求解时常见错误是关注到了比较大小及单调 性,就急于应用单调性求解,使问题变的复杂,其实是忽视了 偶函数这一特性而没有先求得参数的值,导致出错. 正解:由于此函数是偶函数,函数y=loga|x-b|中b=0,又函数在

(-∞,0)上是单调递增的,所以在(0,+∞)上单调递减,则0<a<1,
所以有1<a+1<2,因为f(a+1)=loga|a+1|,f(b+2)=loga2,且 1<a+1<2,所以,f(a+1)>f(b+2).故选D. 答案:D

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技能演练

第27页 共 44 页

基础强化 1.函数y=ax与y=-logax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图象只 可能是( )

解析:当a>1时,y=ax为增函数,而y=-logax为减函数,所以A适
合,故选A. 答案:A

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2.函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如下图所示, 则a、b、c、d的大小顺序是( )

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A.1<d<c<a<b

B.c<d<1<a<b

C.c<d<1<b<aD.d<c<1<a<b 解析:由对数函数的性质及图象可 知,b>a>1,c<d<1.∴b>a>1>d>c,故选B.

答案:B

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3.方程log2(x+4)=3x的实根的个数为( A.0 C.2 B.1 D.3

)

解析:在同一坐标系作出函数y=log2(x+4)与y=3x的图象如下
图,可观察出两个函数的图象共有两个不同的交点.

答案:C

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4.下列判断不正确的是( A.log23.4<log24.3 C.log0.23>log0.33 答案:D

) B.log67>log76 D.log3π<log0.3π

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5.函数 A.(5,+∞) C.(5,6]

的定义域是 ( ) y ? log0.5 ( x ? 5) B.(-∞,5) D.(5,6)

解析:由0<x-5≤1,知5<x≤6. 答案:C

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6.已知0<x<y<a<1,则有( A.loga(xy)<0 C.1<loga(xy)<2

)

B.0<loga(xy)<1 D.loga(xy)>2

解析:loga(xy)=logax+logay>1+1=2. 答案:D

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7.函数

y ? loga( x ? x2 ? 2a 2 )

是奇函数,则

a=______. 解析:∵定义域为R,又是奇函数, ∴f(0)=0.



2 loga 2a ? 0,? 2a ? 1,? a ? . 2
2 2

答案

:

2 2

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8.关于函数

f ( x) ? log

1 | x| 2

的图象和性质,下列说法正确的是.

(1)f(x)的定义域是(0,+∞) (2)f(x)的图象关于y轴对称 (3)f(x)在(-∞,0)上是增函数 (4)f(x)的值域是R 答案:(2)(3)(4)

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能力提升

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9.已知函数f(x)=lg(x-1), (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)证明f(x)在定义域上是增函数. 解:(1)由x-1>0,得x>1. ∴函数f(x)的定义域是(1,+∞),值域为R.

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(2)设1<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=lg(x1-1)-lg(x2-1)= ∵1<x1<x2,∴0<x1-1<x2-1,

x1 ? 1 lg . x2 ? 1



x1 ? 1 x1 ? 1 0? ? 1. lg ?0 x2 ? 1 x2 ? 1

,从而f(x1)<f(x2). ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.

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10.设f(x)=loga(x2+1)(a>1) (1)判断函数的奇偶性; (2)求函数f(x)的单调区间. 解:(1)∵x2+1>0恒成立, ∴函数f(x)的定义域为R. 又∵f(-x)=loga[(-x)2+1]=loga(x2+1)=f(x).∴f(x)为偶函数.

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(2)设x2>x1≥0,则f(x2)-f(x1)=loga(x22+1)-loga(x21+1)=
2 x2 ?1 loga 2 . x1 ? 1

∵x2>x1≥0,∴x22+1>x21+1, ∴
2 2 x2 ?1 x2 ?1 ? 1, 又 a ? 1, ? loga ?0 2 2 x1 ? 1 x1 ? 1

,即f(x2)>f(x1).

∴函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

又f(x)在R上为偶函数,
∴f(x)在(-∞,0)上为减函数. 综上知,函数f(x)的增区间为[0,+∞),减区间为(-∞,0).

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品味高考

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11.(08湖南)下列不等式成立的是( A.log32<log23<log25 B.log32<log25<log23 C.log23<log32<log25 D.log23<log25<log32

)

答案:A

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12.(07四川)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系 下的图象大致是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) ) B.[1,+∞) D.[2,+∞)

解析:由f(x)=|lgx|的图象知,不妨设0<a<1,b>1,则f(a)=|lga|=lga,f(b)=|lgb|=lgb,又 f(a)=f(b),∴lga+lgb=0,∴lgab=0,∴ab=1, ∴

a ? b ? 2 ab ? 2.

答案:C

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